关于光学系统的分辨率及相关问题

关于光学系统的分辨率及相关问题
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前言：
最近，在很多天文网络论坛相关版面上的天体摄影作品是“精华”如潮，但我觉得其中的绝大部分作品并没有达到“精华”的程度。

这就是一个评价作品的基本标准的问题，我觉得这个标准应该是一个很专业的标准。

在评价用跟踪法拍摄的天文摄影作品中，有一条铁的标准就是真实。

比如评价一幅拍摄星云的作品，虽然用不同的拍摄方法或后期处理方法能得到最终不同的效果，但拍摄的真实性是评价的基本依据。

所谓拍摄的真实性主要是指在拍摄过程中没有使被拍摄的星云等内容的像有“意外”的变形。

由于星云等本身并没有明确的边界，那么检验星云等的像是否真实的基本依据就是检验天空背景上恒星的像是否真实。

所谓恒星的像的真实是指恒星的像既圆又小而且边缘锐利，没有任何变形等。

这主要与拍摄时的调焦精度、跟踪精度和光学系统的质量有关，对于后者，可以归纳为与光学系统的分辨率相关的问题（由电脑合成处理以后的照片的真实性问题不在此讨论范围之内）。

下面我就从理论与实例两个方面讲讲有关光学系统的分辨率以及与天文摄影和目视观测相关的一些问题。

*关于理想光学系统的分辨率：
在几何光学理论中，我们可以把光看作是“能够传递能量的具有方向性的几何线”。

对于一个“理想光学系统”，应该能使一个物点所发出的所有能通过该光学系统的光线重新聚焦于一点，在“理想成像”时，像点是一个“理想几何点”，这个“理想几何点”即没有面积也没有体积。

如果成像不“理想”，则形成有一定大小的“体积”，在焦平面上则形成有一定面积的弥散斑，如果弥散斑较大，则主要是由于各种像差造成的。

球差属于单色像差，它会使从主光轴上物点发出的各条光线通过光学系统后不交于一点，使点像的边缘模糊。

球差的大小一般与透镜的折射率、形状（两表面的曲率半径）以及通光孔径有关。

彗差属单色像差，它会使离主光轴较近的轴外物点发出的宽光束通过光学系统后，在像面上不再形成同心光束，而是形成圆心在一条直线上的，按直径
大小依次排列的圆形光束的重叠，形成状如彗星（圆头尖尾）的像（尖端离主光轴近的称正彗差，尖端离主光轴远的称负彗差）。

彗差与球差常常混在一起，只有当轴上物点的球差已消除时，才能明显地观察到傍轴物点的彗差。

彗差的大小与孔径及视场都有关系，且由于消彗差与消球差的条件不一致，两者一般不容易同时消除。

像散属于单色像差，光学系统的透镜表面在不同方向上有不同的连续曲率，其子午截面与弧矢截面上的曲率相差最大，离主光轴较远物点发出的光束在通过光学系统后，我们可以把它分解成“极端”的子午光束和弧矢光束。

因为子午面内的入射光线比弧矢面的入射光线更为倾斜，透镜对子午面内的光线具有更强的聚光能力，使其焦距更短。

因此它们各自汇聚于一点，并不重合。

这会使得点像失真的形象更为复杂。

像散只与人射光束的倾斜度有关。

场曲属于单色像差，它是球面光学系统所固有的像差，使得平面物体反射的光线通过光学系统后，像面变成一弯曲的面。

这样，平面物体的中心与边缘的像不能同时聚焦于同一个平直的像面上。

对于天文摄影来讲，场曲属于比较严重的像差，因为天空背景上的天体距离我们都是无限远，这对于整个画面来讲，就相当于拍摄平面物体。

如果我们的对焦点在视场中心位置，那么边缘特别是四角的恒星会变长（点像的长轴在像场的直径方向上）、变大和变虚。

畸变亦属于单色像差，其产生的原因在于入射光线的球差随视场角的变化而改变，因而在一对共轭物像平面上，放大率随视场位置而变化，从而使物体像的形状变形。

畸变虽然不影响点像的清晰度，但视场内的点像会是越靠近边缘（特别是“四角”）越大，形象虽类似于前者，但边缘的点像并不虚。

位置（轴向）色差和倍率（横向）色差属于复色像差，前者的表现为：
轴上一物点发出的复色光（白光）通过光学系统后，由于光学系统对不同波长的光有不同的折射率，各色光不交于光轴上的同一点，这会使得某一像面上的点像的周围形成“色边”；当校正了位置色差的光学系统，轴外物点发出的复色光通过光学系统后只能使其点像的像面重合在一起，但各个单色光的放大率不相同（因为波长不同），因而各具有不同的像高，这种因为放大率的差异而引起的色差称为培率色差。

