1力学量的平均值随时间的变化

Slater 行列式
N个全同Bose子组成的体系
n ! ψ ( q , , q ) P [ φ ( q ) φ( q )] N !
i S n n 1 N 1 i N P k 1 1 k N N
其中P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成 的置换，这样的置换数为
源自文库
N ! n i!
( ψ ( t ), ψ ( t )) ( ψ ( 0 ), ψ ( 0 )) ( 9 )
6. 能级简并与守恒量的关系 定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即 [F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0, 则体系能级一般是简并的。
推论： 如果体系有一守恒量F，而体系的某条能级并不
简并，即对应某个能量本征值E只有一个本征态ΨE， 则ΨE必为F 的本征态。
7. 位力定理： 设粒子处于势场V(r)，其哈密顿为
第4 章 力学量随时间的演化与对称性
1. 力学量的平均值随时间的变化 d 1 A A ( t ) [ A ,H ] d t i t 2.守恒量 若
[A ,H ]0 则
d A(t ) 0 dt
A称为守恒量
3. 守恒量的性质 如果力学量A不含时间，若[A, H]=0(即为守恒量)，则 无论体系处于什么状态，A的平均值和测值概率均不随时间变化。
H p / 2 m V ( r )
2
r·p的平均值随时间的变化为 d 1 2 i r p [ r p ,H ] [ r p ,p] [ r p , V ( r )] d t 2 m 2 p i r V m d （定态下力学量的平均值不随时间 对定态有 r p0 变化） dt
d A(t ) 0 dt
d 2 ak (t) 0 dt
4. 经典与量子力学中的守恒量间的关系 (1) 与经典力学中的守恒量不同，量子力学中的守恒量不一定取 确定的数值. 守恒量对应的量子数称为好量子数 (2) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。
5. 守恒量与定态 (1) 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则 是一种特殊的力学量，与体系的Hamilton量对易。 （2）在定态下一切力学量的平均值和测值概率都不随时间改变； 而守恒量则在一切状态下的平均值和测值概率都不随时间改变
i U ( t , 0 ) HU ( t , 0 ) ( 6 ) t
i H / t U ( t , 0 ) e
( 7 )
可以证明：
U ( t , 0 ) U ( t , 0 ) U ( t , 0 ) U ( t , 0 ) 1 ( 8 )
U(t,0) 是幺正算符。
则
1 2 p r V m
2 T r V
思考题： r·p并不是厄米算符，应进行厄米化
1 r p ( r p p r ) 2
这是否会影响位力定理得证明。
答：从位力定理的证明可以看出，将r·p厄米化后并不能影响到 定理的证明。
例题1 设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即
1 ( q , q ) [ ( q ) ( q ) ( q ) ( q )] k k 1 1 k 2 2 1 2 k 2 1 2
A k k 1 2 1 2
(2) N个全同Femi子组成的体系 三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个 不同的单粒子态φk1, φk2, φk3 上，则反对称波函数为
q ) q ) q ) k( 1 k( 2 k( 3 1 A q ,q ,q ) q ) q ) q ) kkk ( 1 2 3 k( 1 k( 2 k( 3 3 ! q ) q ) q ) k( 1 k( 2 k( 3
1 1 1 12 3 2 2 2 3 3 3
, 对称波函数 ij P ， 反对称波函数 ij P
(1) 两个全同粒子组成的体系
1 ( q , q ) [ ( q ) ( q ) ( q ) ( q )] k k 1 1 k 2 2 1 2 k 2 1 2
S k k 1 2 1 2
A q , ,q ) k k ( 1 N
1 N
q ) q ) q ) k( 1 k( 2 k( N q ) q ) q ) 1 k( 1 k( 2 k( N
1 1 1 2 2 2
N !
( q ) k 1 N
( q ) ( q ) k 2 k N N N
波函数随时间演化方程---Schrödinger 方程
力学量平均值随时间的变化 波函数随时间演化可写成
d 1 A ( t ) [ A , H ] ( 3 ) d t i
ψ ( t) U ( t, 0 ) ψ ( 0 ), ( 4 )
U ( 0 , 0 ) 1 ( 5 )
U(t,0)
称为时间演化算符。 i U ( t , 0 ) ψ ( 0 ) HU ( t , 0 ) ψ ( 0 ) (4) 代入(2)得到 t 则 积分得
i
§4.3 Schrödinger图像和Heisenberg图像
1. Schrödinger 图像 力学量不随时间变化，而波函数随时间变化。 力学量的平均值
A ( t ) ( ψ ( t ), A ψ ( t )) ( 1 )
i ψ ( t ) H ψ ( t ) t ( 2 )
V ( cx , cy , cz ) c V ( x , y , z )
n
证明
2 T n V
8. Feynman-Hellmann定理
设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为 En , n
若H中含有参数λ，则有
E H n n n
9. 全同粒子体系与波函数的交换对称性