数学模型的建立及数值求解
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构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分
析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择 求解模型的数学方法和算法，然后编写计算机 程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计 算机完成对模型的求解。
1.2.5 模型分析
稳定性分析（分析结果重复获得的可能性）
系统参数灵敏度分析，或进行误差分析
对模型进行评价、预测、优化等方面的分析
类比分析法：如果有两个系统，可以用同一形式的数学 模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析 法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似， 去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。 例：在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断
增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在
1.2.1 建模准备
了解问题的实际背景，明确建模的目的。
建模筹划：深入生产和科研实际以及社会生
活实际，掌握与课题有关的第一手资料，汇
集与课题有关的信息和数据。
1.2.2 建模假设
原型抽象和简化，准确把握本质属性。 简化掉那些非本质的因素，形成对建模有用的信息资源和前 提条件。 假设合理性原则有以下几点：
关系是符合实验事实的，但事实上空位形成能大约只 为结合能的1/2到1/4。
模型应用
根据自由能最小的条件，可以求出在热力学平衡状态
下的空位浓度。
对原型进行适当的抽象、 简化，把那些反映问题 确立建模课题的过程， 本质属性的形态、量及 就是要了解问题的实 其关系抽象出来，简化 际背景，明确建模的 掉那些非本质的因素， 目的。作为课题的原 使之摆脱原来的具体复 型往往都是十分复杂 杂形态，形成对建模有 的，具体的。 用的信息资源和前提条 件确立建模课题的过程。
参量与炉气碳势之间的理论关系式。
模拟方法：如果模型的结构及性质已经了解，但是数 量描述及求解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构 和性质与其相同，而且构造出的模型也是类似的，就 可以把后一种模型看作是原来模型的模拟，对后一个 模型去分析或实验，并求得其结果。 钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分 布，采用环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根 据钢铁材料中裂纹形式在环氧树脂模型加工出裂纹， 借助实验光测力学的手段来完成分析。
目的性原则：从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化那些与建模 目的无关的或关系不大的因素。 简明性原则：所给出的假设条件要简单、准确、有利于构造模型。 真实性原则：假设要科学，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的 误差范围。 全面性原则：对事物原型本身做出假设的同时，还要给出原型所处的环 境条件。
1.1.2 数学模型的分类
按照对实体的认识过程分：描述性数学模型、解释性数学模 型；
按照建立模型的数学方法分：初等模型、图论模型、微分方
程模型、随机模型等； 初等模型：采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。
微分方程模型：在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，
然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系 式，从而获得系统的数学模型。
数值模拟通常由前处理、数值计算、后处理三 部分组成 前处理 实体造型、物性赋值、定义单元类型、网格 划分 数值计算 施加载荷、设定时间步、确定计算控制条件、 求解计算 后处理 显示和分析计算结果、分析计算误差
1.4.1有限差分法
有限差分法是数值计算中应用非常广泛的一种方法。 其实质是以有限差分代替无限微分、以差分代数方 程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程， 从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代 替连续的函数分布。 差分方程的建立：首先选择网格布局、差分形式和 布局；其次，以有限差分代替无限微分，即以代替， 以差商代替微商，并以差分方程代替微分方程及其 边界条件。
构造模型
设想晶体为fcc结构，
原子间的交互作用 限于最近邻。
空位形成能被定义
为在晶体内取出一 个原子放到晶体表 面所需要的能量。
