第9章 目标规划
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运筹学
Operations Research
Chapter 9 目标规划
§1 目标规划数学模型 §2 目标规划的图解法 §3 应用举例
本章重点：目标规划模型的建立，图解法
线性规划模型的特征是在满足一组约束条件下，寻 求一个目标的最优解（最大值或最小值）。
而在现实生活中最优只是相对的，或者说没有绝对意 义下的最优，只有相对意义下的满意。 1978年诺贝尔经济学奖获得者.西蒙(H.A.Simon美国卡内基-梅隆大学,1916-)教授提出“满意行为模 型要比最大化行为模型丰富得多”，否定了企业的决 策者是“经济人”概念和“最大化”行为准则，提出 了“管理人”的概念和“令人满意”的行为准则，对 现代企业管理的决策科学进行了开创性的研究.
min z Pd1 P d2 d2 ) P (d3 d3 ) P4d4 （ 1 2 3
(5)
(6)
6
x2
min d 2 d 2
d
4
d4
d
3
3
(4 ) (1)
B C
d2
d
4
(2)
3x1 12 (1) 4 x2 16 (2) 20 x1 40 x2 d1 d1 80 (3) x1 x2 d 2 d 2 0 (4) 2 x 2 x d d 12 (5) 1 2 3 3 (6) 5 x1 3x2 d 4 d 4 15 x1 , x2 di , di 0 (i 1, , 4)
§2 目标规划的图解法
§2目标规划的图解法
当目标规划模型中只含两个决策变量（不包含偏差变量）时， 可以用图解法求出满意解．
【例2.1】企业计划生产I 、 II 两种产品，这些产品需要使用 两种材料，要在两种不同设备上加工．工艺资料如表4－4所 示． 表2－1
产品 资源 材料I 材料II 设备A 设备B 产品利润(元/件) 产品甲 3 0 2 5 20 产品乙 0 4 2 3 40 现有资源 12(kg) 14(kg) 12(h) 15(h)
3x1 12 (1) 4 x2 16 (2) 20 x1 40 x2 d1 d1 80 (3) x1 x2 d 2 d 2 0 (4) 2 x 2 x d d 12 (5) 1 2 3 3 (6) 5 x1 3x2 d 4 d 4 15 x1 , x2 di , di 0 (i 1, , 4)
60
d
d
3 2
100
d2
(1)100
x2
(2) 80 (3) 60 (4)
40 20
min Z P (d1 d2 ) P (d3 d3 ) Pd4 P d1 1 2 3 4 10x1 5 x2 d1 d1 400 (1) 7 x1 8 x2 d 2 d 2 560 (2) 2 x1 2 x2 d 3 d 3 120 (3) x1 2.5 x2 d 4 d 4 100 (4) x1、x2 , d 、d 0, j 1, ,4 j j
充分利用设 备不加班
要求利润尽量 超过56
minZ=P1d1+ + P2 ( d2+ + d2－) + P3d3－
∵x1－ x2 ≤0 ∴使x1－x2不超过0，就 要使d+尽可能地小
题
数学模型： minZ=P1d1+ + P2 ( d2+ + d2－) + P3d3－ 2x1+x2≤11 x1－x2+ d1－ － d1+=0 x1+2x2+ d2－ － d2+=10 8x1+10x2+ d3－ － d3+=56 xi≥0,dj+ ≥0,dj－ ≥0, i=1,2, j=1,2,3
x1≤x2
思考 解
解：设x1,x2分别为生产甲、乙的数量 分别赋予这三个目标P1,P2,P3优先级因子 第一： 2x1+x2≤11 第二：∵ x ≤x
1 2
∴ x1－ x2 ≤0 ∴ x1－x2+ d1－ － d1+=0
第三：x1+2x2+ d2－ － d2+=10 第四： 8x1+10x2+ d3－ － d3+=56
目标值
d 如果>0，则d 一定为0; d-尽量地小，才 能使d+有可能≥0
d－
d＋
d－越来越小
d+越来越小
