近世代数正规子群与商群

2.正规子群的等价性命题:它既是正规子群的性质， 也是正规子群的判定定理； 3.商群: 注意当Ｎ是Ｇ的正规子群时，Ｇ关于 Ｎ才能作成商群．
练习
1.设N G, 且[G : N ] 2, 证明: N G.
2.设N G, 证明: N G NG ( N ) G.
作业
教材P 1,4题 69第
1
证明
(1) (2)an aN Na an n1a, n1 N ana n1 N
Hale Waihona Puke Baidu1
(2) (3)显然
(3) (4)由(3)知a 1 Na N n N , a 1na N 于是n a(a na)a aNa
1 1 1
N aNa1 aNa1 N
(5) (1)设aN Nb, a aN a Nb 由于a Na a Na Nb Na Nb Na Nb aN Na 故N G
1 1
三、例题分析
例1 证明
设H G, N G, 证明: HN G
e ee HN HN h1 , h2 H , n1 , n2 N
(4) (5)aN, a N ana1 aNa1 N ana1 n1 , n1 N an n1a Na aN Na 反之, n N aNa n an2 a , n2 N na an2 aN Na aN 故aN Na
二、正规子群的等价性命题
定理
设 N G, 则下述命题等价
(1) N G , (aN Na , a G (2)ana N , a G , n N (3)aNa1 N , a G (4)aNa1 N , a G (5) N的每一个左陪集也是右 陪集.
1 1 ( h1n1 )(h2 n2 ) 1 h1n1n2 h2 1 1 1 ( h1h2 )(h2 n1n2 h2 ) HN
HN G
例２
设H G, N G, 证明: HN G, H N G
证明 (1)首先HN G, a G, h H , n N
规定
aN bN (ab) N , aN, bN G / N
则(G / N ,)是一个群 .
G / N称为G关于N的商群 .
[G : N ], 推论 商群G / N的阶是N在G中的指数 |G| 当G是有限群时 , G / N的阶是 . |N|
四、小结
1.正规子群: G中每个元素a对应的左陪集aN和 右陪集Na都相等;
ahna1 (aha1 )(ana1 ) HN HN G
(2)首先H N G, a G, x H N H G axa1 H , N G axa1 N axa1 H N H N G
三、商群
定理２
设G是群, N G, 令 G / N aN | a G
设H G, 若
一、正规子群的定义
定义
设N G, 若a G, 有aN Na, 则称N是G的正规子群 , 记作N G. 正规子群也称不变子群
例1
e与G, 任意一个群G都有两个正规子群
这两个正规子群称为 G的平凡正规子群 . 若N G, 且N e, N G, 称N是G的非 平凡正规子群