模型求解和分析
在fcc晶体内取出一个原子要割断12个键（配位数为
12），而在表面台阶处置放一个原子，要形成6个键。
模型检验
模型得出的结论：空位形成能和结合能之间有密切的
按照模型特征分：静态模型和动态模型、离散
模型和连续性模型等； 按照模型的应用领域分：人口模型、环境模型、 水资源模型、污染模型等； 按照对模型的了解程度分：白箱模型、灰箱模 型和黑箱模型等
1.1.3 数学模型的作用
科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市 场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特 殊的重要作用。 材料科学从最早的试错法的手工操作成为当代科学重 要支柱，数学的应用起着非常重要的作用。 当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的 方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透。 计算机模拟来部分代替实验，可以节约人力、物力和 财力，还可以避免发生故障或危险，甚至完成实验不 可能完成的任务。
1.2.7 模型应用
模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最
客观、最公正的检验。一个成功的数学模型， 必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和 解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科 研中的特殊作用。
以金属材料中空位形成能为例研究建模过程
建模准备
原子能的发展对于金属研究提出了一个新的课题，即高能粒 子对于金属材料性能的影响。 固体受到辐照后产生的效应主要有三种类型：电离、蜕变和 离位（产生空位和间隙原子），其中空位是金属中最主要的 辐照效应，金属中空位研究是非常重要的。要研究空位，必 须要研究空位缺陷形成能。 空位形成能：空位的出现破坏了其周围的结合状态，因而造 成局部能量的升高，由空位的出现而高于没有空位时的那一 部分能量称为空位形成能。
理论上描述这一动力学过程（即推导Avrami方程）。 聚合物的结晶过程包括成核和晶体生长两个阶段，这与
下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展
的情形相类似，因此可以通过水波扩散模型来推导聚合 物结晶时的结晶度与时间的关系。
数据分析法：当有若干能表征系统规律、描 述系统状态的数据可以利用时，就可以通过 描述系统功能的数据分析来连接系统的结构 模型。回归分析是处理这类问题的有利工具。
在建模假设的基础上， 进一步分析其内容，区 分各物理量的意义，明 确各物理量之间的关系， 选择恰当的数学工具和 构建模型的方法对其进 行表征，构造数学模型
根据已知条件和数据， 分析模型的特征和结 构，设计或选择求解 模型的数学方法和算 法，随后编写计算机 程序或运用与算法相 适应的软件包，借助 计算机对模型进行求 解。
1.4 数学模型的数值求解
许多力学问题和物理问题已经得到了它们应 遵循的基本规律（微分方程）和相应的定解 条件。但是只有少数性质比较简单、边界比 较规整的问题能够通过精确的数学计算得出 其解析解。大多数问题很难得到解析解。 面临的问题是如何对我们所建立的方程进行 求解
解决这类问题通常有两种途径：（1）对方 程和边界条件进行简化，从而得到问题在简 化条件下的解答；（2）采用数值解法。 第一种方法只在少数情况下有效，因为过多 的简化会引起较大的误差，甚至得到错误的 结论。 目前，常用的数值解法大致可以分为两类： 有限差分法和有限元法。
2T T (i, j ) T (i, j 1) T (i, j ) 2T (i, j 1) T (i, j 2) 2 y y y y 2
和探讨。
1.2.6 模型检验
模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对
模型进行检验，看是否符合客观实际，若不符合，就 修改或增减假设条款，重新建模。循环往复，不断完
善，直到获得满意结果。
目前计算机技术已为进行模型分析、模型检验提供了 先进的手段，充分利用这一手段，可以节约大量的时 间、人力和经费。
第一章 数学模型的建立及数值求解
1.1 材料科学研究中数学模型的建立
计算材料学(Computational Materials
Science)，正是这些数学手段使使材料研究
脱离了原来的试错法(Trial or Error)研究，
真正成为一门科学。通过建立适当的数学模 型来对实际问题进行研究，已成为材料科学 研究和应用的重要手段之一。
1.1.1 数学模型基础
广义：凡是以相应的客观原型（即实体）作为背景加以
一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论 等等都叫做数学模型。
狭义：利用数学语言对特定问题或特定事务系统的特征
和数量关系建立起来的符号系统。 数学模型刻画客观事物的本质属性与内在联系，是对现 实世界的抽象、简化而又本质的描述。它源于实践，却 不是原型的简单复制，而是一种更高层次的抽象。
建模准备