【例1.2】 甲 乙 拥有量 2 1 11 原材料(kg) 1 2 10 设备(hr) 8 10 利润(元/件) 决策者在原材料供应严格限制的基础上考虑： (1)产品乙的产量不低于产品甲的产量； (2)充分利用设备有效台时，不加班； (3)利润不小于56元； 求决策方案。
实际中，工厂作决策时，还会考虑市场等一系 列的其他条件，如： (1)据市场信息，产品甲的销量有下降的趋势， 故考虑产品甲的产量不大于产品乙； (2)超过计划供应的原材料时，需高价采购，就 使成本增加； (3)应尽可能充分利用设备工时，但不希望加班； (4)应尽可能达到并超过计划利润指标56元 这样在考虑产品决策时，便为多目标决策。
(3)
d1
2
min d3 d3
满意解 C(3,3)
d
1
A
min d1
x1
6
o
2
4
图2－1
满意解X＝(3,3)
max Z P1 (d1 d 2 ) P2 (d 3 d 3 ) P3 d 4
(1)100
x2
(2) 80 (3) 60 (4)
40 20
10x1 5 x 2 d1 d1 7 x1 8 x 2 d 2 d 2 2 x1 2 x 2 d 3 d 3 x1 2.5 x 2 d 4 d 4 x1、x 2 , d 、d j j
如： 绝对约束： x1+2x2≤10
→ x1+2x2+ d－ － d+=10
目标函数： Z=8x1+10x2 → 8x1+10x2+ d－ － d+＝56
给定的目标 值
4、优先级因子与权系数 不同目标的重要程度是有区别的；
第一个要达到的目标，为第一优先级，优先级因子为P1，
第二个要达到的目标，优先级因子P2, 规定：Pk>> Pk+1 即：首先保证P1级目标实现，这时可不考虑次级目标， 而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的…..
11 ±0.2
11
。
。
。
。
11.2
目标值
决策 值
正负偏差量只能有一个存在， 正的存在，负的就为0
3、绝对约束和目标约束 绝对约束：指必须严格满足的等式约束或不 等式约束。
在线性规划中，“目标”与“约束”十分明确， 要求完全满足约束条件，并在此条件下使目标 函数到极大或极小，这种“目标”与“约束” 具有“绝对”的意义，称为硬约束；
权系数： 如有相同优先级因子的两个目标，则赋予它 们不同的权系数ij。 5、目标规划的目标函数 指按各目标约束的正负偏差量和赋予相应的优 先因子而构造的。
当一个目标值确定后，决策者的要求是尽可能 缩小偏离目标值，∴目标规划的目标函数只 能是minZ=f(d+,d － )
分三种情况： (1)决策值要求恰好达到目标值。即正负偏差量 都尽可能地小。 MinZ= f (d+, d － )
模型
解：设甲乙两产品的产量分别是x1,x2。 P1： 50x1+30x2≤4600 → 50x1+30x2 + d1－ － d1+=4600 P1d1+
P2： x1=50 → x1+
d2－ － d2+=50
P2 d2－
P3：
2x1+x2≤120 x1+3x2 ≤ 150 2x1+x2+ d3－ － d3+=120 x1+3x2+ d4－ － d4+=150
题目
【例1.3】 ：某企业加工产品甲和乙，它们的加 工工时及相关数据如下表：
产品
甲 2h 1h 50元 100元/件 50件
乙 1h 3h 30元 75元/件 80件
工时 120h 150h
费用工时 18元/h 9元/h
车间 加工车间
装配车间 在制品占 用金 产品利润 下月市场 销售预测
解
经研究提出下目标： P1：在制品占用金≤4600元； P2：产品甲争取销售50件； P3：减少两车间的剩余工时； P4：加工车间加班时间≤20h； P5：产品乙销售至少80件。
目标值
d－
d＋
d－越来越小
d+越来越小
(2)决策值要求不超过目标值。即允许达不到目 标值，就是说正偏差量尽量地小 MinZ= f ( d+ ) + 目标值 d 如果>0，则d 一定为0; d+尽量地小，才 能使d-有可能≥0
d－
d＋
d－越来越小
d+越来越小
(3)决策值要求超过目标值。即允许超过目 标值，就是说负偏差量尽量地小 MinZ= f ( d－ ) +
