高等代数(第三版)7-习题课
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n n
（3） 定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
1, 2 , 百度文库 n
(Ⅰ ) (Ⅱ )
1 ,2 , ,n
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 矩阵矩阵是X，则
B X 1 AX .
(4)(定理5 ) 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作 同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.
E p Er p 0
性质
等价 类个 数
有相同的特征多项式， 有相同的特征值
无限多个
有相同的秩与正惯性指数
r 1，r min(m, n)
1 ( n 1)( n 2) 2
三、特征值与特征向量
1.基本概念:线性变换(或矩阵)的特征值与特征
向量;特征多项式与最小多项式;特征子空间.
2.基本结论:
(1)线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量
及特征子空间的关系(略)
(2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
(3) 相似矩阵有相同的特征多项式,反之不然.
(4) 哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理
本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与
矩阵的一一对应关系.
本章的基本内容及其内在联系 可用下图来说明：
线性变换的定义
线性变换的运算
线性变换的矩阵
特征值与特征向量
对角矩阵
线性变换的值域与核
最小多项式
若当标准形
不变子空间
矩阵的三大关系
等价
对象 来源 刻划 共同 点 最简 形式 mn矩阵
相似
n阶方阵 一个线性变换在不同 基下的矩阵 存在P可逆，使得 B = P-1 A P
nn A P , f ( ) E A 为A的特征多项式, 则 设
f ( A) An (a11 a22
ann ) An1
( 1)n A E 0.
零矩阵
四、对角化问题
1. 基本概念: 不变子空间, 标准形.
2. 基本结论:
1. (定理7)设 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
线性变换(小结)
• 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对 于研究线性空间的整体结构以及向量之间 的内存联系起着重要作用.线性变换的概念 是解析几何中的坐标变换、数学分析中的 某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和 方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法) 在解析几何、微分方程等许多其它应用学 科,都有极为广泛的应用. • 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表 示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵 对应和相互转换.
一、线性变换及其运算
1．基本概念：线性变换,可逆线性变换与逆变
换;线性变换的值域与核，秩与零度;线性变换的
和与差,乘积和数量乘法,幂和多项式.
2．基本结论
(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关
系式不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、
把线性相关的向量组变为线性相关的向量组
(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法及可逆 线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变 换的加法与数量乘法作成一个线性空间.
则 可对角化 有 n 个线性无关的特征向量.
V 可以分解成n个一维不变子空间的直和； 的所有不同特征子空间的维数之和等于n
(2)
在某组基下的矩阵是为角形当且仅当 ——子空间的直和 ；
可以分解为
积.
在某组基下的矩阵为对角形当且仅当
的最小多项式（即 在任一基下矩阵
1， 2， ， n是V 中任意n个向量, 则存在唯一
线性变换 使得
( i ) i , i 1, 2,
,n
(2)(定理2) 设 1， 2， ， n是线性空间V的 一组基，在这组基下，V的每一个线性变换 都与P 中唯一的一个矩阵对应，且有下性质： (1) 线性变换的和对应矩阵的和； (2) 线性变换的乘积对应矩阵的乘积； (3) 线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积； (4) 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换 对应逆矩阵
的最小多项式）是P上互素的一次因式的乘
(3) 设A为n阶矩阵，则A必与一个若当标准
形矩阵相似，且在不计若当块的排列次序 的意义下，这个标准形是唯一的；而A与 对角矩阵相似A的最小多项式无重根.于是， 当A的特征多项式无重根时，A必与一个对 角矩阵相似.
本章的重点: 线性变换的矩阵表示以及它们 对角化的条件和方法.
合同
n阶实对称矩阵 二次型经非退化线性变换 后，新旧矩阵之间的关系 存在P可逆，使得 B = PT A P
A可经初等行变换得 到B
存在P, Q可逆， 使得B = P A Q
都满足反身性、对称性和传递性，都保持矩阵的秩不变
E r 0 0 0 m n
秩相同
有n个线性无关的特征 向量时相似于对角形 矩阵
(5) 线性空间V的线性变换 的象与核是的V
子空间.若dim(V)=n,则 Im( ) 由V的一组基
的象生成,而 的秩+ 的零度=n, 且 是双
射当且仅当 是单射当且仅当 Ker ( ) {0}
二、线性变换与矩阵
1.基本概念:线性变换在基下的矩阵;相似矩阵. 2.基本结论
(1)(定理1) 设 1， 2， ， n是线性空间V 的一组基，
（3） 定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
1, 2 , 百度文库 n
(Ⅰ ) (Ⅱ )
1 ,2 , ,n
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 矩阵矩阵是X，则
B X 1 AX .