建模假设
Leabharlann Baidu构造模型
模型求解
F
模型应用
F T
模型分析
T
模型检验
对模型求解的数字结果，进行分析， 例如稳定性、灵敏度或误差分析。 如果不符合要求，就修改假设条件 重新建模，直到符合要求；如果符 合，还可以进行评价、预测或者优 化等方面的工作。
模型分析符合要求之后， 还需要回到客观实际中 进行检验，若不符合， 仍需对模型进行修复， 重新建模，直到获得满 意的结果。
1.差分方程的建立
合理选择网格布局及步长 将离散后各相邻离散点之间的距离，或者离散 化单元的长度称为步长。
y
(i,j+1)
dy
(i-1,j) (i,j)
(i+1,j)
(i,j-1)
dx x
将微分方程转化为差分方程
向前差分
T T (i 1, j ) T (i, j ) x x
模型应用是数学建模的 宗旨，也是对模型最客 观、最公正的检验。
1.3 常用的数学建模方法
理论分析法：应用自然科学中的定理和定律，对被 研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而 建立系统的数学模型。理论分析方法是人们在一切 科学研究中广泛使用的方法。
例：在渗碳工艺过程过程中通过平衡理论找出控制
向后差分
T T (i, j ) T (i 1, j ) x x
T T (i, j 1) T (i, j ) y y
2T T (i, j ) T (i 1, j ) T (i, j ) 2T (i 1, j ) T (i 2, j ) 2 x x x x 2
1.2.3 构造模型
首先区分哪些是常量、变量；已知量、未知量；然后
查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系，选 择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，
构造出刻画实际问题的数学模型。
在构造模型时采用数学工具，要根据问题的特征、建 模的目的要求及建模人的数学特长而定。
1.2.4 模型求解
1.2 建模步骤和原则
数学建模的过程包括：建模准备；建模假设；构造模 型；模型求解；模型分析；模型检验；模型应用。
数学模型的建立，要求研究者不仅对材料科学有关专业知识有非常深入 的了解，而且要求其对工程数学、计算机编程以及算法等方面也有全面的 了解。可以这么说，它对研究者的综合素质要求是非常高的。具体的建模 过程并不单纯是上面几个步骤的顺序实现，往往需要循环多次才能确保建 模工作的正确性，能够真正为实际生产提供指导。 对于建模过程的理解，是重点内容，为便于了解，利用下图说明。
T T (i, j 1) T (i, j ) y y
2T T (i 1, j ) T (i, j ) T (i 2, j ) 2T (i 1, j ) T (i, j ) 2 x x x x 2
2T T (i, j 1) T (i, j ) T (i, j 2) 2T (i, j 1) T (i, j ) 2 y y y y 2
析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择 求解模型的数学方法和算法，然后编写计算机 程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计 算机完成对模型的求解。
1.2.5 模型分析
稳定性分析（分析结果重复获得的可能性）
系统参数灵敏度分析，或进行误差分析
对模型进行评价、预测、优化等方面的分析
类比分析法：如果有两个系统，可以用同一形式的数学 模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析 法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似， 去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。 例：在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断
增加，最后趋于该结晶条件下的极限结晶度，现期望在
1.2.1 建模准备
了解问题的实际背景，明确建模的目的。
建模筹划：深入生产和科研实际以及社会生
活实际，掌握与课题有关的第一手资料，汇
集与课题有关的信息和数据。
1.2.2 建模假设
原型抽象和简化，准确把握本质属性。 简化掉那些非本质的因素，形成对建模有用的信息资源和前 提条件。 假设合理性原则有以下几点：
关系是符合实验事实的，但事实上空位形成能大约只 为结合能的1/2到1/4。
模型应用
根据自由能最小的条件，可以求出在热力学平衡状态
下的空位浓度。
对原型进行适当的抽象、 简化，把那些反映问题 确立建模课题的过程， 本质属性的形态、量及 就是要了解问题的实 其关系抽象出来，简化 际背景，明确建模的 掉那些非本质的因素， 目的。作为课题的原 使之摆脱原来的具体复 型往往都是十分复杂 杂形态，形成对建模有 的，具体的。 用的信息资源和前提条 件确立建模课题的过程。
参量与炉气碳势之间的理论关系式。
