RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性94119
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图12－19
驱动点导纳为
Y
(
j )
I U
G j(C 1 ) | Y ( j) | () L
其中
(12 38)
| Y ( j) | G 2 (C 1 )2 L
C 1 () arctan( L )
G
(12 39) (12 40)
1.谐振条件
当
C
1
L
0
时,
Y(j)=G=1/R，电压u(t)和电流i(t)
感抗或容抗与电阻之比。
图12－16
从以上各式和相量图可见，谐振时电阻电压与电压源 电压相等，UR＝US 。电感电压与电容电压之和为零， 即 UL UC 0 ，且电感电压或电容电压的幅度为电压源 电压幅度的Q倍，即
U L U C QU S QU R
(12 36)
若Q>>1,则UL=UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为
(12 31)
电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、
电感和电容上的电压分别为
UR RI US (8 32)
UL
j0 LI
j
0L
R
US
jQUS
UC
1
j 0 C
I
j
1 0 RC
US
jQUS
(8 33) (8 34)
其中
Q ω 0L 1 ρ R ω 0RC R
(8 35)
Q 称为串联谐振电路的品质因数，其数值等于谐振时
CU
2 C
LI
2 L
L U S R
2
(12 37)
可以从能量的角度来说明电路参数 R、L、C变化对电
感和电容电压UL= UC的影响。若电阻 R减小一半，或电感
L增加到4倍( Q 1
R
L C
增加一倍)，则总能量
W
LU
2 S
/
R 2增Hale Waihona Puke Baidu
加到4倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容 C减少到
l/4( Q增加一倍)， W CU总C2 能量不变，而电压UL= UC增
§12－3 谐振电路
含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在 某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位 相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的 电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工 程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联和 并联谐振电路谐振时的特性。
一、RLC串联谐振电路
图12－15(a)表示RLC串联谐振电路，图12－15(b)是它 的相量模型，由此求出驱动点阻抗为
(12 42)
电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、电感和电容 中电流为（见下页）
|Z(j)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。
也就是说，RLC串联电路的谐振条件为
0
1 LC
(12 27)
式中 ω 0＝
1 LC
称为电路的固有谐振角频率。
当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生 谐振。用频率表示的谐振条件为
f
f0
2
1 LC
(12 28)
RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，
其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即
0L
1
0C
L C
(12 29)
2. 谐振时的电压和电流
RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量
导致
X
ω
0 L ω
1 0C
0
Z ( j0 ) R (12 30)
即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电
压源，则电路谐振时的电流为
I US US ZR
同相，电路发生谐振。因此，RLC并联电路谐振的条件是
0
1 LC
(12 41)
式中 ω 0
1 LC
称为电路的谐振角频率。与RLC串联
电路相同。
2.谐振时的电压和电流
RLC并联电路谐振时，导纳Y(j0)=G=1/R，具有最小
值。若端口外加电流源 IS ，电路谐振时的电压为
U
IS Y
IS G
RIS
由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相当于虚短路)，任何时刻进 入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和 电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功 率全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。
图12—17串联电路谐振时的能量交换
电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减 小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部 被电容吸收，并转换为电场能量，如图12-17(a)所示。当电 流增加时，电容电压减小，电容中电场能量WC=0.5Cu2减 小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量， 如图12－17(b)所示。
能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电
流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起的
等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率
ω 0＝
1 LC
，完全由电路参数L和C来确定。
谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中
的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即
W
WL
WC
图12－15
Z
(
j )
U I
R j(L 1 ) | Z ( j) | () C
其中
(12 24)
| Z ( j) | R2 (L 1 )2 C
L 1 () arctan( C )
R
(12 25) (12 26)
1. 谐振条件
当 ωL ωC1 0 ，即 ω
1 LC
时，()=0,
0
1 LC
1
rad/s 10 6 rad/s
10 4 10 8
(2)电路的品质因数为
Q 0 L 100
R
则
UL UC QU S 100 10V 1000 V
二、RLC并联谐振电路
图 12-19(a) 所 示 RLC 并 联 电 路 ， 其 相 量 模 型 如 图 1219(b)所示。
加一倍。总之， R、L和 C的改变造成
Q 1 L变化的倍
RC
数与UL= UC变化的倍数相同。
例12-7 电路如图12-18所示。已知 uS (t) 10 2 cosωt V
求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。
(2)电路谐振时, UL和UC为何值。
图12－18
解：(l)电压源的角频率应为
电压谐振。
3.谐振时的功率和能量
设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：
i(t)
Im
cos(0t)
U Sm R
cos(0t)
uL (t) QUSm cos(0t 90)
uC (t) uL (t) QUSm cos(0t 90)
电感和电容吸收的功率分别为：
