学习进修44坐标系与参数方程考点及经典编辑例题

坐标系与参数方程

*选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：

1．坐标系：

① 理解坐标系的作用.

② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

第一讲

一、平面直角坐标系

伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩

⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),

(x,x :μμλλϕ的作用

下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

方法1：求伸缩变换后的图形。

由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。

例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

方法2：待定系数法求伸缩变换。

求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。

例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:

二、极坐标

1.极坐标系的概念：

在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

2.点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|

|OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM

∠叫做点M的极角，记为θ。有序数对),(θ

ρ叫做点M的极坐标，记为),(θ

ρ

M.

极坐标),(θ

ρ与)Z

)(

2

,(∈

+k

kπ

θ

ρ表示同一个点。极点O的坐标为)R

)(

,0(∈

θ

θ.

3.若0

<

ρ,则0

>

-ρ,规定点)

,

(θ

ρ

-与点)

,

(θ

ρ关于极点对称，即)

,

(θ

ρ

-与)

,

(θ

π

ρ+表示同一点。如果规定π

θ

ρ2

0,0≤

≤

>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θ

ρ表示；同时，极坐标),(θ

ρ表示的点也是唯一确定的。

4.极坐标与直角坐标的互化：

如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．

(1)极坐标化直角坐标

(2)直角坐标化极坐标

⎩⎪

⎨

⎪⎧ρ2

＝x2＋y2，

tan θ＝

y

x

（x≠0）.

)0

(

n

t

,

sin

,

cos

,2

2

2

≠

=

=

=

+

=

x

x

y

a

y

x

y

x

θ

θ

ρ

θ

ρ

ρ

方法3：极坐标与直角坐标的互化

例：

（1）点M ()

322--，

的极坐标是 （2）点M ⎪⎭

⎫ ⎝⎛π32,2的直角坐标是

练：

三、简单曲线的极坐标方程

1.圆的极坐标方程：

(1)特殊情形如下表：

圆心位置

极坐标方程

图 形

圆心在极点(0，0)

ρ＝r

(0≤θ<2π)

圆心在点(r ，0)

ρ＝2r cos_θ

(－π2≤θ<π2) 圆心在点(r ，π

2)

ρ＝2r sin_θ (0≤θ<π) 圆心在点(r ，π)

ρ＝－2r cos_θ

(π2≤θ<3π2) 圆心在点(r ，3π

2)

ρ＝－2r sin_θ (－π<θ≤0)

(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，

∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2

＝0

即

)cos(2002

022θθρρρρ--+=r

2.直线的极坐标方程：

(1)特殊情形如下表：

直线位置 极坐标方程

图 形

过极点，倾斜角为α

(1)θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝α＋π(ρ∈R )

(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)

过点(a ，0)，且与极轴

垂直

ρcos_θ＝a

⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2

<θ<π2

过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a ，π2，且与极

轴平行

ρsin_θ＝a (0<θ<π)

过点(a ，0)倾斜角为α

ρsin(α－θ)＝a sin α

(0<θ<π)

(2)一般情形，设直线l 过点P (ρ0，θ0)，倾斜角为α，M (ρ，θ)为直线l 上的动点，则在△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为 ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．

方法4：直角坐标方程与极坐标方程的互化