角动量

角动量、刚体习题

4-1 如本题图，一质量为m的质点自由降落，在某时刻具有速度v．此时它相对于A、B、C三参考点的距离分别为d1、d2、d3。求：(1)质点对三个点的角动量；(2)作用在质点上的重力对三个点的力矩。

4-2 一质量为m的粒子位于(x，y)处，速度为v=v x i+ v y j，并受到一个沿-x方向的力f．求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。

4-3 电子的质量为9.1×10-31kg，在半径为5.3×10-11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。已知电子的角动量为h/2π，(h为普朗克常量，等于6.63×10-34J?s)，求其角速度。

4-4 如本题图，圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它，我们可将它逐渐拉短。设摆长为l1时摆锤的线速度为v1，将摆长拉到l2时，摆锤的速度v2为多少？圆锥的顶角有什么变化？

4-5 如本题图，在一半径为R、质量为m的水平转台上有一质量是它一半的玩具汽车。起初小汽车在转台边缘，转台以角速度ω绕中心轴旋转。汽车相对转台沿径向向里开，当它走到R/2处时，转台的角速度变为多少，动能改变多少？能量从哪里来？

4-6 在上题中若转台起初不动，玩具汽车沿边缘开动，当其相对于转台的速度达到v时，转台怎样转动？

4-7 两质点的质量分别为m1、m2(m1> m2)，拴在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度ω在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量大？角动量之比为多少？

4-8 在上题中，若起初按住m2不动，让m1绕着它以角速度ω旋转。然后突然将m2放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角动量和绳中的张力。设绳长为l。

4-9 两个滑冰运动员，体重都是60kg，他们以6.5m/s的速率垂直地冲向一根10m长细杆的两端，并同时抓住它，如本题图所示。若将每个运动员看成一个质点，细扦的质量可以忽略不计。(1)求他们抓住细杆前后相对于其中点的角动量；(2)他们每人都用力往自己一边收细杆，当他们之间距离为5.0m时，各自的速率是多少？(3)求此时细杆中的张力；(4)计算每个运动员在减少他们之间举例的过程中所作的功，并证明这功恰好等于他们动能的变化。

4-10 在光滑的水平桌面上，用一根长为l的绳子把一质量为m的质点联结到一固定点O、起初，绳子是松弛的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。(1)求此质点的最终动能与初始动能之比。能量到哪里去了？(2)当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对O的角动量如何变化？

4-11 图中O为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比：f=k/r2(k为一常量)。(1)求此力场的势能；

(2)一质量为m的粒子以速度v0、瞄准距离b从远处入射，求它能达到的最近距离和此时刻的速度。

4-12 在上题中将排斥力换为吸引力，情况如何？

4-13 如果由于月球的潮汐作用，地球的自转从现在的每24小时一圈变成每48小时一圈，试估计地球与月球之间的距离将增为多少？已知地球的质量为M地≈6×1024kg，地球半径为R地=6400km，月球质量为M月≈7×1022kg，地月距离为l= 3.8×105km，将月球视为质点。

4-14 一根质量可忽略的细杆，长度为l，两端各联结一个质量为m的质点，静止地放在光滑的水平桌面上。另一相同质量的质点以速度v0沿45°角与其中一个质点作弹性碰撞，如本题图所示。求碰后杆的角速度。

4-15 质量为M的匀质正方形薄板，边长为L，可自由地绕一铅垂边旋转。一质量为m、速度为v的小球垂直于板面撞在它的对边上。设碰撞是完全弹性的，问碰撞后板和小球将怎样运动。

4-16 由三根长l、质量为m的均匀细杆组成一个三角架，求它对通过其中一个顶点且与架平面垂直的轴的转动惯量。

4-17 六小球各重60kg，用长1cm的六根细杆联成正六边形，若杆的质量可忽略，求下述情况的转动惯量。

(1)转轴通过中心与平面垂直；(2)转轴与对角线重合；(3)转轴通过一顶点与平面垂直。

4-18 如本题图，钟摆可绕O轴转动。设细杆长l，质量为m，圆盘半径为R，质量为M．求

(1) 对O轴的转动惯量；(2)质心G的位置和对它的转动惯量。

4-19 在质量为M、半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，孔心在半径的中点。求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。

4-20 一电机在达到20r/s的转速时关闭电源，若令它仅在摩擦力矩的作用下减速，需时240s才停下来。若加上阻滞力500N?m，则在40s内即可停止。试计算该电机的转动惯量。

4-21 一磨轮直径0.10m，质量25kg，以50r/s的转速转动。用工具以200N的正压力作用在轮边上，使它在10s内停止。求工具与磨轮之间的摩擦系数。

4-22 飞轮质量1000g，直径1.0m，转速100r/min。现要求在5.0s内制动，求制动力F．假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.50，飞轮质量全部分布在外缘上，尺寸如本题图所示。