倍率色差会使得点像的某一边或对称的两边形成
“色边”，其大小受光阑位置影响。

另外，倍率色差经常与彗差混合在一起，形成“色彗差”。

实际上，由于光的波动性，即便是没有任何像差的“理想成像”，像点也不是一个几何点，而是形成一个如射击靶子的图形，中心的“靶心”聚集了大部分光的能量，其余的光能量则形成了一圈圈如靶环一样但不等距也不等宽的光环（从中心往外，亮的“靶环”越来越窄，间隔也越来越大）。

这是因为电磁波通过光学系统中限制光束口径的孔径光阑（如，天文望远镜中限制光线通过的光阑，或是天文望远镜的镜筒本身）时发生了衍射。

在实际的光束聚焦点（像点）附近，用几何光学理论计算的误差较大，因此，必须是用把光看作为电磁波的物理学方法来研究最基本的分辨率问题。

在“理想光学系统”中，衍射像中心亮斑（“靶心”）的直径为：
2R=1.22λ/n/sinU/max（公式一）
式中，R为衍射像中心亮斑的半径；λ为光的波长；n/为像空间介质的折射率（由于像的空间介质一般是空气，所以n/取1）；U/为成像光束的会聚角（通过光学系统的出射光线与主光轴的夹角）。

这个公式适用于任何光学系统的分辨率的计算，如，望远镜、显微镜、枪械的瞄准镜、工程测量仪器和动物的眼睛等等。

实验证明，两个点像间能够被分辨开的最短距离大约等于点像中央亮斑的半径，那么：
R=0.61λ/n/sinU/max即为“理想光学系统”的衍射分辨率（公式二）。

根据此时的光度分布曲线，可以把K=(Emax—Emin)/( Emax+ Emin)定义为“对比”，即是我们常说的反差概念（公式三），式中E为光强度。

两个点像距离为R时，
K=0.15。

实际上，当K=0.02时，人眼就能够分辨出两个像点，这时相应的两点间的距离约为0.85R。

*xx系统的分辨率
无限远物体理想像高的公式为y/= f.tgα（公式四）
式中，f为物镜的物方焦距（这个物理概念就不描述了）；α为物高对望远镜的张角，也可以理解为对应两个物点对望远镜的张角。

如果此时的像高y/取像平面上刚刚能被分辨开的两个衍射光斑的距离R，经推导（从略）得出：
α=1.22λ/D。

（公式五）
式中，D为物镜的有效口径，单位为毫米。

在天文观测中，公式五的物理意义也可以理解为刚刚能够被望远镜分辨开的天球上两个发光点之间的角距，称为分辨角。

当λ取人眼最敏感的波长0.000555mm（555nm）时：
α″=140″/D（单位是角秒）（公式六）
照相系统的分辨率（注）
普通照相系统的分辨率一般以像平面上每毫米能够分辨开的线对数（黑白相间的短线条）N来表示，显然，N等于R的倒数。

当λ同样取0.000555mm 时，经推导（从略）得出：
N=1477D/f （公式七）
式中，f为物镜的物方焦距；D为物镜的有效口径。

D/f 即为相对孔径。

公式六和公式七可以视为同一光学系统分辨率的不同表示，但由于系统像差的存在，还不能作为实际评价某个光学系统的依据。

比如，“理想的摄影物镜”的分辨率与相对孔径成正比，此公式只决定了视场中心的分辨率，但由于视场边缘成像光束的孔径角比轴上点小，分辨率就必然有所降低，而且在子午和弧矢方向上也有差别；实际的摄影物镜也总会残留一些像差，这就造成其实际分辨率要比“理想分辨率”低得多；视场边缘受轴外像差和光束渐晕的影响，分辨率还要低得更多。

