不可约多项式
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§1.5 因式分解定理
一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再 分下去？
这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。
对于Px 中任一个多项式 f x, c P及cf x
3. 利用多项式的标准分解式可以直接写出
f x,gx.
例如： f x 5 x 35 x 23 x 1, g x 7 x 33 x 14 x 1,
则 f x, g x x 33 x 1
虽然根据多项式的标准分解式写出
f x, g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
由d x f x d x 1或 d x cpx.
若d x 1, 则 px, f x 1.
若d x cpx, 则 p x f x 性质3：若 p x 不可约且 p x f x g x
则 px f x 或 px gx.
证： 若 p x f x, 则结论成立；
若 p x f x ，又 p x 不可约。
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解
成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式：
f x p1 x p2 x pr x q1 xq2 x qs x.
则有① r=s；
② 适当调整 qj x 的位置后，有
qi x ci pi x , i 1, 2, , r
）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：
在R上：f x x 2 x 2 x2 2;
其他因式，则称 f x 在数域F上可约。
等价定义：如果 Px 中一个 nn 0 次多项式 f x 可分解成 Px 中两个次数都小于 n 的多项式
g x,hx 的积，即 f x g xhx, 则称
f x 在数域P上可约。
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法 还是采用辗转相除法。
问：如何求 f x 的标准分解式？
例 1： 求 f x x4 3x2 2,
在 Qx, Rx 中的标准分解式。
解：利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
即有 x2 1 f x。
在Qx上 f x x2 1 x2 2 x 1x 1x2 2
是否唯一？
若 f x p1 x p2 x pr x, 取 c1c2 cr 1.
则 f x c1 p1 xc2 p2 x cr pr x, 可见 f x 分解式不唯一。
定理1.5.2：Px 中任一个次数大于零的多项式
f x 分解成不可约多项式的乘积：
f x p1 x p2 x pr x,
由性质2， px, f x 1. pu fv 1, pgu fgv g
px gx.
推论： 若 p x 不可约且 p x f1 x
则 p x 必整除某个 fi x,1 i s.
二、因式分解
fs x.
问题： f xPx, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1：Px 中任一个nn 0 次多项式 f x
② 多项式的可约性与数域有关（例 x2 2 在C上
可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质
性质1 若 p x不可约，则 cp x 也不可约，
c 0,c P.
性质2 若 p x 是不可约多项式，f xPx,
则 p x f x px, f x 1. 证：设 px, f x d x,
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，
并把相同的因式合并，于是，f x 的分解式就变成：
f
x
an
p k1 1
x
p k2 2
x
p kl l
x.
p1 首x项, 系, p数l x 为 Px 的首一不可约多项式，
k1, , kl 为自然数，这种分解式称为 f x 的标准分解
式。
1. 每个多项式的标准分解式是唯一的。 2. 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项 式是否整除另一个多项式。
当r=1时，结论显然成立。
假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立，
则当 f x 分解成r个因式时，有
f x p1 x p2 x pr x q1 xq2 x qs x.
由于 p1 x q1(x)q2(x) qs (x)，故存在某个qi 使 p1(x) qi (x)
为方便起见不防设 qi (x) 就是 q1(x) 。
总是 f x 的因式。这样的因式称为平凡因式。
我们感兴趣的是，除了平凡因式外，f x
还有没有其他的因式？
一、不可约多项式 1、定义
定义1.5.1 设 f x是 Px 中次数大于零的多项式，
如果在 Px 中，f x 只有平凡因式，则称 f x 在数域
F上不可约。若 f x 除平凡因式外，在 Px 中还有
在Rx上 f x x2 1 x2 2 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
如何知道 x a 是不是 f x 的一个因式？
x a 是 f x 的一个因式的充要条件是 f a 0.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例 2： 求 f x x4 4 在 Qx, Rx,Cx
解： 在Q上：f x x2 2 x2 2;
q1 c1 p1 p2(x) pr (x) c1q2 x qs x
由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且
q2 c11c1p2 c2 p2, qi ci pi , i 3, 4, , r
故
qi ci pi , i 1, 2, , r
三、标准（典型）分解式
在 f x 的分解中，可以把每个不可约因式的
都可以分解成 Px 中不可约多项式的乘积。
证（归纳法）：
n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
f x n 时，
1、若 f x 不可约成立；
2、若 f x 可约，f x g xhx g n,h n.
由假设知 g x,hx 均可分解为不可约多项式的乘积。
问题：多项式 f x 分解成不可约多项式的乘积
一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个 多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在 分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不 能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再 分下去？
这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。
对于Px 中任一个多项式 f x, c P及cf x
3. 利用多项式的标准分解式可以直接写出
f x,gx.
