切线的性质和判定PPT课件

O
C
B ∴∠ODA=∠BAD=∠B=300
∴∠ BOD=600
∴∠ODB=900
即： OD⊥DB
∴BD是⊙O的切线
变式练习 练习3,△ABC中，以AB为直径的⊙O，交
边BC于P， BP=PC, PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结OP。
∵ AB为直径
A
∴ OB=OA， ∵BP=PC， ∴OP∥AC。
A
O
E C
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2019/8/15
小 结
例1与例2的证法有何不同?
O
A
D
B
O
A
C
B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
B
解：∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC=450
O
∴∠BAC=900
即AB⊥AC
C
A
∵ AB是⊙O的直径
∴ AC是⊙O的切线
变式练习
练习2、如图:线段AB经过圆心O，交⊙O于 点A、C，∠BAD=∠B = 30°，边BD交圆于 点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？
D
解：BD是⊙O的切线
连接OD
A
∵ OD=OA
经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？ ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线
段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径） 3. 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。
O
E B PC
又∵ PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
例2:已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。
D
B
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？ 过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
O
r
A
l
圆的切线判定定理：
经过半径的外端且垂于这条半径
的直线是圆的切线。
条件：(1)经过半径的外端(；2)垂直于过该点半径；
符 号
∵l⊥OA，且l 经过⊙O上
语 言
的A点
表
达 ∴直线l是⊙O的切线
径r的关系来区分
．Ｏ
1、直线和圆相离
d>r
r
d
┐
l
2、直线和圆相切
d=r
．ｏ dr
┐l
3、直线和圆相交
d<r
r ．┐ d O
l
情景导入
1 当你在下雨天快速转动雨伞时水 飞出的方向是什么方向？ 2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什 么方向？
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上 打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞 出．
∵直线L是⊙O
的切如线图，：如A是果切直线
LA是是,不那点∴⊙是么。LO⊥一半的O定径切A垂线O于A直,与A切点呢直点?线为L
.O
一定垂直
切线的性质定理:
L A
圆的切线垂直于过切点的半径
简记为：“知切线，连半径，得垂直”
探索切线性质
假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD, 垂足为M,
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离 小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相 交.这与已知条件“直线与⊙O相 切”相矛盾.
证明: 连接OC
∵OA=OB, CA=CB
∴△OAB是等腰三角形,OC
Oห้องสมุดไป่ตู้
是底边AB上的中线
∴OC⊥AB
A
∴AB是⊙O的切线
C
B
这种证明方法简记为： “证切线，连半径，证
注意：使用此方法时 必须已知直线与圆有 一公共点。
垂直”
变式练习
练习1、如图4，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°， AC=AB，AC是⊙O的切线吗？为什么？
复习：直线与圆的位置关系
一、用公共点的个数来区分
特点：直线和圆有两个公共点， 叫直线和圆相交， 这时的直线叫做圆的割线。
特点：直线和圆有唯一的公共点， 叫做直线和圆相切。 这时的直线叫切线，
唯一的公共点叫切点。 特点：直线和圆没有公共点，
叫做直线和圆相离。
.O
..
A
Bl
.O
.
l
切点A
.O l
二、用圆心o到直线l的距离d与圆的半
（
）
O l
r
A
O r
l
A
O l
r
A
归纳：
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的
切线；(d=r)
(3)过半径外端点且和半径垂直的直线 是圆的切线；
例1 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,
求证:直线AB是⊙O的切线.
●
O
┐
A
l
定理辨析
说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于 这条半径”，结论为“直线是圆的切线”，两个条件缺一不 可，否则就不是圆的切线，
下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的 切线：
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（×
）
2. 与半径垂直的直线是圆的切线（×
）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ×
∴∠CAD＝ ∠CAO , 故AC平分∠DAB．
1， 如图：AC是⊙O的切线，∠B=600。求 ∠CAD=?
B
O
D
O
A
C
A
C
B
2，如图：以O为圆心的同心
圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C是
切点，求证：C是AB的中点。
已知如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的 中点，⊙O与腰AB相切于点D。AC与⊙O相切吗？为什么?
解：AC与⊙O相切
连接OD,作OE⊥AC
E
∴∠OEC=900
∵ AB是⊙O的切线
∴OD⊥AB,
∴∠ODB=900=∠OEC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵O是BC的中点∴OB=OC
∴△OBD≌△OCE
∴OD=OE
∴AC与⊙O相切
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？
与圆有唯一公共点
l是圆的切线
直线l 与圆心的距离等于圆的半径
所以AB与CD垂直.
C
B ●O AM D
例3 如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点， AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证： AC平分∠DAB．
证明：连接OC．
∵CD 是⊙O的切线， ∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD , ∴OC//AD.
∴∠ACO＝ ∠CAD .
D C
A
O
B
又∵OC=OD, ∴∠CAO＝ ∠ACO