清华大学2000年数学分析考研试题

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2000年数学分析考研试题 一、（1）用δε-语言证明：11lim 1=→x

x 。 （2）设函数f 在点a 可导，且0)(≠a f 。求：

n

n a f n a f )()1(lim +∞→。 （3）求极限

p p

p p n n

n +∞→+++121lim ，其中0>p 。 二、计算⎰+-L y

x ydx xdy 22，其中L 是椭圆12222=+b y a x 沿逆时针方向。 三、设3

1

Y X →:ϕ是压缩的，即)1,0(∈∃α，使得，

),())(),((y x d y y x d αϕϕ≤，X y x ∈∀,

证明存在唯一X ∈ξ，使得ξξϕ=)(。

五、设Ω是n

R 中的有界闭集R f →Ω:是上半连续，即0),(,,0>∃Ω∈∀>∀x x εδε，

当Ω∈y 且),(x y x εδ<-时，有ε+<)()(x f y f 。证明f 在Ω达到最大值。