另外，上述的摄影分辨率还是属于“目视分辨率”，实际能得到的“照相分辨率”可用如下公式表示：
1/NP=1/NL+1/NF（公式八）式中，NP为照相分辨率；NF为底片分辨率；NL为目视分辨率。

目前普通胶片的分辨率大约为—线对/毫米，像的大小或两个点之间的距离在小于
0.017mm时就无法分辨了，这只相当于“理想光学系统”在相对孔径为时的分辨率。

因此，以前一般认为摄影镜头的相对孔径小到时就接近“理想”了，并且以前一般摄影定焦镜头在F8和F11光圈时的分辨率也确实都差不多，属于最佳分辨率光圈，普通变焦镜头的最佳分辨率时的光圈还要更小些。

近几十年来，某些国家的摄影镜头的综合设计和制造工艺有了本质的提高，最佳分辨率的相对孔径值也有不同程度的提高，如，Leitz Summilux-R
（128）、Minolta AF
（126）、Minolta AF
（120）、Nikon
（120）、（123）镜头高对比度的最佳光圈值可以达到在F5.6附近，而且是中心与边缘的分辨率一样（括弧中的数字是分辨率数值）。

*关于对光学系统的评价问题
如上所述，如果我们根本无法得到一个真正的“理想光学系统”，那么我们所使用的光学系统距“理想”有多大的差距呢？这就引出了对光学系统的评价问题。

对光学系统成像质量评价的方法分为两大类，第一类用于成品的实际检测，第二类用于设计阶段的评价。

第一类主要有“分辨率检验”和“星点检验|”法。

这两种检验方法依然是光学界目前最广泛使用的像质检验方法。

对于“星点检验|”方法的理论依据如上所述，我们可以把光看作是“能够传递能量的具有方向性的几何线”（几何光学的理论基础），一个“理想光学系统”应该能使一个物点所发出的所有能通过该光学系统的光线重新聚焦于一点。

在“理想成像”时，像点是一个“理想几何点”，它即没有面积也没有体积。

如果成像不符合“理想”，则形成有一定大小的“体积”，在焦平面上则形成有一定大小的弥散斑。

所以，根据弥散斑的大小和能量分布情况（直观的为像的形状），就可以评定系统成像质量的优劣（可以分解为不同的像差）。

“分辨率”检验是拍摄画满了不同粗细的黑白相间短线条的测试板。

“星点检验|”与“分辨率检验”的结果
是一至的，假如甲与乙的焦距一样，如果甲比乙的弥散斑的表现得好，那么说明甲比乙的分辨率就一定高；假如甲的焦距比乙的更长，那么说明甲比乙的分辨率更高......“星点检验”并不是跑到野外去拍恒星，可以直接在实验室模拟拍摄。

实际拍摄天文内容的要求比在实验室的模拟拍摄要复杂得多，也不是每一次拍摄的结果都很客观，比如，天气情况的影响、跟踪精度的影响、“接受器”选择的影响，近年来又出现了普通数码相机“接收器”前面滤镜的影响等问题。

因此，“星点检验”方法是直接在实验室中模拟拍摄。

第二类又可分为“几何光学方法”和“物理光学方法”两类，前者包括“几何像差”、“波像差（瑞利判断）”、“点列图”和“几何光学传递函数”等；后者包括“点扩散函数”、“相对中心光强”和“物理光学传递函数”等。

我们经常能够在某些摄影镜头或望远镜的介绍资料中看到有关在设计中修正几何像差的曲线表示。

也有人据此来向大家来推荐某款摄影镜头或望远镜。

但要特别注意，这只是设计阶段的“成果”，不是最终产品的“成果”。

我们购买的是最终的产品，不是购买相关设计图纸的内容说明。

现在比较流行的“光学传递函数”方法既可以作为设计阶段的评价，又可以作为成品的实际检验，还可以作为复合光学系统的评价，如，对用底片拍摄后结果的最终评价等。

这是20世纪40年代以后，特别是计算机出现以后才逐渐成熟的综合检验与评价方法。

“光学传递函数”所依据的理论是可以把物面图形的亮度分布函数展开为傅里叶级数（对周期性物函数）或傅里叶积分（对非周期性物函数，可以看作周期趋于无限大的周期函数），即无论是周期函数还是非周期函数，都可以把它们分解成频率、振幅、和相位不同的余弦函数。

