北京育英中学数学 二次函数中考真题汇编[解析版]

北京育英中学数学

二次函数中考真题汇编[解析版]

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1

236 25

S

S

=时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α

（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2

3

E'B的最小值．

【答案】（1）抛物线y＝﹣3

4

x2+

9

4

x+3，直线AB解析式为y＝﹣

3

4

x+3；（2）P（2，

3 2）；（3

410

【解析】

【分析】

（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；

（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出

6

5

PN

AN

=，以此列出方程求解即可解决问题；

（3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝4

3

，构造相似三角形，可以证明AM′就是

E′A+2

3

E′B的最小值．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），

则有

3

30 n

m m n

⎧

⎨

⎩++

＝

＝

，解得4

3

3

m

n

⎧

⎪

⎨

⎪

-

⎩

＝

＝

，

∴抛物线2

39

3

44

y x x

=-++，

令y＝0，得到2

39

3

44

x x

-++＝0，

解得：x＝4或﹣1，

∴A（4，0），B（0，3），

设直线AB解析式为y＝kx+b，则

3

40

b

k b

+

⎧

⎨

⎩

＝

＝

，

解得

3

3

4

k

b

⎧

-

⎪

⎨

⎪⎩

＝

＝

，

∴直线AB解析式为y＝3

4

-x+3．

（2）如图1中，设P（m，2

39

3

44

m m

-++），则E（m，0），

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN＝∠AEN，

∵∠PNM＝∠ANE，

∴△PNM∽△ANE，

∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，1

2

36

25

S

S

＝，

∴6

5

PN

AN

=，

∵NE∥OB，

∴AN AE

AB OA

=，

∴AN＝5

4

5

4

5

4

5

4

（4﹣m），

∵抛物线解析式为y ＝239

34

4

x x -++， ∴PN ＝239344m m -

++﹣（34-m+3）＝3

4

-m 2+3m ， ∴23

364

55(4)4

m m

m -+=-， 解得m ＝2或4（舍弃）， ∴m ＝2， ∴P （2，

3

2

）． （3）如图2中，在y 轴上 取一点M′使得OM′＝4

3

，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE ．

∵OE′＝2，OM′•OB ＝4

3

×3＝4， ∴OE′2＝OM′•OB ， ∴

OE OB

OM OE '=''

， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB ，

∴

M E OE BE OB '''='＝2

3

， ∴M′E′＝2

3BE′，

∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+2

3BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线

时），

最小值＝AM′2244()3

+410

． 【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+2

3

BE′的最小值，属于中考压轴题．

2．已知函数2222

22(0)114(0)

2

2x ax a x y x ax a x ⎧-+-<⎪

=⎨---+≥⎪⎩（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，

①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．

②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．

（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点

()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．

【答案】（1）1a =或3a =-；（2

）①1x =--

1x =+；②

7

2

4m ≤<或21m -<<-；（3

）3a <--

或1a ≤<-

或a >【解析】 【分析】

（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线

y m =观察其与图像交点，即可得到答案．

（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将

2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211

422

y x ax a =---+与0比大小；第二

种为当20a -≤<，2

2

22y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211

422

y x ax a =-

--+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2

2

22y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211

422

y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小． 【详解】

（1）将()1,2代入2211422y x ax a =-

--+中，得211

2422

a a =---+，解得1a =或3a =-．