Z变换定义与性质

4
1 0 1
n
左移
右移
f (n 2) (n)
4
10 1
n
10 1
n
时移性质
双边序列左移和右移后，序列的单边z变换。
如果： f ( n ) F ( z ) m 0
双边z变换的收敛域
1对于右边序列的双边z变换，其收敛域为z平面 上 以原点为圆心的一个圆外区域，圆的半径与 F(z) 的 极点有关。
2对于左边序列的双边z变换，其收敛域为z平 面上 以原点为圆心的圆内区域，圆的半径取决于F (z) 的 极点。 3对于双边序列，其收敛域为z平面上以原点为 圆心 的圆环区域，内外半径同样取决于 F(z) 的极点。
f (n)zn
n
收敛的所有z 值的区域，称为F(z)的收敛域。
z变换定义和收敛域
例1 已知 f (n) an (n) 求其双边Z变换及收敛域。
解
F(z)
f (n)zn anzn (az1)n
1
n
n0
n0
1 az1
只有 az1 1 即 z a 该级数收敛。
ReZ
a
o
jImZ
故
n 0
记为： F ( z ) Z f (n)
称为序列f (n)的 双边z变换
称为序列f (n) 的 单边z变换
原函数
Z反变换的定义
Ñ f (n) 1
F(z)zn1dz
2π j c
z变换对： f ( n ) Z -1 F ( z)
简记为： f ( n ) F ( z )
Z变换的收敛域
对于给定的序列f (n) ，在Z平面上使级数
信号与系统
第 26 讲
Z变换的定义与性质
本讲主要内容
• z变换的定义 • z变换的收敛域 • 常用序列的z 变换 • z变换的性质及应用
Z变换的定义
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对于序列f(n)，定义其 z 变换 F(z)为：
F ( z )
f (n)zn
n
当序列f(n)为因果信号，上式可写为：
象函数
F ( z )
f (n)z n
常用序列的z变换
求单位冲激序列的 z 变换。
解： 利用z 变换定义求 ：
F (z) (n)zn (0) z0 1
n0
(n)
0
1
(n 0) (n 0)
(n) 1 z 0
常用序列的z变换
求单位阶跃序列的z变换。 解：
(n)
1
0
n 0 n 0
F ( z) 1 z 1 z 2 z 3
线性性质
如果： f 1 ( n ) F 1 ( z )
f2 (n) F2 (z)
则： a f 1 ( n ) b f 2 ( n ) a F 1 ( z ) b F 2 ( z )
例1：
Z s in ( 0 n ) ( n )
1 2 j z
z e j0
z
z e j0
z2
z sin0 2z cos0 1
z
z
e
j0
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
思考与练习
1 设有序列 f (n) (n) (n 4) ，其双边 z 变换的收敛域
在何处？
2
f1(n)
2 (n n2
2)
与
f2 (n)
2 (n) 的单边 n2
z
变换有何
不同？
Z变换的性质
线性性质 尺度变换性质 时移性质 z域微分特性 卷积和特性
1
解
F (z) f (n)zn bnzn anzn
n
n
n0
z z z b z a
收敛域第一项为 z b 第二项为 z a
故
F (z) z z z b z a
b z a
jImZ
a b
o
ReZ
图 3 双边序列的收敛域
a b 时双边序列Z变换的收敛域为 b z a 为一个圆环区域。 如果 a b 则该序列的双边Z变换不存在。
F (z) z z a
z a
图1 右边序列的收敛域
右边序列的收敛域是Z平面以原点为圆心，
以 a 为半径的圆外区域。
z变换定义和收敛域
。
例2 已知 f (n) bn (n 1),求其双边Z变换及收敛域
解
1
F (z) bnz n (bz1 ) n 1 (b z)1 n
n
n1
n0
1
lim
n
z eb
当 a ej0 , 则
Z e j 0n ( n )
z
z e j 0
常用序列的z变换
求 f ( n ) cos(0n) ( n ) ?
解：
e e j 0 n
j0 n
cos(0n)
2
Z
e j0n (n)
z z e j0
Z
cos(0n) (n)
1 2
z
z e j0
1 (b1z)n 1 b1z
1
1
1 b
1
z
z zb
ReZ
b
r 1 o
jImZ
级数收敛的条件为 b1z 1 即 z b
图2 左边序列的收敛域
故 F(z) z
z b
z b
左边序列Z变换的收敛域是 以b 为半径的圆内。
z变换定义和收敛域
例3 双边序列 f (n) an (n) bn (n 1)，求其双边Z变换及收敛域。
1
1 z 1
z z 1
(n)
1
(n) z
z 1
2 1 0 1 2 3
n
z 1
常用序列的z变换
求矩形序列的z变换。
解： 利用z 变换定义求：
f
(n)
RN
(n)
1,0 n N -1
0，
其他
F (z) f (n)zn
n0
3
1 zn
n0
f (n) 1
z 3 z 2 z1 1
z0 z1 z2 z3
解 由于 Z (n) (n 2) z z z2
z 1 z 1
根据尺度变换特性，得
z ( z )1 z 3(z) 1
F (z) Z f (n) 3 3 3 1 3z1
z 1 z 1 z 3 33
时移性质
双边序列左移和右 移后，序列的单边 z变换。
f (n 2)(n)
4
f (n) n
z3
0123 4
n
RN(n)
1z( N1) 1 z1 z2 z( N 1) 1z1
z 0
常用序列的z变换
求指数序列 f ( n ) a n ( n ) 的 z 变换
解：F ( z )
a n z n
1 z
n0
1 az1 z a
z a
当 a eb, 则
Z e bn ( n ) z z eb
尺度变换性质
如果： f ( n ) F ( z )
则：
an
f
(n)
F(
z )
a
若 a = -1：(1)n f (n) F (z)
a 0
a可为实数或复数
例2
f (n) an (n)
( n ) z
z1
z
an ( n ) a
z 1 a
z z a
尺度变换性质
例1 求序列 f (n) (3)n (n) (n 2) 的z变换