§2目标规划的图解法 企业怎样安排生产计划，尽可能满足下列目标： (1)力求使利润指标不低于80元 (2)考虑到市场需求,Ｉ、II两种产品的生产量需保持1:1的比例 (3)设备A既要求充分利用，又尽可能不加班 (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间尽可能少 (5)材料不能超用。 【解】设x1、x2分别为产品甲和产品乙的产量，目标规划数学 模型为： min z P d1 P2 d 2 d 2 ) P3 (d3 d3 ) P3 d 4 （ 1
在目标规划中，常将约束条件右侧值看成“追 求的目标”，即目标值。在达到目标值时允 许发生正或负的偏差，这样“目标”与“约 束”的差别就不那么明显了，约束条件得到 了软化，则它们是软约束。
目标约束： ①在绝对约束中加入正负偏差量就变为目 标约束； ②线性规划问题的目标函数，在给定目标 值和加入正负偏差量后就变为目标约束。
400 560 120 100
(1) (2) (3) (4)
0, j 1,,4
d
4
A B
d4
满意解是线段 BC 上任意点，端点的 解是 B(100/3，80/3)，C(60，0)． 决策者根据实际情形进行二次选择．
C
x1
80
20
40
d
1
d d 3
图5－3
1
→
P3 ( d3 － + 2d4－)
题目
P4：d3+≤20 →d3＋ + d5－ － d5+ =20
P5：x2=80 → x2+ d6－ － d6+=80
P4 d5+
P5 d6－
题
综上所述，数学模型为： minZ=P1d1+ + P2 d2－ + P3 ( d3 － + 2d4－) + P4 d5+ + P5 d6－ +P6 d6 － 50x1+30x2 + d1－ － d1+=4600 x 1+ d2－ － d2+=50 2x1+x2+ d3－ － d3+=120 x1+3x2+ d4－ － d4+=150 d3＋ + d5－ － d5+ =20 x2+ d6－ － d6+=80 xi≥0,dj+ ≥0,dj－ ≥0, i=1,2, j=1~6
思考以下的写法对吗？ minZ=P1d3+ + P2 ( d1+ + d1－) + P3d2－ 2x1+x2≤11
x1+2x2+ d1－ － d1+=10 8x1+10x2+ d2－ － d2+=56
x1－x2+ d3－ － d3+=0
xi≥0,dj+ ≥0,dj－ ≥0, i=1,2, j=1,2,3
§1目标规划的数学模型
【例1.1】 ：
甲
原材料(kg) 设备(hr) 2 1
乙
1 2
拥有量
11 10
利润(元/件)
8
10
试求利润最大的生产方案。
解：设x1,x2分别为生产甲、乙的数量 MaxZ=8x1+10x2 2x1+ x2≤11 x1+2x2 ≤10 x1,x2≥0
→x1*=4 Z*=62 x2*=3
目标规划就是解决此类多目标决策问题的方法 之一。
线性规划的目标只有一个
百度文库
实际生活中的决策总会面临多个目标
∴引入目标规划 下面看目标规划与线性规划在解决问题时 的区别，先介绍一些概念。
一、概念 1.目标值、决策值 目标值：决策者为每个要考虑的目标确定一 个指标值。 决策值：要求决策方案所得到的值。
2. 正负偏差量d+,d－ 正偏差量d+：决策值超过目标值的部分； 负偏差量d－：决策值未达到目标值的部分；
Operations Research
Chapter 9 目标规划
§1 目标规划数学模型 §2 目标规划的图解法 §3 应用举例
本章重点：目标规划模型的建立，图解法
线性规划模型的特征是在满足一组约束条件下，寻 求一个目标的最优解（最大值或最小值）。
而在现实生活中最优只是相对的，或者说没有绝对意 义下的最优，只有相对意义下的满意。 1978年诺贝尔经济学奖获得者.西蒙(H.A.Simon美国卡内基-梅隆大学,1916-)教授提出“满意行为模 型要比最大化行为模型丰富得多”，否定了企业的决 策者是“经济人”概念和“最大化”行为准则，提出 了“管理人”的概念和“令人满意”的行为准则，对 现代企业管理的决策科学进行了开创性的研究.
