江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：圆的切线的性质(2)

A
1
O
2
4
3
D
C
E
B
如右图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点A为切点，那么半径 OA与 l 垂直吗？
。
]
由于 l 是⊙O的切线，圆心O到 直线 l 的距离等于半径，所以OA 是圆心O到AB的距离，因此 l AB
图 23.2.8
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的 半径。
例 1 如 图 △ ABC 中 ∠ C﹦900,AC ＝ 12cm,BC=16cm⊙O的直径MN在AB上,且 分别切AC于D,BC于E 求 MN的长
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F A E O C
F
B
图1
A E
O C B
图2
1：如图A是⊙O外的一点，AO的延 长线交⊙O于C，直线AB经过⊙O上 一点B，且AB＝BC，∠C＝30°。 求证：直线AB是⊙O的切线
证明：连结OB ∵OB=OC,AB=BC,∠C=30° ∴∠OBC=∠C=∠A=30° ห้องสมุดไป่ตู้∠AOB=∠C+∠OBC=60° ∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A) =180°－(60°+30°) =90° ∴ AB⊥OB
直线l是切线满足两个条件
1.经过半径的外端
O D 几何语言 OD是⊙O的半径 OD⊥l于D l是⊙O的切线 l
2.与半径垂直
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线
已知△ABC内接于⊙O, 直线EF过点A
（1）如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的 ∠CAE=∠B 。 切线，还需添加的条件是EF⊥AB 或 （2）如图2， AB为非直径弦，且∠CAE=∠B, 求证：EF为⊙O的切线。
∴ AB是⊙O的切线
B C O A
题目中“半径”已有，只需证 “垂直”即可得直线与圆相切。
2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的 延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝ 30°，求证：DC是⊙O的切线。
证明：连OC、BC， ∵AO＝OC，
A O
C
D
B
∴∠OCA＝∠A＝30°
∴∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形
∴BD＝OB＝BC，∠D＝∠BCD＝30° ∴∠DCO＝90° ∴DC⊥OC ∴DC是⊙O的切线。
已知: 如图 RT△ ABC中,∠C=900, 以AC为直 径的⊙ O交斜边 AB于D,OE∥AB交BC于E 求证: DE是圆O的切线
证明：连结OD ∵OE∥AB, ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 又∵OA=OD, ∴∠1=∠3. ∴∠2=∠4 在△OCE和△ODE中 OC=OD，∠2＝∠4，OE=OE ∴△OCE≌△ODE. ∵∠C=∠900 ∴∠ODE=900,即DE⊥OD. ∴DE是⊙O的切线。
已知：AB是圆O的直径，C是AB延 长线上的一点，CD切圆O于点D， DE⊥AB于点E。 求证： ∠CDB = ∠EDB
D
A
O E
B
C
已知：AB是圆O的直径，AC 切 圆O于点A，DE切圆O于点E，交AC 于点D。 C 求证：AD=CD
D E
A
O
B
结 束 寄 语
下
课
不经历风雨，怎能见彩虹！
（1） 已知半径为 2cm的⊙ O外一点P，且 PO ＝ 4cm ， PQ 切⊙ O 于 Q ， 则 o 30 PQ=________ ； 2 3 ，∠OPQ＝_________ （2） 两个同心圆的半径分别是3cm和5cm 8cm ，大圆的弦AB和小圆相切则AB＝________
Q O
O A B
●
┐
B
1. 证明直线和圆的相切的基本思路：
已知半径------- 直接证直线与半径垂直； 有公共点------“连半径,证垂直”
没有半径----无公共点------“作垂线,证半径”
2. 根据切线的性质,构造相似三角形,利用相似三角形对
应边成比例的性质,建立方程求解,是圆的计算中常用 的一种方法。
解： 连结OD，OE,设圆的半径为R.
∵ ⊙O分别切AC,BC于E， ∴OD＝OE=R,OD⊥AC,OE⊥BC, 又 ∵∠C﹦900， ∴DC=OE=R,OD∥BC.
OD AD R ∴ ﹦ ,即. BC AC 16 48 解得， R﹦ 7 cm.
∴ MN= 96 cm. 7
12-R 12
N
B
M O
A
P
(1)
(2)
（3） ⊿ABC中，∠A＝90 ,AB=AC，以A 为圆心的圆切BC于D，若BC＝6cm，则⊙A 3cm ； 的半径等于_______ （4） PA,PB都是⊙O的切线A,B是切点.若 o 0 132 ； ∠P=48 则∠AOB＝_____
A A P B O C
0
(3)
D
B
(4)
已知: 如图,在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB 和CD 相等, 且AB与小圆相切于E 求证：CD与小圆相切
A C
E
O
.
(5)
F
B
D
如图,⊿ABC中,∠C＝ 0 90 ,AC=12cm,BC=6cm 点O在 AB上, ⊙O分别切AC,BC于E,F. 求 ⊙O的半径
C E A O F B
如图，BC为⊙O 直径，△ABC内接 于⊙O，P、B、C在一直线上，且 PA2＝PB· PC， 求证：PA是⊙O的切 线。 分析：∵PA过⊙O上一点A，要 证PA为切线，只要证PA⊥AO， 为此，作 半径AO，只要证 PA⊥AO即可。
本课内容：
圆的切线的性质
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复习
1. 判定切线的方法有哪些？ 与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线 直线l
2. 常用的添辅助线方法 ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半 径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的 垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。 （作垂直，证半径）
D
E
C
例2 如右图所示，已知OC平分∠AOB，D
是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E。
那么，OB是⊙D的切线吗？请说明理由。
解：OB是⊙D的切线 。理由:
A C
连结DE，过D点作DF⊥OB，垂足为F。 E ∵ OA 与⊙D 相切于点E ∴ DE⊥OA D 又∵ OC平分∠AOB， O F DF⊥OB ∴ DF ＝ DE 即 d ＝ r ∴ OB是⊙D的切线 。