空间中的垂直关系

例2．已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直 线AP⊥l. 求证：AP在α内。
证明：设AP与l 确定的平面为β，假设AP 不在α内， 则设α与β相交于直线AM。 因为l⊥α，AM 所以l⊥AM，
α,
又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点A有两条直线垂直于l，
这是不可能的， 所以AP一定在α内。
直线与平面垂直的判定方法 1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的 任何一条直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面 内的两条相交直线，那么此直线垂直于这 个平面。 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这 条直线和平面垂直
例1．过一点和已知平面垂直的直线只有 一条。 已知：平面α和一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条。
证明：不论P点在α外或内，设PA⊥α，垂 足为A(或P)， 如果过P点，除直线PA⊥α外，还有一条直 线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β, 且α∩β=a， 于是在平面β内过点P有两条直线PA， PB垂直于交线a， 这是不可能的。所以过点P与α垂直的直 线只有一条。
∵ SC⊥平面ABCD，
∴ EF⊥平面ABCD，
又EF
平面BDE，
∴ 平面BDE⊥平面ABCD.
4． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB=BC=3，B1B=4，连接B1C，过B作 BE⊥B1C，交B1C于F，交CC1于E， 求证： 平面BDE⊥平面A1BCD1。 证明：连接AC， ∵ABCD－A1B1C1D1是长 方体， ∴ AA1⊥面ABCD， 又∵ ABCD是正方形， ∴ AC⊥BD，
空间中的垂直关系(1-2)
一. 直线与平面垂直的定义
1． 两直线互相垂直：
如果两条直线相交于一点或经过平移 后相交于一点，并且交角为直角，则称这 两条直线互相垂直。
观察旗杆与地面内的每一条 直线有什么关系，旗杆与地面的 关系呢？
2． 直线与平面垂直： 如果一条直线（l）和一个平面（α）相 交于点A，并且l和这个平面内过点A的任 何直线都垂直，则该直线垂直于这个平面， 记作l⊥α，这条直线叫做平面的垂线，这 个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足。
这是在线面垂直问题中经常要用到的 一个结论。 判断正误：
如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直 线都垂直，则直线 l和平面 α互相垂直.
二. 直线与平面垂直的判定定理 1．定理： ①文字语言：如果一条直线与平面内的两 条相交直线垂直，则这条直线与这个平面 l 垂直. ②图形语言：

b O a
③符号语言：a α，b l⊥a，l⊥b， l⊥α.
3．平面与平面垂直的性质定理：
①文字语言：如果两个平面垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于 另一个平面； ②图形语言： ③符号语言：α⊥β,α∩β=a，AB AB⊥a，且垂足为B， AB⊥β. α，
已知：平面α⊥平面β，α∩β=CD，BA α，BA⊥CD，B为垂足， 求证：BA⊥β. 证明：在平面β内过点B作BE⊥CD， 因为α⊥β， 所以BA⊥BE， 又因为BA⊥CD， CD∩BE=B， 所以BA⊥β。
又AC是A1C在面ABCD上的射影，由三垂 线定理得 A1C⊥BD.
又A1B1⊥面B1BCC1，且B1C是A1C在面 B1BCC1上的射影，BE⊥B1C，
∴ A1C⊥BE，A1C⊥面BDE， 又A1C
面A1BCD1，
∴ 平面BDE⊥平面A1BCD1.
α，a∩b=O，
实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折 痕AD ，且使折痕AD⊥BC，将翻折后的纸片 竖起放置在桌面上，（BD、DC 与桌面接触）.