模拟方法：如果模型的结构及性质已经了解，但是数 量描述及求解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构 和性质与其相同，而且构造出的模型也是类似的，就 可以把后一种模型看作是原来模型的模拟，对后一个 模型去分析或实验，并求得其结果。 钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分 布，采用环氧树脂制备成具有同样结构的模型，并根 据钢铁材料中裂纹形式在环氧树脂模型加工出裂纹， 借助实验光测力学的手段来完成分析。
目的性原则：从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化那些与建模 目的无关的或关系不大的因素。 简明性原则：所给出的假设条件要简单、准确、有利于构造模型。 真实性原则：假设要科学，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的 误差范围。 全面性原则：对事物原型本身做出假设的同时，还要给出原型所处的环 境条件。
1.1.2 数学模型的分类
按照对实体的认识过程分：描述性数学模型、解释性数学模 型；
按照建立模型的数学方法分：初等模型、图论模型、微分方
程模型、随机模型等； 初等模型：采用简单而且初等的方法建立问题的数学模型。
微分方程模型：在所研究的现象或过程中取一局部或一瞬间，
然后找出有关变量和未知变量的微分（或差分）之间的关系 式，从而获得系统的数学模型。
数值模拟通常由前处理、数值计算、后处理三 部分组成 前处理 实体造型、物性赋值、定义单元类型、网格 划分 数值计算 施加载荷、设定时间步、确定计算控制条件、 求解计算 后处理 显示和分析计算结果、分析计算误差
1.4.1有限差分法
有限差分法是数值计算中应用非常广泛的一种方法。 其实质是以有限差分代替无限微分、以差分代数方 程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程， 从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代 替连续的函数分布。 差分方程的建立：首先选择网格布局、差分形式和 布局；其次，以有限差分代替无限微分，即以代替， 以差商代替微商，并以差分方程代替微分方程及其 边界条件。
构造模型
设想晶体为fcc结构，
原子间的交互作用 限于最近邻。
空位形成能被定义
为在晶体内取出一 个原子放到晶体表 面所需要的能量。
模型求解和分析
在fcc晶体内取出一个原子要割断12个键（配位数为
12），而在表面台阶处置放一个原子，要形成6个键。
模型检验
模型得出的结论：空位形成能和结合能之间有密切的
按照模型特征分：静态模型和动态模型、离散
模型和连续性模型等； 按照模型的应用领域分：人口模型、环境模型、 水资源模型、污染模型等； 按照对模型的了解程度分：白箱模型、灰箱模 型和黑箱模型等
1.1.3 数学模型的作用
科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市 场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特 殊的重要作用。 材料科学从最早的试错法的手工操作成为当代科学重 要支柱，数学的应用起着非常重要的作用。 当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的 方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透。 计算机模拟来部分代替实验，可以节约人力、物力和 财力，还可以避免发生故障或危险，甚至完成实验不 可能完成的任务。
1.2.7 模型应用
模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最
客观、最公正的检验。一个成功的数学模型， 必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和 解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科 研中的特殊作用。
以金属材料中空位形成能为例研究建模过程
建模准备
原子能的发展对于金属研究提出了一个新的课题，即高能粒 子对于金属材料性能的影响。 固体受到辐照后产生的效应主要有三种类型：电离、蜕变和 离位（产生空位和间隙原子），其中空位是金属中最主要的 辐照效应，金属中空位研究是非常重要的。要研究空位，必 须要研究空位缺陷形成能。 空位形成能：空位的出现破坏了其周围的结合状态，因而造 成局部能量的升高，由空位的出现而高于没有空位时的那一 部分能量称为空位形成能。
理论上描述这一动力学过程（即推导Avrami方程）。 聚合物的结晶过程包括成核和晶体生长两个阶段，这与
下雨时雨滴落在水面上生成一个个圆形水波并向外扩展
的情形相类似，因此可以通过水波扩散模型来推导聚合 物结晶时的结晶度与时间的关系。
数据分析法：当有若干能表征系统规律、描 述系统状态的数据可以利用时，就可以通过 描述系统功能的数据分析来连接系统的结构 模型。回归分析是处理这类问题的有利工具。
在建模假设的基础上， 进一步分析其内容，区 分各物理量的意义，明 确各物理量之间的关系， 选择恰当的数学工具和 构建模型的方法对其进 行表征，构造数学模型