(4)(定理5 ) 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作 同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.
E p Er p 0
性质
等价 类个 数
有相同的特征多项式， 有相同的特征值
无限多个
有相同的秩与正惯性指数
r 1，r min(m, n)
1 ( n 1)( n 2) 2
三、特征值与特征向量
1.基本概念:线性变换(或矩阵)的特征值与特征
向量;特征多项式与最小多项式;特征子空间.
2.基本结论:
(1)线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量
及特征子空间的关系(略)
(2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
(3) 相似矩阵有相同的特征多项式,反之不然.
(4) 哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理
本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与
矩阵的一一对应关系.
本章的基本内容及其内在联系 可用下图来说明：
线性变换的定义
线性变换的运算
线性变换的矩阵
特征值与特征向量
对角矩阵
线性变换的值域与核
最小多项式
若当标准形
不变子空间
矩阵的三大关系
等价
对象 来源 刻划 共同 点 最简 形式 mn矩阵
相似
n阶方阵 一个线性变换在不同 基下的矩阵 存在P可逆，使得 B = P-1 A P
nn A P , f ( ) E A 为A的特征多项式, 则 设
f ( A) An (a11 a22
ann ) An1
( 1)n A E 0.
零矩阵
四、对角化问题
1. 基本概念: 不变子空间, 标准形.
2. 基本结论:
1. (定理7)设 为 n 维线性空间V的一个线性变换，
线性变换(小结)
• 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对 于研究线性空间的整体结构以及向量之间 的内存联系起着重要作用.线性变换的概念 是解析几何中的坐标变换、数学分析中的 某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和 方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法) 在解析几何、微分方程等许多其它应用学 科,都有极为广泛的应用. • 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表 示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵 对应和相互转换.
一、线性变换及其运算
1．基本概念：线性变换,可逆线性变换与逆变
换;线性变换的值域与核，秩与零度;线性变换的
和与差,乘积和数量乘法,幂和多项式.
2．基本结论
(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关
系式不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、
把线性相关的向量组变为线性相关的向量组
(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法及可逆 线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变 换的加法与数量乘法作成一个线性空间.
则 可对角化 有 n 个线性无关的特征向量.
V 可以分解成n个一维不变子空间的直和； 的所有不同特征子空间的维数之和等于n
(2)
在某组基下的矩阵是为角形当且仅当 ——子空间的直和 ；
可以分解为
积.
在某组基下的矩阵为对角形当且仅当
的最小多项式（即 在任一基下矩阵
1， 2， ， n是V 中任意n个向量, 则存在唯一
线性变换 使得
( i ) i , i 1, 2,
,n
(2)(定理2) 设 1， 2， ， n是线性空间V的 一组基，在这组基下，V的每一个线性变换 都与P 中唯一的一个矩阵对应，且有下性质： (1) 线性变换的和对应矩阵的和； (2) 线性变换的乘积对应矩阵的乘积； (3) 线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积； (4) 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换 对应逆矩阵
的最小多项式）是P上互素的一次因式的乘
(3) 设A为n阶矩阵，则A必与一个若当标准
形矩阵相似，且在不计若当块的排列次序 的意义下，这个标准形是唯一的；而A与 对角矩阵相似A的最小多项式无重根.于是， 当A的特征多项式无重根时，A必与一个对 角矩阵相似.
本章的重点: 线性变换的矩阵表示以及它们 对角化的条件和方法.
合同
n阶实对称矩阵 二次型经非退化线性变换 后，新旧矩阵之间的关系 存在P可逆，使得 B = PT A P
A可经初等行变换得 到B
存在P, Q可逆， 使得B = P A Q
都满足反身性、对称性和传递性，都保持矩阵的秩不变
E r 0 0 0 m n
秩相同
有n个线性无关的特征 向量时相似于对角形 矩阵
(5) 线性空间V的线性变换 的象与核是的V
子空间.若dim(V)=n,则 Im( ) 由V的一组基
的象生成,而 的秩+ 的零度=n, 且 是双
射当且仅当 是单射当且仅当 Ker ( ) {0}
二、线性变换与矩阵
1.基本概念:线性变换在基下的矩阵;相似矩阵. 2.基本结论
(1)(定理1) 设 1， 2， ， n是线性空间V 的一组基，