A
B
D
C
推论1 ：如果两条平行直线中的一条垂 直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面．
已知： a ， 求证： b ．
a /． /b
两个平面α，β互相垂直， 记作：α⊥β。
两个平面互相垂直的画法： 画两个互相垂直的平面，把直立平面 的竖边画成和水平面的横边垂直，如图 所示，平面α和平面β垂直，记作：α⊥β。
2． 平面与平面垂直的判定定理：
①文字语言：如果一个平面过另一个平面 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言：
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， AB α⊥β。 α
l
A b α
a
在几何中，定义兼具两重性，既是 判定又是性质。
判定是指：如果一条直线垂直一个平面内 的任意一条直线，那么这条直线与这个平 面垂直，这是判定证明直线与平面垂直的 一种方法； 性质是指：如果一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线垂直于这个平面内的任意一 条直线。
a ab 即 b
证明：假设直线m与直线l不
平行。过直线m与平面α的交
点B作直线m’//l，
由直线与平面垂直的判定定理的推论1可 知m’⊥α. 设m和m’确定的平面为β，α与β的交线 为a， 因为直线m和m’都垂直于平面α， 所以 直线m和m’都垂直于交线a， 因为在同一平面内，通过直线上一点并 与已知直线垂直的直线不可能有两条， 所以直线m与m’必重合， 即有l //m.
证明：设m是α 内的任意一条直线．
a a m m b m b a / /b m
推论2：如果两条直线垂直于同一个平 面，那么这两条直线平行 。 已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α， 垂足分别为a，b，求证：l//m.
练习题：
1 、如果平面外的一条直线上有两
点到这个平面的距离相等，则这条直线
和平面的位置关系是（ C ） A.平行 B.相交 C.平行或相交
2、在空间，下列命题
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
（2）在原图中，直角△BAC，因为 AB=AC=a，所以BC= 2 a， 所以 BD=DC=
2 2
a，
△BDC是等腰直角三角形。 所以BC= 2 BD= a △BDC是等腰直角三角形。 所以AB=AC=BC， 因此∠BAC=60°.
练习题
1． 下列命题中正确的是（ C ） （A）平面α和β分别过两条互相垂直的直 线，则α⊥β （B）若平面α内的一条直线垂直于平面β 内的两条平行直线，则α⊥β （C）若平面α内的一条直线垂直于平面β 内的两条相交直线，则α⊥β （D）若平面α内的一条直线垂直于平面β 内的无数条直线，则α⊥β
正确的是（ B ）
A. (1)(3)(4) B. (1)(4)
C. (1)
D.四个命题都正确。
3． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中， O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为 垂足，求证：B1H⊥平面AD1C.
D1 C1
证明：连接B1D1， ∵ B1B⊥AB，B1B⊥BC， ∴ B1B⊥平面ABCD， ∴ B1B⊥AC，
例3．已知：平面α⊥平面β，在α与β的交 线上取线段AB=4cm，AC，BD分别在平面 α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且 AC=3cm，BD=12cm，求CD的长。 解：连接BC， 因为BD⊥AB，直线AB是 两个互相垂直的平面α 和 β的交线，
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 直角三角形， 在直角△BAC中，BC= 32 42 5 在直角△CBD中，CD= 52 122 13 所以CD的长为13cm.
例4．已知Rt△ABC中，AB=AC=a，AD 是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC 成直角，求证： （1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥ 平面BDC； （2）∠BAC=60°.
证明：（1）如图，因为AD⊥BD， AD⊥DC， 所以AD⊥平面BDC，
因为平面ABD和ACD都过AD， 所以平面ABD⊥平面BDC， 平面ACD⊥平面BDC；
2．设两个平面互相垂直，则（ B ） （A）一个平面内的任何一条直线都垂直 于另一个平面 （B）过交线上一点垂直于一个平面的直 线必在另一个平面内 （C）过交线上一点垂直于交线的直线必 垂直于另一个平面 （D）分别在两个平面内的两条直线互相 垂直
3. 如图所示：四边形ABCD是平行四边形， 直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点， 求 证：平面EBD⊥平面ABCD. 证明：连接AC，BD，交点为F， 连接EF，EF是△SAC的中位线， ∴ EF//SC.
A A1 B1 H D O B C
∵ 又AC⊥BD， ∴ AC⊥平面BB1D1D，
又B1H平面BB1D1D，∴ AC⊥B1H，
又B1H⊥D1O，∴ B1H⊥平面AD1C.
平面与平面垂直
1． 定义：如果两个相交平面的交线与第 三个平面垂直，又这两个平面与第三个平 面相交所得的两条直线互相垂直，就称这 两个平面互相垂直。