动量与角动量

质心的运动只由合外力 决定， 内力不能改变质心的运 动情况。
2）质心运动定理和质点系动量定理 dP F mac （ F ） dt 3）若 F 0 c 不变 p mvc 质心速度不变就是动量守恒（同义语）
例2（利用质心运动定理）质量为M、半径为R的圆 弧形槽停在光滑水平面上，小物体m自槽顶静止下滑， 求当m滑至槽底时， M在水平面上移动的距离。
m
质心位矢与坐标系建立有关，但质心相对质点系内质点的相 对位置不变。
质量连续 x 分布时： c
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下： 质量为线分布 dm dl 其中、、分 别为质量的线密 质量为面分布 dm ds 度、面密度和体 质量为体分布 dm dV 密度。
求 (1)乒乓球得到的冲量.
v2 30o 45o n
v1
(2)若撞击时间为0.01s，板施于球的 平均冲力的大小和方向。
解：取球为研究对象，由于作 用时间很短，忽略重力影响。 设挡板对球的冲力为 F 则有： I F dt mv2 mv1 取坐标系，将上式投影，有：
o
r
m

o
r
p
p
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。 *质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转 运动的强弱。
二、力矩(moment of force)
定义：力对定点的力矩
F

M r F
单位：牛· 米 （N · m）
r
m
o
M
d
大小： 方向：
r F rFsin Fd
2）夹角小于180度
【特别】在圆轨迹运动时 四指代表质点相对于0点的转动趋 势，则大拇指代表角动量的方向
质点的角动量的方向
L
x
z
r
o
m y
v
L
v

r
p
质点以角速度 w 作半径 为 r 的圆运动，相对圆心的 角动量 L m r2w
L
m o r
注意
以o为参考点： L 0 以o为参考点： L 0
2 2 2 2
6.14 10 Ns
2
I F 6.14 N t
I
mv1
)θ
mvX 2
sin sin 105 mv2 I
sin 0.7866


51.86

来自百度文库
51.86 45 6.86
为I与x轴正方向的夹角。
§2 质点系的动量定理
t1
分量式：
─ 动量定理（积分形式）
t2
t1 t2 I y t Fy dt mv2 y mv1 y Py 1 t2 I z Fz dt mv2 z mv1z Pz t1
I x Fx dt mv2 x mv1 x Px
解：无牵引力和摩擦力，动量守恒。 dm M 0 v0 ( M 0 t )v dt dm M 0 v0 M 0v0 dv dt v a dm dm 2 dt M0 t (M 0 t) dt dt 有牵引力：Fdt (M dm)v0 (Mv0 dm 0) dm F v0 dt
m
M
解：
m和M组成的系统水平方向上动量守恒
0 MVx mvx
MVx mvx
M 0 Vx dt m 0 v x dt
t t
m
MS ms s R S
M
mR S ( M m)
x
例3：煤粉从漏斗中以dm/dt的流速竖直卸落在沿平直轨 道行驶的列车中，列车空载时质量为M0，初速为v0，求 在加载过程中某一时刻t 的速度和加速度。如果要使列车 速度保持v0，应用多大的力牵引列车？（忽略摩擦力）
一般地，可写作
(F
t2 t1 i
外i
)dt ( m i v i )
i
——质点系的动量定理 注：内力不能引起系统动量的改变！ （ 1） 鼓风机 帆
（2）不能拽着自己的头发将自己提起。
§3 动量守恒定律
质点系的动量定理：
当 Fi外 0 时： p p0 0 p p0 常矢量
r1
r
2
P mv
p总 MvC 0
但是系统有机械运动，说明不宜使用动 量来量度转动物体的机械运动量。
M
C
w
*引入与动量 p 对应的角量 L ——角动量（动量矩）
L r mv
动量对参考点（或轴）求矩
§4 角动量定理 角动量守恒定律
一、质点的角动量(angular momentum)
f1 f 2 将(1)、(2)两式相加，得

t
t0
2 2 ( Fi )dt mi v i mi v i 0 2 i 1 i 1 i 1
推广：

t
t0
N N ( Fi )dt mi v i mi v i 0 N i 1 i 1 i 1
定义：
L r p r mv
m
p

质点相对O点的矢径 大小：
r
o
z
r
p
L rmv sin p r

方向：
垂直于r 和p组成的平面， 服从右手定则。
L
o r p r m p
y
注意
L r p r mv L 的方向符合右手法则。 1）从位矢 r 转向速度 v
mi vi m
mvc mi vi p mvc (对时间求导) ——质心运动定律（同质点） F外 m m a a C C
把质量和力都集中在质心， 质心的运动可看成是一个 质点的运动。
p mvc F mac
注意
1） F mac
线分布
面分布
体分布
说明
1）尺寸不太大物体 质心与重心重合
2）均匀分布的物体 质心在几何中心
3）质心是位置的加权平均值 质心处不一定 有质量 4）具有可加性 计算时可分解
例1 均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁 丝的质心。 解：选如图坐标系，取长为dl c 的铁丝，质量为dm，以λ表示 d 线密度，dm=dl. ydl yc m

