(整理)向量数量积的坐标运算.

《向量的数量积的坐标运算与度量公式》预习案

【学习目标】：

（1）灵活运用向量数量积的坐标运算公式，夹角余弦的坐标表达式；

（2）体会公式中体现的数形结合的思想

【学习重难点】

重点：向量数量积的坐标运算与度量公式 难点：灵活运用公式解决有关问题

【知识链接】

1.两向量数量积定义：a b =

2.向量数量积的性质：

【知识重现】

1. 已知5b =，a 在b 方向上的正射影的数量是3，则a b =

2. 在ABC 中，5,5,120BA AC BAC ==∠=︒，则BA AC =

【知识点梳理】

1.数量积的坐标表达式

a b =

2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：

（1）a b ⊥⇔ 。

（2）与向量12(,)b b b =垂直的向量可以写成 。

3、向量的长度、距离和夹角公式推导

向量的长度公式： a =

距离公式： AB =

两向量夹角余弦公式的坐标表达式：

cos ,a b =

自学课本P113--P114例1—例4，完成自学检测

【自学检测】

1.已知(4,5),(4,3),a b ==-则a b = ，a = ，b = ，

cos ,a b =

2.已知(3,5),(5,3),a b ==-则,a b =

3.判断下面各对向量是否垂直

（1）(3,2),(4,6)a b =-= （2）(3,5),(5,3)a b ==

《向量的数量积的坐标运算与度量公式》探究案

【课内探究】

探究一：推导向量内积的坐标运算公式

建立正交基底12{,}e e ，已知1212(,),(,)a a a b b b ==，则

a b =

= ，

因为 ，

所以得到：

用语言描述为： 。

练习一：已知向量的坐标,a b ，求a b

（1）(8,6),(3,4)a b ==--； （2）(11,2),(3,9)a b =-=

探究二：两向量的垂直条件

例1. 已知点(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证：AB AC ⊥

练习二：已知(1,2),(5,8),(2,1)A B C ---，求证：AB AC ⊥

考查的知识点：两向量垂直的条件

数学方法：用向量作工具将几何问题代数化，体现了数形结合的数学思想

探究三：向量的长度，距离和夹角公式推导

1.已知12(,)a a a =，由向量数量积的性质及向量的内积运算公式知，

2a a a == =

所以得到，a =

可以用语言表述为： 。

2.如果1122(,),(,)A x y B x y ，则AB =

所以得到，AB =

3.两向量夹角余弦的坐标表达式：

cos ,a b =

例2.已知(3,1),(1,2),a b =-=-求,,,,a b a b a b 思考：你能否写出求两向量夹角的

一个算法？

S1：

S2：

S3：

S4：

例3.已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，求BAC ∠的正弦值.

考查的知识点：两向量夹角坐标公式，长度公式

数学方法：两向量的坐标夹角公式体现了数形结合的数学思想

【课堂小结】

这节课研究的主要问题有：

知识方面：

数学思想方面：

【当堂检测】

（B 级）1.已知(1,2),(2,3)a b ==-，则2()a b += ，

cos ,a b = 。

（B 级）2. 已知(7,5),(2,3),(6,7)A B C -，则ABC 是 三角形

（A 级）3.在ABC 中90,(,1),(2,3)C AB k AC ∠=︒==，则k 的值是（ ）

A.5

B.-5

C.

32 D. 32-

【思考探究】 在ABC 中，(1,2),(3,4),(0,8)A B C -，判断

ABC 形状的方法有哪些？