min z Pd1 P d2 d2 ) P (d3 d3 ) P4d4 （ 1 2 3
(5)
(6)
6
x2
min d 2 d 2
d
4
d4
d
3
3
(4 ) (1)
B C
d2
d
4
(2)
3x1 12 (1) 4 x2 16 (2) 20 x1 40 x2 d1 d1 80 (3) x1 x2 d 2 d 2 0 (4) 2 x 2 x d d 12 (5) 1 2 3 3 (6) 5 x1 3x2 d 4 d 4 15 x1 , x2 di , di 0 (i 1, , 4)
§2 目标规划的图解法
§2目标规划的图解法
当目标规划模型中只含两个决策变量（不包含偏差变量）时， 可以用图解法求出满意解．
【例2.1】企业计划生产I 、 II 两种产品，这些产品需要使用 两种材料，要在两种不同设备上加工．工艺资料如表4－4所 示． 表2－1
产品 资源 材料I 材料II 设备A 设备B 产品利润(元/件) 产品甲 3 0 2 5 20 产品乙 0 4 2 3 40 现有资源 12(kg) 14(kg) 12(h) 15(h)
3x1 12 (1) 4 x2 16 (2) 20 x1 40 x2 d1 d1 80 (3) x1 x2 d 2 d 2 0 (4) 2 x 2 x d d 12 (5) 1 2 3 3 (6) 5 x1 3x2 d 4 d 4 15 x1 , x2 di , di 0 (i 1, , 4)
60
d
d
3 2
100
d2
(1)100
x2
(2) 80 (3) 60 (4)
40 20
min Z P (d1 d2 ) P (d3 d3 ) Pd4 P d1 1 2 3 4 10x1 5 x2 d1 d1 400 (1) 7 x1 8 x2 d 2 d 2 560 (2) 2 x1 2 x2 d 3 d 3 120 (3) x1 2.5 x2 d 4 d 4 100 (4) x1、x2 , d 、d 0, j 1, ,4 j j
充分利用设 备不加班
要求利润尽量 超过56
minZ=P1d1+ + P2 ( d2+ + d2－) + P3d3－
∵x1－ x2 ≤0 ∴使x1－x2不超过0，就 要使d+尽可能地小
题
数学模型： minZ=P1d1+ + P2 ( d2+ + d2－) + P3d3－ 2x1+x2≤11 x1－x2+ d1－ － d1+=0 x1+2x2+ d2－ － d2+=10 8x1+10x2+ d3－ － d3+=56 xi≥0,dj+ ≥0,dj－ ≥0, i=1,2, j=1,2,3
x1≤x2
思考 解
解：设x1,x2分别为生产甲、乙的数量 分别赋予这三个目标P1,P2,P3优先级因子 第一： 2x1+x2≤11 第二：∵ x ≤x
1 2
∴ x1－ x2 ≤0 ∴ x1－x2+ d1－ － d1+=0
第三：x1+2x2+ d2－ － d2+=10 第四： 8x1+10x2+ d3－ － d3+=56
目标值
d 如果>0，则d 一定为0; d-尽量地小，才 能使d+有可能≥0
d－
d＋
d－越来越小
d+越来越小
【例1.2】 甲 乙 拥有量 2 1 11 原材料(kg) 1 2 10 设备(hr) 8 10 利润(元/件) 决策者在原材料供应严格限制的基础上考虑： (1)产品乙的产量不低于产品甲的产量； (2)充分利用设备有效台时，不加班； (3)利润不小于56元； 求决策方案。