根据已知条件和数据， 分析模型的特征和结 构，设计或选择求解 模型的数学方法和算 法，随后编写计算机 程序或运用与算法相 适应的软件包，借助 计算机对模型进行求 解。
1.4 数学模型的数值求解
许多力学问题和物理问题已经得到了它们应 遵循的基本规律（微分方程）和相应的定解 条件。但是只有少数性质比较简单、边界比 较规整的问题能够通过精确的数学计算得出 其解析解。大多数问题很难得到解析解。 面临的问题是如何对我们所建立的方程进行 求解
解决这类问题通常有两种途径：（1）对方 程和边界条件进行简化，从而得到问题在简 化条件下的解答；（2）采用数值解法。 第一种方法只在少数情况下有效，因为过多 的简化会引起较大的误差，甚至得到错误的 结论。 目前，常用的数值解法大致可以分为两类： 有限差分法和有限元法。
2T T (i, j ) T (i, j 1) T (i, j ) 2T (i, j 1) T (i, j 2) 2 y y y y 2
和探讨。
1.2.6 模型检验
模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对
模型进行检验，看是否符合客观实际，若不符合，就 修改或增减假设条款，重新建模。循环往复，不断完
善，直到获得满意结果。
目前计算机技术已为进行模型分析、模型检验提供了 先进的手段，充分利用这一手段，可以节约大量的时 间、人力和经费。
第一章 数学模型的建立及数值求解
1.1 材料科学研究中数学模型的建立
计算材料学(Computational Materials
Science)，正是这些数学手段使使材料研究
脱离了原来的试错法(Trial or Error)研究，
真正成为一门科学。通过建立适当的数学模 型来对实际问题进行研究，已成为材料科学 研究和应用的重要手段之一。
1.1.1 数学模型基础
广义：凡是以相应的客观原型（即实体）作为背景加以
一级抽象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论 等等都叫做数学模型。
狭义：利用数学语言对特定问题或特定事务系统的特征
和数量关系建立起来的符号系统。 数学模型刻画客观事物的本质属性与内在联系，是对现 实世界的抽象、简化而又本质的描述。它源于实践，却 不是原型的简单复制，而是一种更高层次的抽象。
建模准备
建模假设
Leabharlann Baidu构造模型
模型求解
F
模型应用
F T
模型分析
T
模型检验
对模型求解的数字结果，进行分析， 例如稳定性、灵敏度或误差分析。 如果不符合要求，就修改假设条件 重新建模，直到符合要求；如果符 合，还可以进行评价、预测或者优 化等方面的工作。
模型分析符合要求之后， 还需要回到客观实际中 进行检验，若不符合， 仍需对模型进行修复， 重新建模，直到获得满 意的结果。
1.差分方程的建立
合理选择网格布局及步长 将离散后各相邻离散点之间的距离，或者离散 化单元的长度称为步长。
y
(i,j+1)
dy
(i-1,j) (i,j)
(i+1,j)
(i,j-1)
dx x
将微分方程转化为差分方程
向前差分
T T (i 1, j ) T (i, j ) x x
模型应用是数学建模的 宗旨，也是对模型最客 观、最公正的检验。
1.3 常用的数学建模方法
理论分析法：应用自然科学中的定理和定律，对被 研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而 建立系统的数学模型。理论分析方法是人们在一切 科学研究中广泛使用的方法。
例：在渗碳工艺过程过程中通过平衡理论找出控制
向后差分
T T (i, j ) T (i 1, j ) x x
T T (i, j 1) T (i, j ) y y
2T T (i, j ) T (i 1, j ) T (i, j ) 2T (i 1, j ) T (i 2, j ) 2 x x x x 2
1.2.3 构造模型
首先区分哪些是常量、变量；已知量、未知量；然后
查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系，选 择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，
构造出刻画实际问题的数学模型。
在构造模型时采用数学工具，要根据问题的特征、建 模的目的要求及建模人的数学特长而定。
1.2.4 模型求解
1.2 建模步骤和原则
数学建模的过程包括：建模准备；建模假设；构造模 型；模型求解；模型分析；模型检验；模型应用。
数学模型的建立，要求研究者不仅对材料科学有关专业知识有非常深入 的了解，而且要求其对工程数学、计算机编程以及算法等方面也有全面的 了解。可以这么说，它对研究者的综合素质要求是非常高的。具体的建模 过程并不单纯是上面几个步骤的顺序实现，往往需要循环多次才能确保建 模工作的正确性，能够真正为实际生产提供指导。 对于建模过程的理解，是重点内容，为便于了解，利用下图说明。
T T (i, j 1) T (i, j ) y y
2T T (i 1, j ) T (i, j ) T (i 2, j ) 2T (i 1, j ) T (i, j ) 2 x x x x 2
2T T (i, j 1) T (i, j ) T (i, j 2) 2T (i, j 1) T (i, j ) 2 y y y y 2