闭区间上连续函数的性质(详细版)

在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
x 1 0 x 1 y = f ( x ) = 1 x = 1 x 3 1 x 2
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二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么 在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于 f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理， 它们是研究连续函数性质的重要工具。
注意条件： 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不全满足时上述定理不一定成立．
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内容小结
设 f ( x ) C [ a , b] , 则
1. f ( x) 在 [a , b] 上有界;
2. f ( x) 在 [a , b] 上达到最大值与最小值; 3. f ( x) 在 [a , b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
二、零点定理与介值定理
第一章
*三、一致连续性
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学习指导
１．教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。 ２．基本练习：了解并通过一定的练习学习最大最 小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在 函数值的估计和根的估计上的应用。 3．注意事项：闭区间上连续的函数有许多好的性质。 应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、 有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的 条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们．
至少有一点 x ，使得
f (x ) = C (a x b ).
且 ( a ) = f ( a ) C
( b ) = f ( b ) C = B C ,
= A C ,
o A m
x
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由零点定理, x ( a ,b ), 使 ( a ) ( b ) 0 ,
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b) , 使 f (x ) = 0.
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作业
• P74：2，3
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证
令 F ( x ) = fx ( ) x , 则 F ( x )[ 在 a ,] b 上 连 续 ,
0, 而 F () a = fa () a
F () b = fb () b 0,
由零点定理,
F ( x ) = f ( xx ) = 0 , x (, a b ) , 使
即 f( x)=x .
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三、一致连续性
定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定 的正数ε，总存在着正数δ，使得对于区间I上的任意两 点x1,x2，当|x1-x2|< δ时，就有|f(x1)-f(x2)|< ε，那么称函 数f(x)在区间I上是一致连续的。
不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数 值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到 所指定的接近程度。
定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 那么它在该区间上一致连续.
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思考题
下述命题是否正确？
f(x )在 [ a ,b ]上 ( a ,b ) 如 果 有 定 义 ， 在
f( a ) f( b )0 f(x )在 内 连 续 ， 且 ， 那 么
( a ,b ) 内 必 有 零 点 .
ymin = 1 ;
在 ( 0 , ) 上 ,
y y 1 . m a x= m i n=
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定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
说明:
定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
几何解释：线弧 y = f (x)的两 个端点位于 x轴的不同侧 ,则曲 线弧与 x轴至少有一个交点 .
注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
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二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即 f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 例1 证明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根
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定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
定理2(有界性定理)
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 根据定理1 存在f(x)在区间[a b]上的最大值M和最小值 m 使任一x[a b]满足 mf(x)M 上式表明 f(x)来自百度文库[a b]上有上界M和下界m 因此函数f(x)在 [a b]上有界
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二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即 f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于 f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
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定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
例如 函数f(x)=x在开区间(a b)
内既无最大值又无最小值
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定理1(最大值和最小值定理)
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思考题解答
不正确.
例函数
1 e , f(x )= 2 ,
0x 1 x= 0
( 0 ) ( 1 ) = 2 e 0 . f ( x ) ( 0 , 1 ) 在 内 连 续 , f
f ( x ) ( 0 , 1 ) 但 在 内 无 零 点 .
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五、小结
关于闭区间上连续函数整体性质的四个定理：
证明 设 f(x)=x34x21 则f(x)在闭区间[0 1]上连续 并且 f(0)=1>0 f(1)=2<0 根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0 即 x 34x 21=0 这说明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
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如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b 左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在 闭区间[a,b]上连续的。
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一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
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有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的 函数有界且一定有最大值和最小值.
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
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二、零点定理与介值定理 定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即 f(a).f(b)<0，那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值 例 如 ， 函 数 f(x)=x 在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
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1 s i n x ,在 [ 0 ,2 ] 上 , ymax = 2, ymin = 0; 例如, y=
y = s g n, x在 ( , ) 上 , ymax =1,
•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值
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设函数 f ( x )在闭区间a , b上连续，且在这区间的端点取 不同的函数值
f (a ) = A 及 f (b) = B ,
那么，对于 A与 B 之间的任意一个数 C ， 在开区间 a , b 内
y 证设 ( x ) = f ( x ) C , M B y=f( 则 ( x ) 在 [ a ,b ] 上连续 , x ) C
( x )= 0 , f ( x ) = C . 即 ( x ) = f ( x ) C = 0 ,
有一个交点 .
y = f ( x ) 与水平直线 y = C 至少 几何解释:连续曲线弧
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与 最小值m之间的任何值.
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例2
设 函 数 fx ( ) 在 区 间 [ a ,] b 上 连 续 ,且 faa ( ) , fbb ( ) . 证 明 x ( a ,) b ,使 得 f ( xx ) = .