2019高中数学优质课《基本不等式》
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动画展示
教学过程分析 反思总结 提高升华
• 1、数学知识：基本不等式及其证明； • 2、数学思想：数形结合、类比、化归与转换的思想； • 3、核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理。
教学过程分析
反思总结 提高升华
• 数与形， • 本是相倚依， • 焉能分作两边飞； • 数缺形时少直观，形少数时难入微， • 数形结合百般好，隔离分家万事休； • 切莫忘， • 几何代数统一体，永远联系莫分离。
1
理解和掌握基本不等式及其证明过程和几何意义.
2
经历从几何图形中抽象出基本不等式，并从数的角度探 究证明方法，从形的角度探究几何意义的过程，体会数 形结合的思想，发展数学抽象、直观想象和逻辑推理的 核心素养.
3
经历“赵爽弦图”数学史的学习，增强民族自豪感，感 受数学的文化价值.
教学策略分析
通过活动问 题创设情境
设计意图
使学生体会基本不等式证明方法的多样性， 发展逻辑推理的核心素养。
教学过程分析
数证形释 深化理解
• 活动1：如图，AB是圆O的直径，点C是AB
上一点，过点C作CD AB交圆O上半圆与D，
连接AD,BD，设AC=a，BC=b，计算线段OD
与CD的长度，你能发现什么？
D
A
OC B
Βιβλιοθήκη Baidu
小结:(1)同一圆中半径不小于半弦;(2)数形结合的数学思想。
北师大版高中数学必修5第三章不等式
§3 基本不等式
教材分析
向特量殊体函系数 不等关系 不等式的性质
数学思想 数形结合 类比思想 化归与转换
基本不等式
数学抽象 直观想象 逻辑推理 核心素养
不不等等求式式最证的值明证、明求最值
教学重点 基本不等式及其证明和几何意义。
学情分析
已有认知
已经学习了不等关系和不等式的性质，能够 进行简单的数与式的比较，初步具备了简单 逻辑思维和抽象概括能力。
2
• ab 称为 a,b 的几何平均数。
• 文字语言：两个非负数的算术平均数不小于它 们的几何平均数。
• 基本不等式又被称为均值不等式。
教学过程分析 剖析定理 初步认识
设计意图 引导学生将符号语言转化成文字语言，巩 固学生对基本不等式结构的认识。
教学过程分析
数证形释 深化理解
• 问题2：从代数的角度，你还有其他的方法证明 这个不等式吗？
思维还不够严谨，抽象概括和数形结合的能 不足之处 力还有待提高。
教学难点
对“当且仅当a b 时等号成立” 数学内涵的理解；基本不等式的 几何意义。
教学目标分析
课标要求
掌握基本不等式 ab a b (a,b 0) 2
结合具体实例，能用基本不等式解决简单的 最大值或最小值问题.
教学目标分析
谢谢指导！
教师为主导
学生为主体
启发 引导 点拨
独立思考 自主学习 合作交流
教学过程分析
创设情境 提出猜想
作业布置 拓展深化
数学实验 验证猜想
反思总结 提高升华
代数证明 得出结论
典例剖析 巩固提升
剖析定理 初步认识
数证形释 深化理解
教学过程分析 创设情境 提出猜想 • 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大
时等号成立。
用 a替换a,用 b替换b
• 如果 a,b 都是非负数，那么 a b ab ，当且
仅当 a b 时等号成立。
2
教学过程分析
剖析定理 初步认识
• 二、基本不等式
• 如果 a,b 都是非负数，那么 a b ab ，当且
仅当 a b 时等号成立。
2
•
a b 称为 a,b 的算术平均数，
设计意图
通过代数方法证明，验证猜想，也从数的 角度再次解释等号成立的条件；让学生经 历观察、猜想、实验、证明的过程，培养 思维的严谨性，积累认识事物的活动经验。
教学过程分析
代数证明 得出结论 • 一、重要不等式 • 若 a R,b R ，则 a2 b2 2ab ，当且仅当 a b
动画展示
教学过程分析 数证形释 深化理解
设计意图
引导学生从熟悉几何图形中抽象出基本不 等式，使学生体会从形到数的转化，再次 渗透数形结合的数学思想，发展数学抽象 和直观想象的核心素养。
教学过程分析
典例剖析 巩固提升
•
例1：设a, b
均为正数，证明不等式：ab
1
2
1
？
ab
小结:转化为可以使用基本不等式的形式，化归与转换的数 学思想。
——华罗庚
设计意图 把课堂探究的内容转化为学生的认知。
教学过程分析
作业布置 拓展深化
（必做）1、课本习题3-3 B组 1；
（选做）1、当 a 0,b 0时，你能从数列的角度理解基
本不等式吗？
2、如图，在圆O上半圆中，设AC=a，BC=b,
OF AB交上半圆与F，请你利用FC OF得
设计意图
从图形与图形的关系中抽象出不等式，培 养学生发现和提出问题的能力，发展学生 数学抽象和直观想象的核心素养。
