正定矩阵的判别及其应用

毕业论文

题目正定矩阵的判别方法及其应用学院数学与统计学院

专业数学与应用数学

姓名周永辉

班级11级数应1班

学号20111010148

指导教师董芳芳讲师

提交日期2015/5/12

原创性声明

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正定矩阵的判别及其应用

摘要本文从正定矩阵的定义出发，给出了矩阵正定性的一些判别方法，并得到了正定矩阵的一些应用.

关键词矩阵；正定性；判别；应用

Methods and the applications of the judgment of

positive definite matrix

Yonghui zhou

(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,China) Abstract In this paper, Some Methods of judgement matrix are given by the definite and some application are obtained.

Key Words matrix；positive definiteness；method；application

目录

一引言及预备知识.............................................. - 1 - 二正定矩阵的判别方法.......................................... - 1 - 三正定矩阵的应用.............................................. - 8 -

3.1用正定矩阵的定义证明一些结论............................. - 8 -

3.2 在矩阵中的应用.......................................... - 9 -

3.3 正定矩阵在行列式中的应用............................... - 10 -

3.4 用正定矩阵证明不等式................................... - 10 -

3.5判断多元函数的极值问题.................................. - 10 - 小结........................................................... - 11 - 参考文献....................................................... - 12 - 致谢........................................................... - 13 -

正定矩阵的判别方法及其应用

一 引言及预备知识

在数学中，二次型和正定二次型是一个非常重要的部分，但是在大学的学习

中，我们只是简单地了解了一下实二次型及矩阵的表示和正定二次型的定义与简单性质，但对矩阵正定性的判别方法没有给出较全面的证明方法.本文对矩阵的性.给出了若干判别方法，并给出了若干正定矩阵的应用实例

定义1

[1]

设A 是实对称矩阵.若若二次型T

X AX 正定, 则称A 为正定矩阵.

引理1

[2]

任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换

可以变成规范形，且规范形是唯一的.

引理2

[3]

设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得

1

12(,,,)T

n T AT T AT diag λλλ-== (1)

其中12,,

,n λλλ为A 的特征值.

二 正定矩阵的判别方法

定理 1

[4]

n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是存在n 阶实可逆矩

阵C ,使得T A C C =.

证 (充分性)因为A 是是实对称矩阵，C 为n 阶实可逆矩阵，假设n 阶实可逆

C 矩阵的特征值分别为12,,...,n λλλ(0i λ≠)，又T A C C =，两边取行列式有2

0A C =>,A 于是知道对应的特征值分别为222

12,,...,n λλλ全部大于零，故A 是

正定矩阵.

(必要性)因为A 是正定矩阵，所以存在实可逆矩阵P ，使T

P AP E =.即

T A C C =，其中1

C P -=.

定理2[2]

n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是A 的一切主子式全

大于零.

证 (必要性)首先，若矩阵A 是正定矩阵，则存在实可逆矩阵P ，使

T P AP E =.即T A C C =，其中1C P -=.两边取行列式得2

0A C =>.其次讨论二次型()12,,...,T n f x x x x Ax =，12,,

,k x x k x 不全为零，而让前面个自变量让最后

的12(),,...,k k n n k x x x k ++-个自变量都等于零，则得到一个个变量的二次型

()()1212,,...,,,...,,0...,0k k k f x x x f x x x =，对此，下列结论显然成立： （1）()12,,...,n f x x x 正定⇒()12,,...,k k f x x x 正定；

（2）()12,,...,k k f x x x 的矩阵恰好是()12,,...,n f x x x 的矩阵A 的k 阶主子矩阵

k A .

所以有0k A >.

(充分性)设n 阶实对称矩阵()ij A a =的所有主子式均大于零.特别地，

110a >.取上三角可逆阵11211111 (1)

.....

.1n a a a a P ⎡⎤--

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

,则有11

...00...0T

T

a P AP B ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

B =,其中，B '是（n-1）阶实对称矩阵.对矩阵P ，A ，B 进行如下的分块，

B =12121212

222212

22220

0T

k

k

k

k

k T

T

B B P P A A P P B B P A A P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦121222P T k k k

T

P A C C C ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

,其中，

k P ，k A ，k B 分别是矩阵P ，A ，B 的k -阶主子矩阵，且k P 仍1是对角元均为的上三角可逆矩阵.则有T k k k k B P A P =.从而0T k k k k k B P A P A ==>,B 即的所有主子式也都大于零.由B 与B '的关系，B '的所有主子式也都大于零.

现在用第二数学归纳法来证明矩阵的阶数: