电路理论基础第二版第二章 电阻电路的等效变换

2.4 电阻呈星形连接与 三角形连接的等效互换
对下面的电路如何等效成简单的电路？
+
1 U 1Ω 2Ω 2Ω 3 2Ω
1A
2 2Ω 1Ω
1A
+
U
1 R31 R12
2Ω
2
-
R23 3
-
2Ω
1Ω
一. 三端网络 • 独立的端电流（只有两个）和独立的端口电压（只有两个），因为
KCL: KVL:
i1 i2 i3 0 u12 u23 u13 0
消失。
例1： 求图示二端 电路的开路 电压Uab。
解：原电路中的 U1不能变掉！ i＝0
4Ω 2A 5Ω 2Ω + U1 + 4U1
4Ω 2A 5Ω + U1
2Ω 2U1
a
-
b
- a
方法一： U ab 4U1 2 (4 5)
U1 2 5 10
I1=2A
b
-
U ab 4 10 18 22 (V )
第二章 电阻电路的等效变换
2.1 单口网络、等效单口网络概念 2.2 电阻串并联、电源串并联的等效变换 2.3 实际电源的两种模型及其等效变换、 含受控源电路的等效变换 2.4 电阻三角形联接、星形联接的等效互 换 2.5 例题
重点
1. 单口网络端口伏安关系(VAR)的求解； (两种：一种是假设电流然后得到电压的表达 式；另一种是假设电压然后得到电流的表 达式); 2 . 理想电压源与单口电阻网络 N1的并联; 3. 理想电流源与单口电阻网络 N1的串联; 4. 实际电源的两种模型及其等效变换; 5. 电阻星形连接与三角形连接的等效互换公 式
i1
-
+ U1
b
例2 把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连
变换中控制变量I不能丢 1k I 1k + + 10V 0.5I U _ _
U 500 I 2000 I 10 1500 I 10
500I 2k + -I + 10V _ + U _
1.5k
I + U _
+ 10V _
i iS R + u _ 实际 电流 源
+ uS _ R
i+ u _ 实际 电压 源
端口特性 i =i –u/R S
u=uS – R i
uS=iSR
例1 利用电源转换简化电路计算
1. 5A 3 4
I＝？
7
+ 15V _ 8V + 2A
7 7
I=0.5A
2A
2. 5 + 10V _ + 10V _ 5 + U=？ 6A _
电流值相等的电流源可作方向相同的串联，电
流值不相等的电流源不允许串联。
a
is1
is2
b
a
is
b
is is1 is 2
注意：电流源与单口电阻网络 N1的串联
a
is
N1
b
a
is
N1的等效网 络不能是理 b 想电流源。
u
iS
i
等效电流源的 伏安关系
问题:电流源与单口电阻网 络 N1的并联?
例1：
a
, Ri Ru
a
us
Ru
b
u us R i
非关联参考方向
is
Ri
b
us is Ri
, Ru Ri
注意：1. 电源的参考方向，2. 等效是指对 外部电路而言，3. 理想电源间不可变换（因 为电阻为零）。
小结
电压源和电流源的等效变换
实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效互换， 所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。
2A 4Ω
i u
a
或者
b
4Ω 8V
i u
a
b
例2： 求图示二 端电路的 + VAR及其 u 等效电路。 1
i a 3Ω 3Ω i1 3Ω b 电流源
-
5u1
+ u
i
解： 假设端口电流 i 已知，有
i1 (3 9)i ,
u 5 u1 6 i1 7 i
根据VAR，可 得等效电路：
u1 3i1 1 i
例1： 求图示二端电 路的VAR及其 解： 等效电路。 假设端口电压u 已知，看电流
a 5Ω 10V 20Ω b
假设的电压源
i u u
i u 20 (u 10) 5 0.25u 2 或者 u 8 4i 注意:参考方向 假设电压已知
假设电流已知 根据VAR，可得等效电路：
二. 等效单口网络
a b i + u
-
N
a b
i + u
-
N'
u f (i )


u f (i )
若两个网络 N 与 N 的VAR相同，则称该两网 络为等效单口网络。
将电路中一个单口网络用其等效网络代替（称 为等效变换），电路其余部分的工作状态不会 改变。尽管这两个网络具有不同的内部结构， 但对任一外电路来说它们具有完全相同的作用。
其中US为开路电压，IS为短路电流。令R＝US / IS ，有：
实际电源的两种等效模型
u us R i
戴维南模型
R uS
i u
a
b非关联参考方向
i is u R
诺顿模型
iS R
i u
a
b
is us Ru
, Ri Ru R
两种模型的等效互换－可以化简电路
is us Ru
二. 电阻的星形连接和三角形连接
电阻的星形（T形、Y形）连接
设 i1 、i2 已知，可得：
（1）
1
u
u13 ( R1 R 3 ) i1 R3 i2
23
i1 R1
R3 3
R2
i2
2
R 3 i1 ( R2 R3 ) i2
i3
（2）

设u13 、u23 已知，采用书中推导，可得： ( R2 R 3 ) u13 R3 u23 i1 R1 R2 R1 R3 R2 R3

通过常数前面的正负号判断电压源的方向，“+”电压源方向与u“相同”
u 8 4i
4¦¸ 8V i
通过i和u前面的正负号判断参考方向，“+”关联参考方向
u 8 4i
4Ω
8V i u b
a u b
a
通过常数前面的正负号判断电流源的方向，“+”电流源方向与i“流向相反”
i 0.25u－2
2A
i 0.25u 2
i 0.25s u b a
i 0.25s
a
u 2A
b
戴维南模型与诺顿模型转化时，电压源和电流源方向是”关联”
通过i和u前面的正负号判断参考方向，“-”非关联参考方向
u 8 4i
i a
u 8 4i
i 4Ω 8V u
4Ω
8V
a
u b
通过常数前面的正负号判断电流源的方向，“-”电流源方向与i“流向相反”
1
i1
N i 2 2
i3
3
端电流 i1 、i2 、 i3 中只有两个是独立的，端口电压 u12 、 u13 、 u23 中只有两个是独立的。 三端网络的端口VAR
端口独立电流（例如 i1、i2 ）与端口独立电压（例如 u13 、u23 ）之间 的关系。
等效三端网络
若两个三端网络的端口VAR完全相同，则称为等效三端网络。
二. (理想)电压源的串联、并联
电压源的串联（理想电压源的内阻为零）
+ a
us1
- +
us2
-
+
usK
b
+ a
us
b
us us1 us 2 usK 代数和
电压值相等的电压源可作极性一致的并联，电
压值不相等的电压源不允许并联。
a b
us1
+
-
us2
+
a b
-
us
+
-
us us1 us 2
2.1.2 单口网络端口伏安关系(VAR)的求取
第一步： 将单口网络从电路中分离出来，一定要先 标好其端口电流、电压的参考方向！ 第二步： 假定端电流 i 已知（相当于在端口接一电 流源），端口的电压是什么，求出 u = f (i) ； （或者）：假定端电压 u 已知（相当于在端口接一 电压源），看端口的电流是什么，求出 i = g (u) 。 第三步：画出等效的单口网络。
三. 电阻星形连接与三角形连接的等效互换 由三角形连接求等效的星形连接的公式
比较（1）式和（4）式，可得：
R1 R2 R3
R12 R12 R12
R31 R12 R23 R31 R23 R12 R23 R31 R23 R31 R23 R31
R12 1
i1
R1 R3
( R1 R 3 ) u23 R3 u13 i2 R1 R2 R1 R3 R2 R3
电阻的三角形（形、形）联接
设 u13 、u23 已知，可得：
1
i1
R31
（3）