这样，光学系统的特性就表现为它对各种频率的余弦函数的传递和反映能力。

比如，我们就可以把分辨率测试板的某黑白相间线条图案看作是亮度呈周期分布的余弦函数。

假定光学系统符合线性和空间不变性，物平面上光强度按余弦函数分布的“余弦基元”，通过光学系统后，在像面上也是一个余弦分布（但后者的初相位和对比都将发生变化）。

两个余弦函数的空间频率之比等于光学系统的垂轴放大率。

光学系统的光学传递函数MTF的特征曲线是最大值小于１的曲线，有多种评价或检验不同“特性”的不同的绘制方式，绘制时所依据的数据就是前面所讲的像与物的两组
“对比”之比，即MTFμ＝K//K（公式九），称为光学系统对指定空间频率的对比因子，也称为振幅传递因子。

其数值越大表示“信息”的传递能力越好。

拍摄测试板高分辨率区（黑白相间的细线条区域）的“高频传递函数”能够反映被摄物体细节的传递能力，拍摄测试板低分辨率区（黑白相间的粗线条区域）的“低频传递函数”能够反映被摄物体轮廓的传递能力，而拍摄测试板中分辨率区（黑白相间的中粗线条区域）的“中频传递函数”能够反映被摄物体层次的传递能力。

由于高对比（黑白差别大）分辨率检测图案与平时物镜所拍摄的一般景物有很大差别，测试结果并不足以判断物镜的成像质量，只有对低对比（黑白差别相对小）分辨率图案的测试结果与像质的好坏才是比较一致的。

那么，在实际天文摄影的“星点检验”时，星空相当于高对比分辨率检测图案还是低对比的分辨率图案呢？应该说星空是相当于高、中、低对比都涵盖了的“图案”，更倾向于后者。

道理很简单，我们拍摄星空背景的曝光时间要远远长于拍摄分辨率检测板的曝光时间（虽然有些亮恒星的像却又是可以瞬间拍摄到的），这说明“图案”整体的亮度和对比度都很低，即，不同恒星的亮度与天空背景亮度的对比关系之间也就构成了不同对比的“图案”。

当然，利用实际天文摄影的“星点检验”法判断物镜的成像质量的情况非常复杂，需要长时间的经验积累。

反过来讲，光学系统的成像质量的优劣，就非常直接地决定了前面所提到的恒星点像的真实性问题。

*光学系统的像差容限
我们希望得到最大程度地接近于“理想”的光学系统，那么，这样的光学系统就必须最大程度地控制像差的容限。

由于波像差与几何像差之间有着较为方便和直接的联系，因此，以最大波像差为评价依据的瑞利判断也是在设计阶段方便而实用的像质评价方法。

在几何光学系统中，几何光线相当于波阵面的法线，由物点发出的同心光束与球面波相对应，此球面波经过光学系统后，会改变曲率，如果光学系统是“理想”的，则形成一个新的球面波，其球心即为物点的“理想像点”。

但实际光学系统的像差将使得通过光学系统的出射波面或多或少地变形，这一变了形的波面相对于“理想球面波”的偏离即为波像差。

评价方法是可由波像差的容许值得出几何像差的容限，再据此来修正设计中对应的像
差值。

波像差只适合于望远镜和显微镜等小像差光学系统的评价。

这类光学系统的特性是视场小而孔径较大，只需保证近轴点有很好的像质（这一特性在后面还要提到），即只要最大波像差不大于１／４波长，符合瑞利判断的要求便可。

它的局限是不能反映光学系统局部的缺陷对像质的影响，如，镜面上微小的局部凹凸、划痕和气泡等缺陷对像质的影响等。

摄影镜头是大孔径大视场光学系统，应该校正全部视场内的像差，但由于接收器分辨率的限制，镜头本身并不需要达到很高的分辨率要求，特别是我们平时所看的照片也不需要达到在放大镜下观看物体时的效果。