教学过程分析 数学实验 验证猜想 • 请观察动态弦图，你还有什么发现？
动画展示
• 完善猜想：若 a 0,b 0 ，则 a2 b2 2ab ，当且仅 当 a b 时等号成立。
F
出一个关于 a, b的不等式，将这个不等式
与基本不等式和例1中的不等式比较。
A
OC B
把课堂探究的内容课下巩固提升；分 设计意图 层作业，让不同层次的同学得到不同
的发展。
教学过程分析 板书设计
§3 基本不等式 一、重要不等式 二、基本不等式
例： 小结
总结
教学过程分析
设计说明
• 经历从几何图形中获得基本不等式，并从数的角 度探究证明方法，从形的角度探究几何解释，并 简单应用的过程，培养科学探究能力和演绎推理 能力，渗透数形结合、化归与转换、类比数学思 想，渗透数学文化，发展数学抽象、直观现象、 逻辑推理的核心素养。
设计意图
使学生认识到基本不等式转化积和的作用， 体会化归与转换的数学思想，发展逻辑推 理的核心素养。
教学过程分析
典例剖析 巩固提升
•
活动2：你能类比基本不等式，给不等式 (a 0,b 0) 一种几何解释吗？
ab
1
2
1
ab
D
A
小结:类比思想，数形结合思想。
E OC B
设计意图
继续渗透数形结合思想，体会类比思想， 发展直观想象的核心素养。
设计意图
通过数学实验验证完善猜想，同时引导学 生从图形上对式子等号成立的条件进行几 何解释，渗透数形结合的数学思想，发展 直观想象的核心素养。
教学过程分析 代数证明 得出结论 • 你能证明这个猜想吗？
• 若 a R,b R ，则 a2 b2 2ab ，当且仅当 a b 时等号成立。
创设情境 提出猜想
• 问题1：图中有哪些几何图 形？
• 你能从正方形、三角形的面
积角度来思考，寻找相等关
系和不等关系吗？
a
• 设直角三角形的两条直角边
b
长为a,b，你能用不等式把 a2 b2
这个不等关系表示出来吗？
• 猜想：若 a 0,b 0 ，则 a2 b2 2ab 。
教学过程分析 创设情境 提出猜想
会会标，这个标志的设计基础是1700多年前， 中国古代数学家赵爽的勾股圆方图中著名的弦 图，赵爽利用弦图给出了对勾股定理最早、最 简洁的证明。
• 我国最早的天文学和数学著作
教学过程分析 创设情境 提出猜想
设计意图
使学生深切感受到我国数学科学深厚的文 化底蕴，培养学生民族自豪感，激发探究 兴趣。
教学过程分析
教学过程分析 反思总结 提高升华
• 1、数学知识：基本不等式及其证明； • 2、数学思想：数形结合、类比、化归与转换的思想； • 3、核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理。
教学过程分析
反思总结 提高升华
• 数与形， • 本是相倚依， • 焉能分作两边飞； • 数缺形时少直观，形少数时难入微， • 数形结合百般好，隔离分家万事休； • 切莫忘， • 几何代数统一体，永远联系莫分离。
1
理解和掌握基本不等式及其证明过程和几何意义.
2
经历从几何图形中抽象出基本不等式，并从数的角度探 究证明方法，从形的角度探究几何意义的过程，体会数 形结合的思想，发展数学抽象、直观想象和逻辑推理的 核心素养.
3
经历“赵爽弦图”数学史的学习，增强民族自豪感，感 受数学的文化价值.
教学策略分析
通过活动问 题创设情境
设计意图
使学生体会基本不等式证明方法的多样性， 发展逻辑推理的核心素养。
教学过程分析
数证形释 深化理解
• 活动1：如图，AB是圆O的直径，点C是AB
上一点，过点C作CD AB交圆O上半圆与D，
连接AD,BD，设AC=a，BC=b，计算线段OD
与CD的长度，你能发现什么？
D
A
OC B
Βιβλιοθήκη Baidu
小结:(1)同一圆中半径不小于半弦;(2)数形结合的数学思想。
北师大版高中数学必修5第三章不等式
§3 基本不等式
教材分析
向特量殊体函系数 不等关系 不等式的性质
数学思想 数形结合 类比思想 化归与转换
基本不等式
数学抽象 直观想象 逻辑推理 核心素养
不不等等求式式最证的值明证、明求最值
教学重点 基本不等式及其证明和几何意义。
学情分析
已有认知
已经学习了不等关系和不等式的性质，能够 进行简单的数与式的比较，初步具备了简单 逻辑思维和抽象概括能力。
2
• ab 称为 a,b 的几何平均数。
• 文字语言：两个非负数的算术平均数不小于它 们的几何平均数。
• 基本不等式又被称为均值不等式。
教学过程分析 剖析定理 初步认识
设计意图 引导学生将符号语言转化成文字语言，巩 固学生对基本不等式结构的认识。
教学过程分析
数证形释 深化理解
• 问题2：从代数的角度，你还有其他的方法证明 这个不等式吗？
思维还不够严谨，抽象概括和数形结合的能 不足之处 力还有待提高。
教学难点
对“当且仅当a b 时等号成立” 数学内涵的理解；基本不等式的 几何意义。
教学目标分析
课标要求
掌握基本不等式 ab a b (a,b 0) 2
结合具体实例，能用基本不等式解决简单的 最大值或最小值问题.
