中考复习二次函数和相似三角形

2018数学中考复习

——二次函数与相似三角形

二次函数中因动点问题产生的相似三角形的解题方法一般有以下三种：

1．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)．

(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;

(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗请说明理由．

2、如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）. 若

关于D对称.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：∠CFE=∠AFE；

（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若

有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.

3.如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于

点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．

(2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积．

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标．

(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F 为

顶点的三角形与△BCE 相似若存在，求m 的值；若不存在，请说

明理由．

4. 如图，已知抛物线与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位

于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.

⑴点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；

⑵请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶

点的等腰直角三角形如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相

似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

5．如图已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线上有一点P,使ΔABO

与ΔADP相似，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在

点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积如果存在，请求出

点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

6.如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、D ，

交y 轴于点E ，连结AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE ＝1

3

，A (3，0)，D (－1，0)，E (0，3)．

(1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标； (2)求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出．．．．

点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为s ，求s 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范

围．

7．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过

锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm ，锅深3dm ，锅盖高1dm （锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C 1，把锅盖纵断面的抛物线记为C 2． （1）求C 1和C 2的解析式；

（2）如图②，过点B 作直线BE ：y=x ﹣1交C 1于点E （﹣2，﹣），连接OE 、BC ，在x 轴上求一点P ，使以点P 、B 、C 为顶点的△PBC 与△BOE 相似，求出P 点的坐标；

（3）如果（2）中的直线BE 保持不变，抛物线C 1或C 2上是否存在一点Q ，使得△EBQ 的面积最大若存在，求出Q 的坐标和△EBQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由．

8．如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O ，D ，C 三点．

（1）求AD 的长及抛物线的解析式；（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时

图甲

图乙(备用图)

停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似

（3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

9．如图1，已知菱形ABCD 的边长为，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为（- ，3），抛物线y=ax 2

+b （a≠0）经过AB 、CD 两边的中点． （1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移（如图2），过点B 作BE⊥CD 于点E ，交抛物线于点F ，连接DF 、AF ．设菱形ABCD 平移的时间为t 秒（0＜t ＜ 3 ）

①是否存在这样的t ，使△ADF 与△DEF 相似若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

②连接FC ，以点F 为旋转中心，将△FEC 按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x 轴与抛物线在x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t 的取值范围．（写出答案即可）

10.已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。 (1)求抛物线的解析式；

(2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；

(3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

11.设抛物线2

2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)， 与y 轴交于点C.且∠A C B=90°．

图① 图②