函数的极限Q
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第三节 函数的极限
第一章
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为
面积为A )
直接观测值 确定直接观测值精度 :
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，
1
1
都有水平渐近线 y 0;
1 x
x
又如，
都有水平渐近线 y 1.
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内容小结
1. 函数极限的" " 或" X " 定义及应用
2. 函数极限的性质: 保号性定理 Th1 Th2
思考与Βιβλιοθήκη Baidu习
x0
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二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
0, X 0,
则称常数
A 为函数
时的极限, 记作
lim f (x) A
x
x X 或x X
A f (x) A
几何解释:
y
A
A
y f (x)
A
X O X
x
直线 y = A 为曲线
x)
x 0
1, ,
x 1 ,
x0 x0 x0
y y x 1
1
O 1 x y x 1
讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 3 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x x0
即
当
几何解释: y
A
时, 有 y f (x) 这表明:
A
A
极限存在 函数局部有界
O
x0
x
(P36定理2)
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例1. 证明
证: f (x) A
故 0, 对任意的 0, 当
时,
总有 因此
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例2. 证明
证:
2 x 1
0, 欲使
0, 欲使
只要
且
而
可用
保证 . 故取
min x0 , x0, 则当 0 x x0 时, 必有
因此
lim
x x0
x
x0
O x x0
x
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2. 保号性定理
定理1 . 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f (x) 0. (P37定理3) ( f (x) 0)
时, 有
右极限 :
f
(x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0, 0, 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
定理 3 .
lim f (x) A
x x0
lim f (x) lim f (x) A
x x0
xx0 ( P39 题*11 )
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例5. 给定函数
f
(
证: 已知
即 0,
当
时, 有
当 A > 0 时, 取正数
(< 0)
( A)
则在对应的邻域
上
y
A
A
A
( 0)
y f (x) x0x0 x
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推论: 若 时, 有
则存在
(P37定理3´)
使当
分析:
若取 A , 则在对应的邻域
2
A 0:
A f (x) 3A
2
与已知
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A 0 . (同样可证 f (x) 0 的情形)
思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x) 0, 是否必有 A 0?
不能! 如
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3. 左极限与右极限
左极限 :
f
(x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0, 0,当 x ( x0 , x0 )
边长
x x0
间接观测值 面积
任给精度 , 要求 x2 A
A x0
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定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,
若 0, 0,当 0 x x0 时, 有 f (x) A
则称常数 A 为函数 当
时的极限, 记作
lim f (x) A 或
2
A 0:
3
A
f (x)
A
2
2
上
y
A
A
A
y f (x) x0x0 x
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定理 2 . 若在 的某去心邻域内 f (x) 0 , 且
则 A 0.
( f (x) 0)
(A 0)
证: 用反证法.
假设 A < 0 , 则由定理 1,
存在 的某去心邻域 , 使在该邻域内
的水平渐近线 .
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例6. 证明 lim 1 0. x x
证:
10 1
x
x
故 0, 欲使
取X 1,
因此
只要 就有
注:
yy1 x
Ox
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两种特殊情况 :
lim f (x) A
x
0, X 0, 当 f (x) A
时, 有
0, X 0, 当 x X 时, 有 f (x) A
与左右极限等价定理 Th3
1.
若极限 lim
x x0
f
(x) 存在,
是否一定有 lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
例3
？
2. 设函数 f (x)
a x2 , x 1 且 lim f (x) 存在, 则 2x 1, x 1 x1
a 3 .
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只要
取 2 , 则当 0 x 1 时, 必有
因此
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例3. 证明
证: f (x) A
故 0, 取 , 当 x2 1 2
x 1
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时, 必有
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例4. 证明: 当
时
证:
1 x0
x x0
第一章
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为
面积为A )
直接观测值 确定直接观测值精度 :
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，
1
1
都有水平渐近线 y 0;
1 x
x
又如，
都有水平渐近线 y 1.
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内容小结
1. 函数极限的" " 或" X " 定义及应用
2. 函数极限的性质: 保号性定理 Th1 Th2
思考与Βιβλιοθήκη Baidu习
x0
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二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
0, X 0,
则称常数
A 为函数
时的极限, 记作
lim f (x) A
x
x X 或x X
A f (x) A
几何解释:
y
A
A
y f (x)
A
X O X
x
直线 y = A 为曲线
x)
x 0
1, ,
x 1 ,
x0 x0 x0
y y x 1
1
O 1 x y x 1
讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 3 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x x0
即
当
几何解释: y
A
时, 有 y f (x) 这表明:
A
A
极限存在 函数局部有界
O
x0
x
(P36定理2)
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例1. 证明
证: f (x) A
故 0, 对任意的 0, 当
时,
总有 因此
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例2. 证明
证:
2 x 1
0, 欲使
0, 欲使
只要
且
而
可用
保证 . 故取
min x0 , x0, 则当 0 x x0 时, 必有
因此
lim
x x0
x
x0
O x x0
x
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2. 保号性定理
定理1 . 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f (x) 0. (P37定理3) ( f (x) 0)
时, 有
右极限 :
f
(x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0, 0, 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
定理 3 .
lim f (x) A
x x0
lim f (x) lim f (x) A
x x0
xx0 ( P39 题*11 )
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例5. 给定函数
f
(
证: 已知
即 0,
当
时, 有
当 A > 0 时, 取正数
(< 0)
( A)
则在对应的邻域
上
y
A
A
A
( 0)
y f (x) x0x0 x
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推论: 若 时, 有
则存在
(P37定理3´)
使当
分析:
若取 A , 则在对应的邻域
2
A 0:
A f (x) 3A
2
与已知
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A 0 . (同样可证 f (x) 0 的情形)
思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x) 0, 是否必有 A 0?
不能! 如
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3. 左极限与右极限
左极限 :
f
(x0 )
lim
x x0
f
(x)
A
0, 0,当 x ( x0 , x0 )
边长
x x0
间接观测值 面积
任给精度 , 要求 x2 A
A x0
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定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,
若 0, 0,当 0 x x0 时, 有 f (x) A
则称常数 A 为函数 当
时的极限, 记作
lim f (x) A 或
2
A 0:
3
A
f (x)
A
2
2
上
y
A
A
A
y f (x) x0x0 x
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定理 2 . 若在 的某去心邻域内 f (x) 0 , 且
则 A 0.
( f (x) 0)
(A 0)
证: 用反证法.
假设 A < 0 , 则由定理 1,
存在 的某去心邻域 , 使在该邻域内
的水平渐近线 .
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例6. 证明 lim 1 0. x x
证:
10 1
x
x
故 0, 欲使
取X 1,
因此
只要 就有
注:
yy1 x
Ox
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两种特殊情况 :
lim f (x) A
x
0, X 0, 当 f (x) A
时, 有
0, X 0, 当 x X 时, 有 f (x) A
与左右极限等价定理 Th3
1.
若极限 lim
x x0
f
(x) 存在,
是否一定有 lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
例3
？
2. 设函数 f (x)
a x2 , x 1 且 lim f (x) 存在, 则 2x 1, x 1 x1
a 3 .
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只要
取 2 , 则当 0 x 1 时, 必有
因此
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例3. 证明
证: f (x) A
故 0, 取 , 当 x2 1 2
x 1
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时, 必有
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例4. 证明: 当
时
证:
1 x0
x x0