t
t0
( Fi外 )dt p p0 p
动量守恒定律：当系统所受的合外力为零时，系统的 总动量守恒。 说明： 1.注意区别 F外 0 与 F外 dt 0 前者保证整个过程中动量守恒，后者只说明始末时 刻动量相同。
2.质点系所受合外力为零，每个质点的动量可能变 化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总和保 持不变。 3.若合外力不为零，但在某个方向上合外力分量为 零，则在该方向上动量守恒。 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统 的内力>>外力，可近似认为动量守恒。在碰撞、打 击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽 略外力。 5、动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。
§3.5 质心
N个粒子系统，可定义质量中心
z
rc
mi ri
i 1 N
N
rc
ri
mi
m
i 1

mi ri
i 1
N
m
i i
i
xc
y
m x
i i
x
对连续分布的物质
yc zc
m mi yi m mi zi
i
xc
x m
i 1 i
i
m
xdm m
y R sin dl Rd 1 2 1 2 R yc R sin Rd m m 0 2 m R yc R
对称性， xc 0

注意：质心不在铁丝上。（质心不一定在质点系内部）
§3.5 质心运动定律 drc d mi ri vc ( ) dt dt m
y
O
v2 30o
45o x
v1
n
I x mv2 cos30 (mv1 cos 45)
I y mv2 sin30 mv1 sin 45
I x 0.061Ns
I
I y 0.007Ns
ˆ Iy ˆ I I xi j
2 2 Ix Iy 6.14102 Ns
tan
例1：在一次物理竞赛中，赛题是从桌角 A处向B发射一个乒乓球，让竞赛者在桌 边B处用一只吹管将球吹进球门C（见本 题图），看谁最先成功。某生将吹管对准 C拼命吹，但球总是不进球门。试分析该 生失败的原因。
mv1 mv2
A 吹管 B
I Ft
C
例2. 质量为2.5g的乒乓球以 10m/s 的速率飞来，被板推 挡后，又以 20m/s 的速率飞 出。设两速度在垂直于板面 的同一平面内，且它们与板 面法线的夹角分别为 45 o 和 30o.
2 1
t Fx d t Fx ( t 2 t 1 ) t t Fy d t Fy ( t 2 t 1 ) t t Fz d t Fz ( t 2 t 1 )
2 1 2 1
二、质点的动量定理
d( mv ) d p 由牛二律, F dt dt d I F d t d p ─ 动量定理 （微分形式） t2 I F d t p2 p1 p
第三章 动量与角动量
§3.1 冲量与动量定理
§3.2 质点系的动量定理
§3.3 动量守恒定律
§3.4 火箭飞行原理（自学） §3.5 质心
§3.6 质心运动定理
§3.7 质点的角动量定理
§3.8 角动量守恒定理
§1动量和冲量 动量定理 一.动量和冲量 1.动量 （描述质点运动状态，状态量）
p mv
1.冲量(力对时间的累积效应,过程量） 定义：dt内，力的冲量为 d I Fdt t2 t1 t 2 内的总冲量为 I d I F d t
t1
x
x
在直角坐标系中， I 可写成分量式：
I x Iy Iz
t2
1
实际问题中，冲力作用时间 短，量值变化大，故常用平 均冲力概念。 t t F d t F t 2 t1
例1.图示一圆锥摆，质量为m
的小球在水平面内以角速度w
匀速转动。在小球转动一周的
过程中.
m
·
w
（1）小球动量增量的大小等于 0
2 （2）小球所受重力的冲量的大小等于 mg t mg w 2 mg w
（3）小球所受绳子拉力的冲量大小等于
例2、质量为M半径为R的1/4圆弧形 槽停在光滑水平面上，小物体m自槽 顶静止下滑，求当m滑至槽底时，M 在水平面上移动的距离。
rc
即
mi ri
i
m
xc
m x
i i
i
m
0
m
mx MX
x R X
mR X ( M m)
M
x
【引入】为什么提出“角动量”概念？
问题一：两个质点如右图，以不同半径 的轨道转动，动量大小相等，位移方向 相同时连动量方向也相同，该如何区别 两个质点？ 问题二：将一绕通过质心的固定轴转动 的圆盘视为一个质点系，系统总动量为
Iy
Ix
0.1148
6.54

为I与x轴正方向的夹角。
I F 6.14 N t
F与I同方向
此题也可用矢量法解，作矢 量图用余弦定理和正弦定理， 可得：
I ＝ F dt
2 2 1
I P
mv1
)θ 105 o
mv Ｘ 2
m v m v 2m v1v2 cos 105 F t
服从右手定则 力矩 o 垂直于r 和F组成的平面 , 服从右手定则
m r
F
由质点的动量定理： t m1 : ( F1 f1 )dt m1 (v1 v10 )(1)
t0
m2 :
t
t0
( F2 f 2 )dt m 2 (v 2 v 20 ) ( 2)
式中，F1、F2分别为m1、m2所受外力；f1、f2分别 为m1、m2之间的相互作用力，称为系统的内力。