因此，摄影镜头基本上可以认为是属于大像差系统，它所具有的各种像差的剩余值要超出瑞利极限的好多倍。

对于这种系统，在设计阶段一般可以用点列图的方法评价。

其方法是把物镜“分割”成一定数量的等面积的方格或两端是圆弧的放射形格子，然后计算某物点所发射出的光线在通过每个格子中心之后的像的位置，只要像点的弥散斑直径在０.０３－０.１mm以内就可以认为是合格的（有人认为，集中３０％以上的点的圆形区域是实际有效的弥散班，它的直径的倒数既是能分辨的线对数）。

在光学设计中，摄影镜头的视场平均像差容限大约是望远镜的10—40倍左右，因此，我们在天文摄影中没有必要特别迷信那些高价的摄影镜头，特别是慎用“人像镜头”。

我们再回到实际天文望远镜成品的一般检测上，可以把一般的星点检验法与点列图的方法结合起来，也就是“哈特曼检验法”，即把镜面“分割”成多个等面积的“区域”，然后实际拍摄一个点光源，在焦点前后各拍摄一张照片，是虚像。

经过测量虚像的位置后便可计算出通过每一个“区域”的光线在焦平面上的光能量分布情况，进而判断成品的质量。

即，光能量的分布越集中，分辨率越接近于“理想”。

这可以看成是把主观的星点检验法量化了。

比如，国家天文台的“216”望远镜的设计要求是在焦点上能集中80%以上的光能量分布，但实际的光能量分布并没有这么高。

在当时条件下的检验时，是在镜片前面放了一块均匀分布了几百个孔洞的遮挡板，就相当一个点列图的模板。

现在已经有了专业的哈特曼检验仪，可以把它放在焦平面前的光路中……
*望远镜与摄影镜头在校正像差设计上的区别
光学系统校正像差的原则为：
在所用光波两端消色差，中间波段消球差等像差。

可见光波长从长到短的排序为：
红色光——A/(768.20)、ｂ(706.52)、C(656.28)
黄色光——D(589.29)、d(587.57)
绿色光——e(546.07)
青色光——F(486.13)、g(435.83)
蓝色光——G/(434.05)
紫色光——h(404.66)
括弧中的数字为波长，单位为纳米。

人眼最敏感的波长（555nm）介于D 光与e光之间，属于黄绿色光。

对于目视光学系统的校正：
对C光和F光消色差，对D光（国际通行）或e光（德国、前苏联）消球差等像差，因为D光是接近于C光和F光中间，e光更接近于人眼最敏感的波长，而对C光和F光接近于人眼最敏感波长的两端。

对于使用传统胶片的普通摄影系统的校正：
对d光和g光消色差，对F光消球差等像差。

对于天文与航空摄影系统的校正：
对F光和h光消色差，对G/光消球差等像差。

*光学系统的实际选择问题
不可能有“通用型”的光学系统，为目视设计的光学系统改用于摄影时，或为摄影设计的光学系统改用于目视时，都会在改用后出现色差增大的问题。

我尝试过用不同的尼康中长焦定焦镜头接天文望远镜目镜观察物体，它们的色差程度与普通的国产普及型天文望远镜或双筒镜相当，甚至是好于上述很多的望
远镜，但其色差非常明显地大于某些三片结构并采用ED玻璃制造的折射式普及型天文望远镜，白天观察某些物体时会出现“黄边”和“紫边”。

这也说明很多国产望远镜的质量有待于进一步地提高。

在普通摄影中，目前光学系统中最被关注的的像差是色差和畸变，因为其它的像差很难在拍摄普通内容的照片中被发现，甚至我们会有意地利用某些像差而达到使照片有特殊效果的目的。

