第六章 散射

第六章 散射

§6.1碰撞过程，散射截面

散射实验在近代物理学的发展中起了特别重要的作用。

特别是在认识原子、分子、核及粒子的结构性质方面，Rutherford 的粒子散射→原子的结构。

从此揭开了原子结构的新篇章，夫兰克赫兹实验证明了玻尔关于原子有定态的假设，原子很小，很难看到其微观结构，只能通过粒子与其作用，探测其性质，结构,就像用石头探水深，投石问路的方式探测其结构。

散射现象也称为碰撞现象

通过散射表现出的宏观现象，研究靶的结构性质

Δ散射态是一种非束体态，涉及到体系能谱的连续区部分，人们可以自由地控制入射粒子的能量。

Δ束体态理论主要在于求体系的分立能量本征值，和本征态以及在外界作用下量子态之间的跃迁规律。

Δ散射主要关心散射粒子的角分布及散射过程中粒子各种性质的变化。 Δ散射实验所观测到的都是离靶“很远”地方粒子的行为o r a 因此关心波函数在r →∞的渐近行为。

散射过程的一些基本概念

①一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能变换，粒子内部状态无改变态，则称为弹性碰撞（散射）若碰撞中粒子内部状态有所改变，如原子被激发或电离，则为非弹性碰撞，注意和经典物理中物体碰撞的比较。

②粒子和另一粒子的散射实质是粒子与力场的作用，微观原子为靶时，实质是粒子与原子的作用，场电、电场、核力确定

原子、粒子很小靶粒子称为散射中心，当靶A 的质量能入射粒子质量大得多时，可忽略靶的运动。这样以来入射粒了受A 的作用偏离原来运动方向，发生散射于原来方向的夹解Q ，为散射角，如以极坐标描述，取入射粒子流方向为∂轴，则Q 用就为散射角。 研究dn

单位时间内散射到面积元ds 上的粒子数dn ，当r 一定时，取求面上面积元ds 则，dn dx ∞当r 变化时2ds r ∞

∴2

ds dn d r

∞

=Ω

即与ds 所张的立体角成正比，同时dn 与入射粒子流强度N 成正比

N 定义，单位时间穿过单位横截面的粒子数 d n N d ∞Ω

一般情下，不同方向(,)θϕ散射到的粒了数不同 (,)d N q N d θϕ=Ω

(,)dn q Nd θϕ=Ω 当N 一定时，单位时间散射到(,)θϕ方向立体角ds 内的

粒子数dn 由(,)q θϕ确定，(,)q θϕ与入射粒子，散射中心的性质等有关

(,)q θϕ的量纲为2

L

面积 (,)dn

q N d θϕ=

Ω

(,)q θϕ称为微分散射截面

一个粒子(,)q d θϕΩ散到(,)θϕ方向d Ω立体内的几率 N 个粒子 (,)q Nd θϕΩ散到(,)θϕ方向d Ω立体内的个数 N 为单位时间入射粒子则(,)q Nd θϕΩ单位时 个数 将(,)q d θϕΩ对所有方向积分

2(,)(,)sin o

o

Q q d q d dp π

πθϕθϕθθ=

Ω=⎰⎰⎰

称为总截面

量子力学如何处理散射？

取散射中心为坐标原点，用()U r 表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，则体系的薛方程为

2

2

2U E ψψψμ

-∇+=

式中的μ为入射的质量，E 是它的能量

为了方便，定交

22

2

2

2E p k

μ=

=

p

k

v μ

μ

=

=

2

2()()

V r U r μ=

h

p k λ

==

2p k π

λ

==

方程变为 22(())0k V r ψψ∇++=

我们关心r →∞时ψ的行为，假设r →∞时()0U r →

在粒子远离散射中心时，作用超于零，()U r 比1

r 更快超于零，对电场不适

用。

这样在r →∞地方，波函数由两部分组成

1ik A e

ψ∂

= 2

(,)

i k r

e

f r

ψθϕ=

入射粒子平面波 散射粒子的球面波，向外传播

12(,)

ikr

ik r e

Ae

f r

ψψψθϕ∂

→∞

→+=+

我们只考虑弹性散射，散射波能量不改变，波矢k 不变，(,)f θϕ是,θϕ的函数与r 无关。

取1A =则2

1

1ψ=表示每位体积内有一个入射粒子，入射几率流密度是

*

*

*

*

111

1

1111[][]22z i i J ik ik z

z

ψψψψψψψψμμ

∂∂=

-=

--∂∂

[2]2i k

ik V μ

μ

=

-=

=

即入射粒的粒了流强度N 散射波的几率流密度：

*

2*222

2

2

2()[](,)22ikr ikr ikr r i i e re ik e

J f r r r r

ψψψψ

θϕμμ--⎡∂∂--=

-=⎢∂∂⎣ 2

2

12

222(,)

(,)2ikr

ikr

ikr

e

re ik e

i ikr r rik r f f r

r r r r θϕθϕμ-⎤----⎡⎤-=-⎥⎢⎥⎣⎦⎦

2

2

2

2

2

2

21

(,)(,)

(,)2i ik k v f f f r

r r

θϕθϕθϕμ

μ-=

⋅

=

⋅=

即2

2

1(,)

r J J f r

θϕ∂

=

散射流密度单位时间内穿过球面上单位面积几率

2

2

2

(,)(,)r v dn J ds f ds v f d r θϕθϕ==

=Ω

V=N

则d Ω为单位时间穿过面积ds 或在(,)θϕ方向d Ω立体角内的粒子数。 ∴2

(,)(,)f q θϕθϕ=微分散射截面(,)f θϕ称散射振幅，可见剩下的问题是要求解(,)f θϕ和具体的()U r 有关

§6.2辏力场中的弹性散射（分波法）

对于中心力场，势能()U r

只怀粒子到散射中心的距离

r 有关，与r

的方向无

关

薛方程写为 22

()0K V r ψψ⎡⎤∇+=⎣⎦

我们在极坐标下解此方程，取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极

轴，波函数ψ和散射振幅f 与ϕ角无关

一般解可写为 (,,)(,)l lm lm

r R y ψθϕθϕ=∑ em y 球函数 m e P 缔合勒组征

因 (,)(1)(cos )m m im lm lm l y N P e ϕθϕθ=- e P 勒让德多项式 现在ψ与ϕ无关，故0m = ∴(,)()(cos )l

l

l

r R r P ψθθ=

∑

即将波函数用勒让德多项式展开或按角动量的本征态展开，这样分解出的角