例如： f x 5 x 35 x 23 x 1, g x 7 x 33 x 14 x 1,
则 f x, g x x 33 x 1
虽然根据多项式的标准分解式写出
f x, g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
由d x f x d x 1或 d x cpx.
若d x 1, 则 px, f x 1.
若d x cpx, 则 p x f x 性质3：若 p x 不可约且 p x f x g x
则 px f x 或 px gx.
证： 若 p x f x, 则结论成立；
若 p x f x ，又 p x 不可约。
若不计零次多项式的差异和因式的顺序，f x 分解
成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两 个分解式：
f x p1 x p2 x pr x q1 xq2 x qs x.
则有① r=s；
② 适当调整 qj x 的位置后，有
qi x ci pi x , i 1, 2, , r
）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：
在R上：f x x 2 x 2 x2 2;
其他因式，则称 f x 在数域F上可约。
等价定义：如果 Px 中一个 nn 0 次多项式 f x 可分解成 Px 中两个次数都小于 n 的多项式
g x,hx 的积，即 f x g xhx, 则称
f x 在数域P上可约。
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上 多项式是否可约是重点讨论对象）；
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法 还是采用辗转相除法。
问：如何求 f x 的标准分解式？
例 1： 求 f x x4 3x2 2,
在 Qx, Rx 中的标准分解式。
解：利用带余除法，知 x 1, x 1 都是 f x 的因式，
即有 x2 1 f x。
在Qx上 f x x2 1 x2 2 x 1x 1x2 2
是否唯一？
若 f x p1 x p2 x pr x, 取 c1c2 cr 1.
则 f x c1 p1 xc2 p2 x cr pr x, 可见 f x 分解式不唯一。
定理1.5.2：Px 中任一个次数大于零的多项式
f x 分解成不可约多项式的乘积：
f x p1 x p2 x pr x,
由性质2， px, f x 1. pu fv 1, pgu fgv g
px gx.
推论： 若 p x 不可约且 p x f1 x
则 p x 必整除某个 fi x,1 i s.
二、因式分解
fs x.
问题： f xPx, f 0, f x 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理1.5.1：Px 中任一个nn 0 次多项式 f x
② 多项式的可约性与数域有关（例 x2 2 在C上
可约，在R中不可约）。 ③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2. 性质
性质1 若 p x不可约，则 cp x 也不可约，
c 0,c P.
性质2 若 p x 是不可约多项式，f xPx,
则 p x f x px, f x 1. 证：设 px, f x d x,
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，
并把相同的因式合并，于是，f x 的分解式就变成：
f
x
an
p k1 1
x
p k2 2
x
p kl l
x.
p1 首x项, 系, p数l x 为 Px 的首一不可约多项式，
k1, , kl 为自然数，这种分解式称为 f x 的标准分解
式。
1. 每个多项式的标准分解式是唯一的。 2. 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项 式是否整除另一个多项式。
当r=1时，结论显然成立。
假设当 f x 分解成r-1个不可约因式时结论成立，
则当 f x 分解成r个因式时，有
f x p1 x p2 x pr x q1 xq2 x qs x.
由于 p1 x q1(x)q2(x) qs (x)，故存在某个qi 使 p1(x) qi (x)
为方便起见不防设 qi (x) 就是 q1(x) 。
总是 f x 的因式。这样的因式称为平凡因式。
我们感兴趣的是，除了平凡因式外，f x
还有没有其他的因式？
一、不可约多项式 1、定义
定义1.5.1 设 f x是 Px 中次数大于零的多项式，
如果在 Px 中，f x 只有平凡因式，则称 f x 在数域
F上不可约。若 f x 除平凡因式外，在 Px 中还有
在Rx上 f x x2 1 x2 2 (x 1)(x 1)(x 2)(x 2)
如何知道 x a 是不是 f x 的一个因式？
x a 是 f x 的一个因式的充要条件是 f a 0.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例 2： 求 f x x4 4 在 Qx, Rx,Cx
解： 在Q上：f x x2 2 x2 2;
q1 c1 p1 p2(x) pr (x) c1q2 x qs x
由归纳假设知，这时有r-1=s-1。 故r=s，且
q2 c11c1p2 c2 p2, qi ci pi , i 3, 4, , r
故
qi ci pi , i 1, 2, , r
三、标准（典型）分解式
在 f x 的分解中，可以把每个不可约因式的
都可以分解成 Px 中不可约多项式的乘积。
证（归纳法）：
n=1时，命题显然成立。 假设命题对一切小于n的多项式成立，则当
f x n 时，
1、若 f x 不可约成立；
2、若 f x 可约，f x g xhx g n,h n.
由假设知 g x,hx 均可分解为不可约多项式的乘积。
问题：多项式 f x 分解成不可约多项式的乘积