储庆昕高等电磁场讲义第十章解析

第10讲 等效原理与感应定理

10.1 等效原理

电磁场问题的解是由方程和边界条件决定的。也就是说，如果保持区域中的源分布、媒质分布以及区域边界上的边界条件不变，则场分布不变。这些便是电磁场等效原理的基础。

唯一性定理告诉我们，只要知道了所规定区域v 中的源、媒质及包围该区域的闭合曲面s 上的切向电场或切向磁场则该区域中的场唯一确定。这里并未提及区域v 外的源和媒质的分布情况。事实上，区域v 外的源对区域v 内的场的贡献已包含在曲面s 上的切向电场或切向磁场中。区域v 外不同分布的源只要在闭合曲面s 上产生相同的切向场，在区域v 内产生的场也相同。

等效的概念是这样表述的：在区域v 外具有不同源分布和媒质分布，而在区域v 内源分布和媒质分布相同的一些电磁场问题如果在区域v 内具有相同的场分布，则对区域v 内而言这些电磁场问题是等效的。

考虑如图10-1(a) 所示的场问题。

(a) (b)

图10-1 等效原理 (a) 原问题 (b) 等效问题

曲面s 将区域分成两部分v 1和v 2。原问题在s 上满足

() ()n H H n

E E a a a a ⨯-=⨯-=⎧⎨

⎪⎩⎪ 0

0 （10-1） 即在s 上不存在源。将（10-1）写为

n H n

H n E n E a a a a

⨯=⨯⨯=⨯⎧⎨⎪⎩⎪ （10-2） 虽然在数学上（10-2）只是（10-1）变化而来的恒等式，似乎很无聊，但反映的物理内含是不同的。

（10-1）表示的是区域v 1和v 2的交界面边界条件，而（10-2）表示的是包围区域v 1或v 2的闭合曲面的切向场边界条件。

s

M 1J

a a H E

,

2v 1M

2J

n

ˆ 2M

s

1v

a a H E ,

b b H E ,

2v

s

J n ˆ 2M

s

1v

a a H E , 2J

如果人为地令区域v 1中场为 E b 、 H b ，而v 2中源、媒质和场分布保持不变，如图10-1(b) 所示。设在曲面s 上

() ()n H H J n

E E M a b s

a b s ⨯-=⨯-=-⎧⎨

⎪⎩⎪ （10-3） 式中， J s 和

M s 分别表示在曲面s 上区域v 1和v 2中的切向磁场和电场的差值。

根据两区域交界面的边界条件可知， J s 和

M s 就是在曲面s 上的面电流源和面磁流源。所以，为

了支持如图10-1(b) 所示的场分布，在s 面上应人为地加上面电流源 J s 和面磁流源

M s :

J n H H M n

E E s a b s a b =⨯-=-⨯-⎧⎨⎪⎩⎪ ()

() （10-4） 实际上， J s 和

M s 的作用是，它们在v 2中产生的场恰好抵消了v 1中的变化对v 2中场的影响，使v 2中

的场保持不变。

如果把s 面看成包围v 2的闭合曲面，则由（10-3）和（10-4）得s 面上的切向场满足

n

H J n H n H a s b a ⨯=+⨯=⨯ （10-5） n

E M n E n E a s b a ⨯=-+⨯=⨯ （10-6） 与（10-2）相同。所以对于区域v 2来说，图10-1(b)与图10-1(a)的问题等效。

注意，在上述讨论中并未涉及v 1中源和媒质分布，即它们可以随意设定，这对分析是很有好处的。下面讨论几种常用的特殊情况下的等效原理。

Love 场等效原理

令图10-1(b)中区域v 1中的场为零场，则s 面上的等效面流为

J n H M n

E s a

s a =⨯=-⨯⎧⎨⎪⎩⎪ （10-7） 情况1：设v 1中媒质分布与v 2中相同，即ε2、μ2, 则等效问题就是自由空间中均匀填充ε2、μ2的源辐射问题。

情况2：设v 1中填充理想导体。注意s 面即不属于v 1也不属于v 2，而是无限靠近两区域。所以这时 J s 和 M s 是无限靠近理想导体。根据互易定理，这时

J s 是不产生电磁场的。所以这时s 面上起作用

的只有面磁流

M s 。

情况3：设v 1中填充理想磁体。这时面磁流

M s 不产生场，起作用的只有面电流 J s 。

情况2和3也印证了电磁场唯一性定理，只需切向电场或切向磁场之一就可以唯一确定场。

多区域等效原理

下面介绍更一般的等效原理，多个区域等效于多个原有问题。为方便起见，不失一般性，这里只考虑双区域等效原理。

(a) (b)

如图（10-2a ）、（10-2b ）分别表示两个电磁场原问题a 和b 。现在建立一个等效问题，在s 面之内等效于原问题a ，在s 面之外等效于原问题b 。

建立方法如下：在s 面之外规定场、媒质和源分布与a 问题相同，在s 面之内规定场、媒质和源分布与b 问题相同。

(c) (d) 图10-2 双区域等效原理 (a) 原问题a (b)原问题b (c) 等效于s 面外的a 和s 面内的b (d) 等效于s 面外的b 和s 面内的a

为了支持这样的场，在s 面上必须有面电流 J s 和面磁流

M s 。根据边界条件，这些表面流是

J n

H H M n E E s a b s a b =⨯-=-⨯-⎧⎨⎪⎩⎪ () ()

（10-8） 图（10-2c ）显示了这一等效问题。对于问题a 而言，等效表面流恰好抵消了s 面以内区域的变化对s 面

外区域的影响。而对于原问题b 而言，等效表面流恰好抵消了s 面以外区域内的变化对s 面以内区域的影响。用类似的方式可建立另一个问题，等效于s 面之外的b 问题和s 面之内的a 问题，如图（10-2d ）所示。注意，在每一种情况中，对于等效场的区域内，必须保证原有的源和媒质。

s

M 2

v n

ˆs

1

v a

a H E ,2

v n

ˆs

1

v b

b H E ,a

a H E ,b

b H E ,s

J s J s

M a

a H E ,2

v n

ˆs

1

v a

a H E ,b

b H E

,2

v n

ˆs

1

v b

b H E ,