高等代数(第三版)8-习题课.

4. 相似矩阵
定理：
设 A, B P nn，则A与B相似
特征矩阵 E A 与 E B 等价.
推论:设 A, B P nn , 则 A, B 相似
特征矩阵 E A与 E B 有相同的不变因子.
E-A与、E-B 有相同的行列因子.
结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有
在该基下的矩阵是有理标准型，并且这
个有理标准型由 唯一决定，称为的
有理标准型.
三、基本算法(题目基本类型)
1、会利用 矩阵的初等变换化 矩
阵为标准型
2、求 矩阵的两种因子：行列式因子、
不变因子
行列式因子与不变因子之间的关系 :
d1( )
D1( ), di ( )
Di ( ) Di1( )
3. 等价矩阵的刻画
（定理5） 矩阵 A( )、B( )等价 A( )、B( )有相同的不变因子. A( )、B( )有相同的行列因子.
推论：两个 s n 的 矩阵 A( )、B( ) 等价
存在一个s s可逆矩阵 P( ) 与一个 n n 可逆 矩阵 Q( )，使 B( ) P( )A( )Q( ).
（定理6） A( )可逆 A( )可表成一些初等
矩阵的乘积.
2.（定理2）任意一个非零的 s n的 一矩阵 A( )
都等价于下列形式的矩阵
d1( )
d2( )
O
dr ( )
0
O
0
称之
A为( )
的 标准 形.
其中 r 1, di ( ) (i 1,2,L , r) 是首项系数为1的 多项式，且 di ( ) di1( ) (i 1,2,L , r 1).
5、若当标准形存在定理
（定理10）每一个复矩阵A都与一个若当形矩阵 相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是 被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形.
定理10换成线性变换的语言即为
（定理11）设 是复数域上n维线性空间V的线性 变换，在 V中必定存在一组基，使 在这组基下
的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去
相同的不变因子.
结论2、两个同级数字矩阵相似
它们有相同的初等因子.
可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.
A与B相似的等价刻画:
设 A, B P nn，则A与B相似
特征矩阵 E A 与 E B 等价.
E-A与、E-B 有相同的行列因子. 特征矩阵 E A与 E B 有相同的不变因子.
A与B有相同的不变因子. A与B有相同的初等因子.
(定理9) 设 A C nn ,将特征矩阵 E A 进行
初等变换化成对角形
h1( )
D(
)
h2( )
O
hn( )
然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因
式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同
的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.
4、求复矩阵的若当标准型
(1)求出特征矩阵E-A的全部初等因子
(2) 写出每个初等因子对应的若当块 (3)写出若当标准型
5、求数域P上矩阵的有理标准型
(1)求出特征矩阵 E-A的全部初等因子
(2) 写出每个不等于1的初等因子对应 的伴侣阵
(3)写出有理标准型
若当块的排序外是被 唯一确定的.
3. 特殊情形
（定理12）复矩阵 A与对角矩阵相似 A 的初等因子全是一次的.
（定理13）复矩阵 A与对角矩阵相似 A 的不变因子没有重根.
定理14 数域P上的n n方阵A在数域P上 相似于唯一的一个有理标准型，称为 Ａ的有理标准型.
定理15 设 是数域P上n维线性空间的 线性变换，则在Ｖ中存在一组基，使
(i=2,3, L ,r)
3、求数字矩阵的两种因子：不变因子、 初等因子
方法一:
(1)求出特征矩阵 E-A的全部不变因子
(2) 对不变因子因式分解,分解式中全部 一次因式方幂(相同的按出现的次 数计算)
方法二:
(1)把特征矩阵 E-A化成对角形矩阵
(2) 把对角线上的所有进行因式分解, 分解式中全部一次因式方幂(相同 的按出现的次数计算)
一、基本概念 二、基本结论 三、基本算法
一、基本概念
矩阵，可逆的 矩阵，秩； 矩阵的初
等ห้องสมุดไป่ตู้换及标准形， 矩阵的等价；行列式因子，
不变因子，初等因子；若尔当标准形， 矩阵的有理标准形.
二、主要结论
1. 矩阵可逆的等价刻画
（定理1） 一个 n n 的 ―矩阵 A( )可逆 A( ) 是一个非零常数.