如，在拍摄年轻女性人像时，往往喜欢利用球差而达到“柔焦”的效果，很多高价的“人像镜头”就是有意保留了较多的球差（还应用了其它方法）。

在天文摄影中，目前一般“可用”的光学系统（即排除了质量较差的光学系统）最明显的像差是色差、畸变、场曲和像散。

普及型反射式天文望远镜一般采用牛顿系统，其优点是没有色差，因为光线始终是在同一种介质中传播。

其缺点是轴外像差很大，其像点在整体上就显得不是很锐利。

在天文摄影时必须加像场改正镜以校正像差。

普及型折反射天文望远镜一般采用马克苏托夫－卡塞格林系统，其优点是没有色差，因为光线大部分是在同一种介质中传播。

其缺点是像的对比（反差）比较低，这是由于其弥散斑接近于环形，相对较大。

也正是因此，其像点也显得不是很锐利。

三片及三片以上结构并采用ED或萤石玻璃制造的折射式普及型天文望远镜的像质最好，色差在可接受的范围之内，特别是对比（反差）和色彩传递（还原）能力都很好，但有些望远镜会有明显的畸变或像散存在。

望远型中长焦摄影镜头中镜片的曲率较小，因此球差较小（相对而言），比较适合于天文摄影。

但由于其光学结构的不对称性，往往色差比较难校正。

在选择镜头时，一定要先找镜头的光学结构图作为基本参考。

天体相对于我们地面上的观察者而言都处于“无限远”，因此在天文摄影时，天体像的大小只取决于摄影物镜的焦距（不论接收器的画幅多大）。

当用焦距小于200mm的望远型摄影镜头拍摄天体时，由于恒星的像不是很大，即使摄影镜头残留一定的色差（一般是轴向色差）也不会过多地影响画面质量，恒星的点像依然是圆形且相对锐利的。

但如果镜头有其它的像差存在，往往会很明显地影响画面质量，恒星的点像变形较大或模糊；当用焦距长于300mm并采
用特殊色散玻璃制造的摄影镜头的最大光圈状况下拍摄天体时，像质一般会比较平均（与望远镜相比），但不一定是很好，有些镜头还会有严重的像散存在；当用较高级的普及型天文望远镜拍摄天体时，往往是中心像质会很好，但边缘像质就有可能不理想了，即便是使用三片或三片以上结构并采用特殊色散玻璃制造的折射式望远镜拍摄。

一般是畸变较大，个别的会是像散较明显。

如前所述，这主要是因为望远镜校正像差的重点在视场的中心位置，而目镜所框定的视场范围要明显小于底片接受器所框定的视场范围（也要看目镜的焦距）；另外，镜片的镀膜和镜筒内的消杂散光处理的质量缺陷（虽然不属于像差）对天文摄影的影响也非常大，会使光学系统的对比（反差）和色彩传递（还原）能力降低。

最常用的日本和德国生产的摄影镜头的镀膜和消杂散光处理都比较好。

不论是从过滤紫外线（对着天空长时间曝光），还是出于在夜晚潮湿环境中保护镜头的考虑，在天文摄影时都应该在摄影镜头前加装UV镜，但目前市场上进口UV镜的假货很多，在选择时应该特别注意。

在镜头后面加装望远镜目镜观察不太远处的物体时，就能看出加装劣质UV镜对像质的影响，那么，对摄影的影响就可想而知了。

下面通过一些摄影作品的实例来具体分析一下摄影镜头的像差等因素对像质的影响。

首先需要说明的是，由于各张照片拍摄时的条件不同，生成最后图像的条件更不同，照片间不能作横向比较。

照片1使用的是尼康MF85mm /1.4镜头在F2时拍摄的，胶片是普通柯达负片，直接扫描底片。

虽然拍摄时镜头的光圈较大，但作品本身应该说还是比较成功的，画面柔和、层次分明、色彩丰富，符合人们一般的审美欣赏习惯，并且谁也不会怀疑“此时”的镜头会有什么缺陷。

照片2使用的是尼康MF55 mm /1.2镜头在F1.2时拍摄的，直接扫描底片，效果同前。

照片3使用的是尼康MF50mm /1.4镜头在F1.4时拍摄的，照片直接扫描。

这只镜头与前两者都是双高斯对称结构。

从照片3中可以明显地看出，虽然色彩很丰富，但“此时”的镜头有严重的球差、彗差、轴向色差和渐晕。

假如用它拍摄人像，效果与照片。