如果只考虑其整数解这类方程就叫做丢番图方程

丢番图方程的可解性问题
古希腊数学家丢番图（Diophantus）：代数学 之父
在《算术》（Arithmetica）一书中提出了有关两 个或多个变量整数系数方程的有理数解问题。 对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整 数解，这类方程就叫做丢番图方程。
“丢番图方程可解性问题”的实质为：能否写 出一个可以判定任意丢番图方程是否可解的算 法？
（1）如果=0，那么将0赋值给Y，并输出Y，转步骤（11） 继续执行； （2）将0赋给X，将1赋值给Y； （3）输出X、Y； （4）将1赋值给I； （5）如果 I 大于 -1 ，则转到步骤（ 11 ），否则继续执行； （6）将X和Y的和赋值给Z； （7）将Y赋值给X； （8）将Z赋值给Y； （9）将Y输出； （10）将I加1，转步骤（5）继续执行； （11）算法结束。
例4.2 问：方程2x+4y=15有无整数解？
答：2和4的最大公因子是2，2不能整除15，故该 方程无整数解。
两个未知数的线性丢番图方程 的解：欧几里德算法
给定两个正整数 m 和 n，求它们的最大公因子， 即能同时整除m和n的最大正整数。 步骤如下：
（1）以n除m，并令所得余数为r（r必小于n）； （2）若 r=0，算法结束，输出结果 n；否则，继续 步骤（3）； （ 3 ）将 n 置换为 m，r 置换为 n，并返回步骤（ 1 ） 继续进行。
例4.5 求解调和级数
1 1 1 1 Hn 1 2 3 n 设变量X表示累加和，变量I表示循环的次数，自 然语言描述算法如下： （1）将0赋值给X； （2）将1赋值给I； （3）将X与1/I相加，然后把结果存入X； （4）将I加1； （5）若I大于等于N，算法结束，结果为X；否 则转到步骤（3）继续执行。
算法
算法的表示方法
原语
一个算法的表达需要使用一些语言形式
自然语言“Visiting grandchildren can be nerve-racking”,可能即意味着孙子孙女导致了 很多问题，也表示去看他们可能会有问题 图形语言：很少人能够根据折纸图给出的步骤成 功地叠出一只鸟来，但一个专门学习过折纸的学 生可以轻松完成
算法
算法实例
例4.4 求1+2+3+……+100 设变量X表示加数，Y表示被加数，用自然语言将 算法描述如下： （1）将1赋值给X； （2）将2赋值给Y； （3）将X与Y相加，结果存放在X中； （4）将Y加1，结果存放在Y中； （5）若Y小于或等于100，转到步骤（3）继续执 行；否则，算法结束，结果为X。
例4.3 设m=56，n=32，求m、n的最大公因子
算法如下: （1）32除56余数为24； （2）24除32余数为8； （3）8除24余数为0，算法结束，输出结果8。 答：m、n的最大公因子为8。 欧几里德算法既表述了一个数的求解过程，
又表述了一个判定过程，该过程可以判定“ m和 n 是互质的”（即除1以外，m和n没有公因子）这个 命题的真假。
算法
算法的定义和特征
1．算法的非形式化定义 一个算法，就是一个有穷规则的集合，其中之 规则规定了一个解决某一特定类型问题的运算 序列。
2．算法的重要特性
有穷性：一个算法在执行有穷步之后必须结束。 确定性：算法的每一个步骤必须要确切地定义。 即算法中所有有待执行的动作必须严格而不含 混地进行规定，不能有歧义性。 输入：算法有零个或多个的输入，即在算法开 始之前，对算法最初给出的量。 输出：算法有一个或多个的输出，即与输入有 某个特定关系的量，简单地说就是算法的最终 结果。 能行性：算法中有待执行的运算和操作必须是 相当基本的，
3．算法的形式化定义 算法是一个四元组，即（Q，I，Ω，F）。 其中： （1）Q是一个包含子集I和Ω的集合，它表示计算 的状态； （2）I表示计算的输入集合； （3）Ω表示计算的输出集合； （4）F表示计算的规则，它是一个由 Q到它自身 的函数，且具有自反性，即对于任何一个元素 q∈Q，有F(q)=q。
例4.6 求解斐波那契数
0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，… （1） 来源于1202年意大利数学家斐波那契 （ L.P.Fibonacci） 在 其 《 珠 算 之 书 》 （ Liber Abaci）中提出的一个“兔子问题”：
假设一对刚出生的兔子一个月后就能长大，再过 一个月就能生下一对兔子，并且此后每个月都能 生一对兔子，且新生的兔子在第二个月后也是每 个月生一对兔子。 问：一对兔子一年内可繁殖成多少对兔子？
第4章 计算学科中的核心概念 4.1 算法
算法的历史简介
公元825年，阿拉伯数学家阿科瓦里茨米 （AlKhowarizmi）写了著名的《波斯教科书》 （Persian Textbook），书中概括了进行四则算 术运算的法则。
“算法”（Algorithm）一词就来源于这位数学家 的名字。
后来，《韦氏新世界词典》将其定义为“解某 种问题的任何专门的方法”。 而据考古学家发现，古巴比伦人在求解代数方 程时，就已经采用了“算法”的思想。
一个未知数的线性丢番图方程的解
源自文库
ax=b，只要a能整除b，就可判定其有整数解， 该整数解即b/a。
两个未知数的线性丢番图方程 的解
ax+by=c，先求出a和b的最大公因子d，若d能 整除c，则该方程有解（整数解）。 问：方程13x+26y=52有无整数解？
答：13和26的最大公因子是13，13又可整除52， 故该方程有整数解（如x=2，y=1即方程的解）。
在序列（ 1 ）中，每个数都是它的前两个数之 和， Fn 表示这个序列的第 n 个数，该序列可以 形式化的定义为：
F0=0，F1=1，Fn+2=Fn+1+Fn，n≥0
斐波那契数列还是一个关于加法算法的典型实 例。
设变量X表示前一个数的值，即定义中的Fn， 变量Y表示当前数的值，即定义中的Fn+1，变 量Z表示后一个数的值，即定义中的Fn+2。那 么求解问题的自然语言描述如下：