教学目标分析
谢谢指导！
教师为主导
学生为主体
启发 引导 点拨
独立思考 自主学习 合作交流
教学过程分析
创设情境 提出猜想
作业布置 拓展深化
数学实验 验证猜想
反思总结 提高升华
代数证明 得出结论
典例剖析 巩固提升
剖析定理 初步认识
数证形释 深化理解
教学过程分析 创设情境 提出猜想 • 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大
时等号成立。
用 a替换a,用 b替换b
• 如果 a,b 都是非负数，那么 a b ab ，当且
仅当 a b 时等号成立。
2
教学过程分析
剖析定理 初步认识
• 二、基本不等式
• 如果 a,b 都是非负数，那么 a b ab ，当且
仅当 a b 时等号成立。
2
•
a b 称为 a,b 的算术平均数，
设计意图
通过代数方法证明，验证猜想，也从数的 角度再次解释等号成立的条件；让学生经 历观察、猜想、实验、证明的过程，培养 思维的严谨性，积累认识事物的活动经验。
教学过程分析
代数证明 得出结论 • 一、重要不等式 • 若 a R,b R ，则 a2 b2 2ab ，当且仅当 a b
动画展示
教学过程分析 数证形释 深化理解
设计意图
引导学生从熟悉几何图形中抽象出基本不 等式，使学生体会从形到数的转化，再次 渗透数形结合的数学思想，发展数学抽象 和直观想象的核心素养。
教学过程分析
典例剖析 巩固提升
•
例1：设a, b
均为正数，证明不等式：ab
1
2
1
？
ab
小结:转化为可以使用基本不等式的形式，化归与转换的数 学思想。
——华罗庚
设计意图 把课堂探究的内容转化为学生的认知。
教学过程分析
作业布置 拓展深化
（必做）1、课本习题3-3 B组 1；
（选做）1、当 a 0,b 0时，你能从数列的角度理解基
本不等式吗？
2、如图，在圆O上半圆中，设AC=a，BC=b,
OF AB交上半圆与F，请你利用FC OF得
设计意图
从图形与图形的关系中抽象出不等式，培 养学生发现和提出问题的能力，发展学生 数学抽象和直观想象的核心素养。
教学过程分析 数学实验 验证猜想 • 请观察动态弦图，你还有什么发现？
动画展示
• 完善猜想：若 a 0,b 0 ，则 a2 b2 2ab ，当且仅 当 a b 时等号成立。
F
出一个关于 a, b的不等式，将这个不等式
与基本不等式和例1中的不等式比较。
A
OC B
把课堂探究的内容课下巩固提升；分 设计意图 层作业，让不同层次的同学得到不同
的发展。
教学过程分析 板书设计
§3 基本不等式 一、重要不等式 二、基本不等式
例： 小结
总结
教学过程分析
设计说明
• 经历从几何图形中获得基本不等式，并从数的角 度探究证明方法，从形的角度探究几何解释，并 简单应用的过程，培养科学探究能力和演绎推理 能力，渗透数形结合、化归与转换、类比数学思 想，渗透数学文化，发展数学抽象、直观现象、 逻辑推理的核心素养。
设计意图
使学生认识到基本不等式转化积和的作用， 体会化归与转换的数学思想，发展逻辑推 理的核心素养。
教学过程分析
典例剖析 巩固提升
•
活动2：你能类比基本不等式，给不等式 (a 0,b 0) 一种几何解释吗？
ab
1
2
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D
A
小结:类比思想，数形结合思想。
E OC B
设计意图
继续渗透数形结合思想，体会类比思想， 发展直观想象的核心素养。
设计意图
通过数学实验验证完善猜想，同时引导学 生从图形上对式子等号成立的条件进行几 何解释，渗透数形结合的数学思想，发展 直观想象的核心素养。
教学过程分析 代数证明 得出结论 • 你能证明这个猜想吗？
• 若 a R,b R ，则 a2 b2 2ab ，当且仅当 a b 时等号成立。
创设情境 提出猜想
• 问题1：图中有哪些几何图 形？
• 你能从正方形、三角形的面
积角度来思考，寻找相等关
系和不等关系吗？
a
• 设直角三角形的两条直角边
b
长为a,b，你能用不等式把 a2 b2
这个不等关系表示出来吗？
• 猜想：若 a 0,b 0 ，则 a2 b2 2ab 。
教学过程分析 创设情境 提出猜想
会会标，这个标志的设计基础是1700多年前， 中国古代数学家赵爽的勾股圆方图中著名的弦 图，赵爽利用弦图给出了对勾股定理最早、最 简洁的证明。
• 我国最早的天文学和数学著作
教学过程分析 创设情境 提出猜想
设计意图
使学生深切感受到我国数学科学深厚的文 化底蕴，培养学生民族自豪感，激发探究 兴趣。
教学过程分析