高考圆锥曲线的基础典型题型

高考圆锥曲线的基础典型题型

2014.1.19-23 解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一.直线和圆锥曲线位置关系问题是解析几何问题大题的难点问题，通常在解决直线和圆锥曲线问题上，往往要做三步，一就是联立方程组，二就是求判别式，并且判别符号..第三，运用韦达定理，如果这三步做完了，就是解不等式，或者求函数的值域或定义域的问题了. 具体如下：

(1)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、切线)的研究与讨论仍然是重中之重.

由于导数的介入，抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”.

(2)抛物线、椭圆与双曲线之间关系的研究与讨论也将有所体现.

(3)与平面向量的关系将进一步密切，许多问题会“披着”向量的“外衣”.

(4)函数、方程与不等式与《解析几何》问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”.

(5)有几何背景的圆锥曲线问题一直是命题的热点.

(6)数列与《解析几何》问题的携手是一种值得关注的动向.

【命题特点试题常见设计形式】

求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题.重点题型要熟练掌握，如：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点，与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥.

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决;

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值

（5）求曲线的方程问题

<1>曲线的形状已知-----这类问题一般可用待定系数法解决；

<2>曲线的形状未知-----求轨迹方程

（6）存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）【高考考点】：

1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离等，也要注意斜率的存在与否）

2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、夹角公式等）

3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存

在的各种情况等等）

4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算

5、了解线性规划的意义及简单应用

6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、熟练掌握三大曲线的定义和性质；

8、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题；

9、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。

【基本方法】：

1、待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等；

2、齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；

3、韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；

4、点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

5、距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；

6、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）；

7、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题。

【基本思想】：

1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；

5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

题型一、圆锥曲线的定义及应用

1、圆锥曲线的定义：

（1）椭圆：

（2）双曲线：

（3）抛物线：

2、定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系

（2）等价转换，数形结合

3、定义的适用条件：

典型例题

例1.方程2222

(3)(3)6x y x y -++++=表示的曲线是

变式1.方程2222

(3)(3)10x y x y -++++=表示的曲线是

变式2.方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是 。

变式3.已知F 1、F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹 是( ) (A )椭圆 (B )直线 (C )圆 (D )线段

例2.过椭圆22

194

x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆

的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；

变式4.若椭圆136

1002

2=+y x 上一点P 到其焦点F 1的距离为6，则P 到另一焦点F 2的距离

为 ；

变式5.已知∆ABC 的周长为20，B (－4，0)，C (4，0)，则点A 的轨迹方程是____________．

变式6．已知双曲线x 2m －y

27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |

＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为____________．

例3.已知双曲线C ：x 24－y 2

5＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|

＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→

等于（ ）

A ．24

B ．48

C ．50

D ．56

变式7．(2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△F AB

的周长最大时，△F AB 的面积是________．

题型二：圆锥曲线的标准方程： （一）由方程研究曲线

例4.方程

22

11625

x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；

变式8．已知椭圆164

100:2

21=+y x C ，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且

椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．