pL (t) QUSm Im cos(0t) cos(0t 90) QUSI sin(20t) pC (t) pL (t) QUSI sin(20t)
驱动点导纳为
Y
(
j )
I U
G j(C 1 ) | Y ( j) | () L
其中
(12 38)
| Y ( j) | G 2 (C 1 )2 L
C 1 () arctan( L )
G
(12 39) (12 40)
1.谐振条件
当
C
1
L
0
时,
Y(j)=G=1/R，电压u(t)和电流i(t)
感抗或容抗与电阻之比。
图12－16
从以上各式和相量图可见，谐振时电阻电压与电压源 电压相等，UR＝US 。电感电压与电容电压之和为零， 即 UL UC 0 ，且电感电压或电容电压的幅度为电压源 电压幅度的Q倍，即
U L U C QU S QU R
(12 36)
若Q>>1,则UL=UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为
(12 31)
电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、
电感和电容上的电压分别为
UR RI US (8 32)
UL
j0 LI
j
0L
R
US
jQUS
UC
1
j 0 C
I
j
1 0 RC
US
jQUS
(8 33) (8 34)
其中
Q ω 0L 1 ρ R ω 0RC R
(8 35)
Q 称为串联谐振电路的品质因数，其数值等于谐振时
CU
2 C
LI
2 L
L U S R
2
(12 37)
可以从能量的角度来说明电路参数 R、L、C变化对电
感和电容电压UL= UC的影响。若电阻 R减小一半，或电感
L增加到4倍( Q 1
R
L C
增加一倍)，则总能量
W
LU
2 S
/
R 2增Hale Waihona Puke Baidu
加到4倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容 C减少到
l/4( Q增加一倍)， W CU总C2 能量不变，而电压UL= UC增
§12－3 谐振电路
含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在 某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位 相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的 电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工 程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联和 并联谐振电路谐振时的特性。
一、RLC串联谐振电路
图12－15(a)表示RLC串联谐振电路，图12－15(b)是它 的相量模型，由此求出驱动点阻抗为
(12 42)
电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、电感和电容 中电流为（见下页）
|Z(j)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。
也就是说，RLC串联电路的谐振条件为
0
1 LC
(12 27)
式中 ω 0＝
1 LC
称为电路的固有谐振角频率。
当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生 谐振。用频率表示的谐振条件为
f
f0
2
1 LC
(12 28)
RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，
其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即
0L
1
0C
L C
(12 29)
2. 谐振时的电压和电流
RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量
导致
X
ω
0 L ω
1 0C
0
Z ( j0 ) R (12 30)
即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电
压源，则电路谐振时的电流为
I US US ZR
同相，电路发生谐振。因此，RLC并联电路谐振的条件是
0
1 LC
(12 41)
式中 ω 0
1 LC
称为电路的谐振角频率。与RLC串联
电路相同。
2.谐振时的电压和电流
RLC并联电路谐振时，导纳Y(j0)=G=1/R，具有最小
值。若端口外加电流源 IS ，电路谐振时的电压为
U
IS Y
IS G
RIS
由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相当于虚短路)，任何时刻进 入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和 电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功 率全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。
图12—17串联电路谐振时的能量交换
电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减 小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部 被电容吸收，并转换为电场能量，如图12-17(a)所示。当电 流增加时，电容电压减小，电容中电场能量WC=0.5Cu2减 小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量， 如图12－17(b)所示。
能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电
流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起的
等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率
ω 0＝
1 LC
，完全由电路参数L和C来确定。
谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中
的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即
W
WL
WC
图12－15
Z
(
j )
U I
R j(L 1 ) | Z ( j) | () C
其中
(12 24)
| Z ( j) | R2 (L 1 )2 C
L 1 () arctan( C )
R
(12 25) (12 26)
1. 谐振条件
当 ωL ωC1 0 ，即 ω
1 LC
时，()=0,
0
1 LC
1
rad/s 10 6 rad/s
10 4 10 8
(2)电路的品质因数为
Q 0 L 100
R
则
UL UC QU S 100 10V 1000 V
二、RLC并联谐振电路
图 12-19(a) 所 示 RLC 并 联 电 路 ， 其 相 量 模 型 如 图 1219(b)所示。
加一倍。总之， R、L和 C的改变造成
Q 1 L变化的倍
RC
数与UL= UC变化的倍数相同。
例12-7 电路如图12-18所示。已知 uS (t) 10 2 cosωt V
求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。
(2)电路谐振时, UL和UC为何值。
图12－18
解：(l)电压源的角频率应为
电压谐振。
3.谐振时的功率和能量
设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：
i(t)
Im
cos(0t)
U Sm R
cos(0t)
uL (t) QUSm cos(0t 90)
uC (t) uL (t) QUSm cos(0t 90)
电感和电容吸收的功率分别为：
pL (t) QUSm Im cos(0t) cos(0t 90) QUSI sin(20t) pC (t) pL (t) QUSI sin(20t)