第一章矢量分析与场论剖析

z
P(x, y, z)
•
R
o
y
x
➢坐标面 xoy, xoz, yoz 三个平面
➢微分元 ①线元 dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz ②面元 dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy dSz dxdyaˆz ③体积元 dV dxdydz
（2）圆柱坐标系
➢基本变量 r,, z
影之间的夹角。
(0 2 )
•
a
o R a
y
➢位置矢量
R RaR
x
➢单位矢量 aR , a , a
方向a；R的方向指向矢径延伸的
a 的方向垂直于矢径，并
在矢径和z轴组成的平面内，
指向 θ增大的方向；
z P(R,,)
aR
•
a
o R a
y
指向a的增方大向垂的直方向于上。述平面，x
三者都不是常矢量，但两两正交，遵循右 手螺旋法则。
➢微分元
①线元
dl dRaR Rda Rsinda
②面元
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRda ③体积元
dv R2 sindRdd
2.矢量在不同坐标系之间的变换 圆柱坐标系 直角坐标系
)
u1
u2
( h1h3 h2
u2
)
u3
( h1h2 h3
u3
)
显然,它是一个标量算子.
例如在直角坐标系中
2 2 2 2 x2 y2 z2
二、矢量微分元
1.常用坐标系
（1）直角坐标系
➢基本变量
x, y, z
➢单位矢量 ➢位置矢量
ax , ay , az
R xax yay
zaz
点的位置不同而变化，但三者始 终保持正交关系，并遵循右手螺 旋法则.
➢坐标面
r x2 y2 常数
表示一个以z轴作轴线的半径 为r的圆柱面。
arctan y 常数
x
表示一个以z轴为界的半平面. z=常数
表示一个平行于xoy平面的平面。
如同直角坐标系一样,圆柱坐标系也具有三 个相互垂直的坐标面.但是它们不再都是平 面.
矢量分析
矢量的概念及运算 矢量微分元 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度
一、矢量的概念及运算
1.概念 标量(Scalar） 矢量(Vector)
常矢量: 模和方向保持不变 的矢量. 如重力
空/零矢量:大小为零,方向 任意 . 单位矢量:大小为1. ax , ay , az
z p(x, y, z)
r是位置矢量R在xoy面上的
投影.(0 r )
φ是从+x轴到r的夹角.
(0 2 )
z是R在z轴上的投影.
( z )
➢位置矢量
R rar zaz
➢单位矢量 ar , a , az
分别指向：r、φ和z增加的方向。
应该指出:圆柱坐标系中的三 个都单不位是矢 常量 矢除 量，az它外们，的a方和向a随rP
➢坐标面
R x2 y2 z2 常数
z P(R,,)
表示一个半径为R的球面。
aR
θ=常数
表示一个以原点为顶点、
•
a
以z轴为轴线的圆锥面。
o R a
y
arctan
y
常数
x
x
表示一个以z轴为界的半平面。
z ＝ 常 数
＝ 常 数
ar
a
O
a
y
x r＝ 常 数
如同直角坐标系一样,球坐标系也具有三个 相互垂直的坐标面.但是它们不再都是平面.
h1
直角坐标系
1
圆柱坐标系
1
球坐标系
1
h2
h3
1
1
ρ
1
r
rsinθ
例如在直角坐标系中
ax
x
ay
y
az
z
➢ 具有矢量和微分算子的双重特性
(2）拉普拉斯(Laplace)算子
属于一阶微分算子,而在场论的研究中还
会用到二阶微分算子,即拉普拉斯算子:
2
1 h1h2h3
u1
( h2h3 h1
3.两个算子
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(1）哈米尔顿（Hamilton）算子
为了方便，我们引入一个矢性微分算子，
在曲线坐标系中有：
v1
1 h1
v1
v2
1 h2
v2
v3
1 h3
v3
称之为哈米尔顿算子,
式中 v1、v2和v3 分别是坐标轴 v1、v2和 v3的
单位矢量， h1、h2和 h3为坐标系的拉梅系数。
A(BC) (A B)C
➢当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
➢在直角坐标系中，两矢量的叉积运算可以用行列式
表示。
aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
( Ay Bz Az By )aˆx ( Az Bx AxBz )aˆy ( AxBy Ay Bx )aˆz
①标量与矢量的乘积 B kA
②两个矢量的标量积
➢两矢量的点积定义为一个矢量在另一个矢量 方向上的投影与另一个矢量模的乘积，结果
是个标量。
A• B ABcos
➢两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
A B AxBx Ay By Az Bz
➢两矢量点积满足交换律和分配律。
A B B A
A(B C) A B AC
➢当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正 交。
③两个矢量的矢量积
aˆc
A B | A | | B | sin ac
B
A
➢两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个
矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线
方向，且三者符合右手螺旋法则。
➢两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合 律。
A(B C) A B AC A B B A
➢微分元
①线元
dl drar rda dzaz
②面元
dSr rddzar dS drdza dSz rddraz
③体积元
dv rdrddz
（3）球坐标系
➢基本变量 R, ,
R是位置矢量
R
的大小；(0
R
)
z
θ是 R与z轴的夹角； (0 )
P(R,,) aR
φ是从+x轴到 R在xoy面上的投
④三个矢量的乘积
A(BC) 标量，标量三重积。
A(BC) 矢量，矢量三重积。 ➢混合积 A(BC) C (A B) B (C A)
注意：先后轮换次序。
➢在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
➢矢量三重积： A(BC) B(AC) C(A B) 教材的1.8节给出了一些常用的矢量恒等式，
以供参考。
R
y
位逆置矢矢量量: :通从 P常的原矢矢点量量指(R向A. )点称为R矢量xaAxx的逆y矢a y
zaz
量，两者大小，方向相反.
2.矢量的运算
(1）加法和减法
➢任意两个矢量 A 与B 相加等于两个矢量对 应分量相加，它们的和仍然为矢量.
➢常用作图的方法来求矢量的加减法。 ➢加减法服从交换律和结合律。 (2) 乘积运算