空间轴对称问题的基本微分方程
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空间轴对称问题的基本微分方程
在描述轴对称问题各分量时,用圆柱坐标r 、
θ、z 比用直角坐标x 、y 、z 方便得多,如以z 轴
为对称轴,如图1所示则所有应力分量、应变分量
和位移分量都将只是r 和z 的函数,不随θ而变。如
图,取微小六面体。注意到应力分量是(r ,z )将
各面上的应力分量写出。单位体积内的体积力在r 、
z 方向的分量分别表示为r f 、z f 。根据单元体在r
和z 方向的平衡方程,略去高阶微量,同时除以
rdrd dz θ,因为d θ很小,近似认为()sin 22d d θθ≈,加以整理后得到r 方向和z 方向的平衡微分方程为: 图1柱坐标下微小六面体
r r z 0r 0zr r rz rz z f z r
f z r r θστσσσττ∂∂-⎫+++=⎪⎪∂∂⎬∂∂⎪+++=⎪∂∂⎭
公式(1) 进一步推导空间轴对称问题的几何变形方程:
设u 、w 分别代表r 及z 轴方向的位移分量,由极坐标内位移与应变的关系以及直角坐标的关系式,很容易得到
r u r ∂∂=ε,r u =θε,z w z ∂∂=ε,0==z r θθγγ,r
w z u rz ∂∂+∂∂=γ 公式(2) 最后,根据广义胡克定律,可得出物理方程:
1[()]1[()]1[()]2(1)r r z r z z z r rz rz rz E
E
E
G E θθθθεσμσσεσμσσεσμσστμγτ⎫=-+⎪⎪⎪=-+⎪⎬⎪=-+⎪⎪+==⎪⎭
公式(3) 或 ()()2112112()()2112112()()2112112()2(1)2(1)r r r z z z rz rz rz E E u e e e G r E E u e e e G r E E w e e e G z E E u w G z r
θθθμμσελεμμμμμμσελεμμμμμμσελεμμμμτγγμμ∂⎫=
+=+=+⎪+-+-∂⎪⎪=+=+=+⎪+-+-⎪⎬∂⎪=+=+=+⎪+-+-∂⎪∂∂⎪==+=⎪++∂∂⎭ 公式(4) 式中,r z u u w e r r z θεεε∂∂==++∂∂++为体积应变。 上式中共有10个未知数,必须满足(1)(2)(3)或(4)等10个方程式。
当体积力0r z f f ==时,将(4)代入(1),并采用记号22
2221r r r z ∂∂∂∇=++∂∂∂,便可得到以位移表达的平衡方程,即为解空间轴对称问题的位移法的基本方程:
2221
0121
012e u u r r e w z μ
μ∂⎫+∇-=⎪-∂⎪⎬∂⎪+∇=⎪-∂⎭
公式(5) 当由(5)式解得满足边界条件的位移函数后,代回(2)、(4)等式,即可求得应变及应力分量。
空间轴对称问题
现举一个按以上位移法基本方程求解空间轴对称问题的例子,即具有重要实际意义的布希涅斯克(J.V.Boussinesq )问题。
设在弹性半空间体(即在一个方向有界面,
在其余各方向皆为无限大)的界面上,受垂直于
界面集中力P 的作用,如图2所示。现用位移法
求些时的位移及应力分量。
(一)求位移函数u 、w
对此空间轴对称问题,把z 轴放在P 力作用
线方向,将P 力作用点作为坐标原点。因此,当
用位移法求解时,问题在于如何求出方程式(1-5)
的解,并使之满足边界条件。
可找到方程式(1-5)的两组特解,亦即满足
方程式(1-5)的两组位移函数,其中第一组为: 图2 弹性半空间体界面集中力
1
3
2131[(34)]rz u A R z w A R R μ⎫=⎪⎪⎬⎪=+-⎪⎭ (1) 其第二组为
2
2()1r u A R R z w A R ⎫
=⎪+⎪⎬⎪=⎪⎭ (2) 式中r 和z 是被考察点M 的两个坐标,2
2z r R +=是被考察点M 到坐标原点O 的距离。1A 、2A 是两个任意常数。
为此,可将二阶偏微分方程式(1-5)的通解写为:
1232123()
11(34)rz r u A A R R R z z w A A R R R ⎫=+⎪+⎪⎬⎡⎤⎪=+-+⎢⎥⎪⎣⎦⎭
μ (3) 现已找出能基本方程的位移函数。以下将利用边界条件确定常数1A 、2A 。
将(3)式的结果代入到(1-4)并注意到r z u u w e r r z
θεεε∂∂==
++∂∂++,则可得到以下四个应力分量的函数: ()()()()23222135222133125332125333A 12()1()A 121()3A 12A 13A 12A 1r z rz E z r z A z z r R R R R z R E z A R R R z E z r z R R R E rz r r R R R θσμμσμμσμμτμμ⎫⎧⎫⎡⎤=--+-+⎪⎨⎬⎢⎥++⎣⎦
⎩⎭⎪⎪⎡⎤⎪=-+⎢⎥++⎪⎣⎦
⎪⎬⎧⎫⎡⎤⎪=-+-+⎨⎬⎢⎥⎪+⎣⎦⎩⎭
⎪⎪⎧⎫⎡⎤=-+-+⎪⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎩⎭
⎭
(4) 由于在边界上无剪应力,则0z =时,0rz τ=,由式(4)最后一式可得到:
12(12)0A A μ-+= (5)
另外,过M 点作一个与边界面平行的面,将弹性半空间体的上部切下,根据被切下部分的z 方向的平衡条件: 0(2)0z rdr P σπ∞+=⎰
(6) 将(4)式中的z σ代入(6)式积分后可得到: []122P 2(1)01E A A πμμ
-
-+=+ (7) 联立式(5、(7)可得: 12P(1+)P(1+)A =,A (12)22E
E μμμππ=-- (8) 将(8)式代入(3)式,最后得位移函数为:
32320(1)[(12)]2()(1)2(1)[]2(1)()z P rz r u E R R R z P z w E R R P w Er μμπμμπμπ=+⎫=
--⎪+⎪+-⎪=+⎬⎪⎪-=⎪⎭ (9) (二)求应力分量
将(8)式代入(4)式,可得到应力分量的计算公式为:
2533
5
25P 1232()P 1(12)2()P 32P 32r z rz zr R R z R z R R R z z R z r R θμσπσμπσπτπ⎫⎡⎤-=-⎪⎢⎥+⎣⎦
⎪⎪⎡⎤⎪=--⎢⎥⎪+⎣⎦
⎬⎪=-⎪⎪⎪=-⎪⎭
(10)