4-23 发电机的轮A由蒸汽机的轮B通过皮带带动。两轮半径R A=30cm，R B=75cm．当蒸汽机开动后，其角加速度βB=0.8πrad/s2，设轮与皮带之间没有滑动。求：(1)经过多少秒后发电机的转速达到v A=600r/min？(2)当蒸汽机停止工作后—分钟内发电机转速减到300r/min，求其角加速度。

4-24 电动机通过皮带驱动一厚度均匀的轮子，该轮质量为10kg，半径为10cm．设电动机上的驱动轮半径为2cm，能传送5N?m的转矩而不打滑。(1)把大轮加速到100r/min需要多长时间？(2)若皮带与轮子之间的摩擦系数为0.3，轮子两旁皮带中的张力各多少？(设皮带与轮子的接触面为半个圆周)

4-25 在阶梯状的圆柱形滑轮上朝相反的方向绕上两根轻绳，绳端各挂物体m1和m2，已知滑轮的转动惯量为I C，绳不打滑，求两边物体的加速度和绳中张力。

4-26 一细棒两端装有质量相同的质点A和B，可绕水平轴O自由摆动，已知参量见图。求小幅摆动的周期和等值摆长。

4-27 如本题图，复摆周期原为T1=0.500s，在O轴下l=10cm处(联线过质心C)加质量m=50.0g后，周期变为T2=0.600s，求复摆对O轴原来的转动惯量。

4-28 1.00m的长杆悬于一端，摆动周期为T0，在离悬点为h的地方加一同等质量后，周期变为T．(1)求h=0.50m和1.00m时的周期比T/T0；(2)是否存在某一h值，使T/T0=1？

4-29 半径为r的小球沿斜面滚入半径为R的竖直环形轨道里。求小球到最高点时至少需要具备多大的速度才不致脱轨。若小球在轨道上只滚不滑，需要在斜面上多高处自由释放，它才能获得此速度？

4-30 如本题图所示为麦克斯韦滚摆，已知转盘质量为m，对盘轴的转动惯量为I C，盘轴直径为2r，求下降时的加速度和每根绳的张力。

4-31 一质量为m、半径为R的圆筒垂直于行驶方向横躺在载重汽车的粗糙地板上，其间摩擦系数为μ．若汽车以匀加速度a起动，问：(1)a满足什么条件时圆筒作无滑滚动？(2)此时圆筒质心的加速度和角加速度为何？

4-32 如本题图，质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均停止转动。设两轮的间距为L，与地面间的摩擦系数为μ，汽车质心离地面的高度为h，与前轮轴的水平距离为l．求前后轮对地面的压力。4-33 足球质量为m，半径为R，在地面上作无滑滚动，球心速度为v0．球与光滑墙壁作完全弹性碰撞后怎样运动？

4-34 若在上题中滚动着撞墙的球是个非弹性球，墙面粗糙，碰撞后球会怎样运动？它会向上滚吗？能滚多高？

4-35 一半径为r、质量为m的匀质小球，在铅直面内半径为R的半圆轨道上自静止无滑滚下。求小球到达最低点处质心的速率、角速度，以及它作用于导轨的正压力。

4-36 一圆球静止地放在粗糙的水平板上，用力抽出此板，球会怎样运动？

4-37 (1)沿水平方向击台球时，应在球心上方多高处击球才能保证球开始无滑滚动?

(2)若台球与桌面间的摩擦系数为μ，试分析朝着中心击球的后果。

4-38 一滑雪者站在30°的雪坡上享受着山中的新鲜空气，突然看到一个巨大的雪球在100m外向他滚来并已具有25m/s的速度。他立即以10m/s的初速下滑。设他下滑的加速度已达到最大的可能性，即gsin30°=g/2，他能逃脱吗？

4-39 如本题图，一高为b、长为a的匀质木箱，放在倾角为θ的斜面上，两者之间的摩擦系数为μ．逐渐加大θ，木箱何时倾倒，或下滑？

4-40 本题图中墙壁和水平栏杆都是光滑的，细杆斜靠在其间。在什么角度θ下细杆才能平衡？

4-41 倾角为α的斜面上放置一个质量为m1、半径为R的圆柱体。有一细绳绕在此圆柱体的边缘上，并跨过滑轮与质量为m2的重物相连，如本题图所示。圆柱体与斜面的摩擦系数为μ，α角满足什么条件时，m1和m2能够平衡？在什么情况下圆柱会下滚?

4-42 题图中示意地表明轮船上悬吊救生艇的装置。救生艇重960kg，为两根吊杆分担。吊杆穿过A环，下端为半球形，放在止推轴承B内。求吊杆在A、B处所受的力。

4-43 两条质量为m、长度为l的细棒，用一无摩擦的铰链连结成人字形，支撑于一光滑的平面上。开始时，两棒与地面的夹角为30°，问细棒滑倒时，铰链碰地的速度多大。

4-44 设思考题4-20中轮子的质量为m，绕质心的转动惯量为I C，角速度为ω，质心到轴端系绳处的距离为l．求轮子进动的角速度Ω和绳子与铅垂线所成的角度θ．