1 1 1 i1 ( ) u13 u23 R31 R12 R12 1 1 1 i2 ( ) u23 u13 R23 R12 R12
K个电阻并联，其等效电阻为
1 R 1 R1 1 R2 1 RK
例： 电路如图， 求等效电阻 Rab 和 Rcd。 解：
a 6Ω b 15Ω
c 5Ω 5Ω
d
Rab 6 15 // (5 5) 6 6 12 Rcd 5 // (15 5) 4
R12
i2
R23
2
i3
3
设 i1 、i2 已知，采用书中推导，可得：
（4）

u13 u23
( R31R12 R 31R23 ) i1 R23R31 i2 R12 R23 R31 ( R23R12 R 23R31 ) i2 R23R31 i1 R12 R23 R31
2Ω 2A 2Ω 2Ω 7Ω I
2Ω 6A
2Ω 2A 2Ω 7Ω I
3A
6A
6V
I (2 7 1) 9 4
9V 1Ω
2Ω
+
4V I 7Ω
-
I 0.5 A
注意：含受控源电路的等效变换
在分析含受控源的电路时，也可用以上各 种等效变换方法化简电路。 但要注意：变换过程中不能让控制变量
6A
+ 2.5 U _
U=20V
例2 求电路中的电流I
2A 10 + 40V _ 6 I 4 + 2A 30V _ 6
30 60 I 1.5A 20
6 I 2A 10 + 40V _ I 10 + 60V _ 4 + 30V _
10
4 + 30V _
例3： 电路如图，求 I 。 解： 原电路逐步化简
注意：电压源与单口电阻网络 N1的并联
a
N1
a b
us
+
us
b
+
-
-
N1的等效网 络不能是理 想电压源。
问题:电压源与单口电阻网 络 N1的串联?
等效电压源的 伏安关系
us
uS
i
三. (理想)电流源的并联、串联
电流源的并联（理想电流源的内阻为无穷大）
a b
a
is1
is2
isKwenku.baidu.com
b
is
is is1 is 2 isK 代数和
关联参考方向
i
4Ω 2A 5Ω 2Ω + 4U1
- a
方法二： i1 i 2; u1 5i1 5i 10 U ab 2i 4u1 (4 5)i1 2i 4(5i 10 ) (4 5)(i 2) 9i 22 开路时i＝0 U ab 22 v
b
i 2 0.25u
i 2A 0.25s u b a 2A
i －2 0.25u
i 0.25S u b a
戴维南模型与诺顿模型转化时，电压源和电流源方向是”关联”
2.2 电阻串并联(等效电阻)、 电源串并联的等效变换
一. 电阻的串并联
K个电阻串联，其等效电阻为
R R1 R2 RK
a 1A b 2Ω 2A + 5V 5Ω -
a 3A b
例2：
a
+ 5V
a
+ 3V
+ 8V
b
-
2A
3Ω
b
-
2.3 实际电源的两种模 型及其等效变换
实际电源的伏安特性
非关联参考方向
实际电源
i a + u
Us
0
u Is i
-
b
或者 Us R i （2） U s R u R I s u R i （1） u
R2
i2
2
R31
R23
i3
3
若 R12＝R23＝R31＝R ，则 R1＝R2＝R3＝RT ， 且 RT＝ (1/3) R 。
2.1 单口网络、等效单口网络
2.1.1 单口网络、等效单口网络 2.1.2 单口网络端口伏安关系(VAR)的求取 2.1.3 不含独立源单口电阻网络的等效电阻
2.1.1 单口网络和等效单口网络
一. 单口网络
注意： 对N2关联，对N1非关联
N
N1
i + u
-
N2
定义：将电路 N 分为 N1和 N2两部分，若 N1 、 N2内部变量之间无控制和被控制的关系，则称 N1 和 N2为单口网络（二端网络）。 一个单口网络对电路其余部分的影响，决定于其 端口电流电压关系（VAR）。
i u 7Ω a
b 结论： 不含独立源的单口电阻网络的可以等效成电阻
结论： 不含独立源的单口电阻网络的可以 等效电阻

可以证明，不含独立源(但可以含有受控源)单 口线性电阻电路的端电压和端电流之比为一常 数(上面例题2的结论)。 定义不含独立源单口线性电阻网络的等效电阻 （输入电阻）为： i a u + Ri u N i b 注意 u、i 应为关联参考方向。