实际中，工厂作决策时，还会考虑市场等一系 列的其他条件，如： (1)据市场信息，产品甲的销量有下降的趋势， 故考虑产品甲的产量不大于产品乙； (2)超过计划供应的原材料时，需高价采购，就 使成本增加； (3)应尽可能充分利用设备工时，但不希望加班； (4)应尽可能达到并超过计划利润指标56元 这样在考虑产品决策时，便为多目标决策。
(3)
d1
2
min d3 d3
满意解 C(3,3)
d
1
A
min d1
x1
6
o
2
4
图2－1
满意解X＝(3,3)
max Z P1 (d1 d 2 ) P2 (d 3 d 3 ) P3 d 4
(1)100
x2
(2) 80 (3) 60 (4)
40 20
10x1 5 x 2 d1 d1 7 x1 8 x 2 d 2 d 2 2 x1 2 x 2 d 3 d 3 x1 2.5 x 2 d 4 d 4 x1、x 2 , d 、d j j
如： 绝对约束： x1+2x2≤10
→ x1+2x2+ d－ － d+=10
目标函数： Z=8x1+10x2 → 8x1+10x2+ d－ － d+＝56
给定的目标 值
4、优先级因子与权系数 不同目标的重要程度是有区别的；
第一个要达到的目标，为第一优先级，优先级因子为P1，
第二个要达到的目标，优先级因子P2, 规定：Pk>> Pk+1 即：首先保证P1级目标实现，这时可不考虑次级目标， 而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的…..
11 ±0.2
11
。
。
。
。
11.2
目标值
决策 值
正负偏差量只能有一个存在， 正的存在，负的就为0
3、绝对约束和目标约束 绝对约束：指必须严格满足的等式约束或不 等式约束。
在线性规划中，“目标”与“约束”十分明确， 要求完全满足约束条件，并在此条件下使目标 函数到极大或极小，这种“目标”与“约束” 具有“绝对”的意义，称为硬约束；
权系数： 如有相同优先级因子的两个目标，则赋予它 们不同的权系数ij。 5、目标规划的目标函数 指按各目标约束的正负偏差量和赋予相应的优 先因子而构造的。
当一个目标值确定后，决策者的要求是尽可能 缩小偏离目标值，∴目标规划的目标函数只 能是minZ=f(d+,d － )
分三种情况： (1)决策值要求恰好达到目标值。即正负偏差量 都尽可能地小。 MinZ= f (d+, d － )
模型
解：设甲乙两产品的产量分别是x1,x2。 P1： 50x1+30x2≤4600 → 50x1+30x2 + d1－ － d1+=4600 P1d1+
P2： x1=50 → x1+
d2－ － d2+=50
P2 d2－
P3：
2x1+x2≤120 x1+3x2 ≤ 150 2x1+x2+ d3－ － d3+=120 x1+3x2+ d4－ － d4+=150
题目
【例1.3】 ：某企业加工产品甲和乙，它们的加 工工时及相关数据如下表：
产品
甲 2h 1h 50元 100元/件 50件
乙 1h 3h 30元 75元/件 80件
工时 120h 150h
费用工时 18元/h 9元/h
车间 加工车间
装配车间 在制品占 用金 产品利润 下月市场 销售预测
解
经研究提出下目标： P1：在制品占用金≤4600元； P2：产品甲争取销售50件； P3：减少两车间的剩余工时； P4：加工车间加班时间≤20h； P5：产品乙销售至少80件。
目标值
d－
d＋
d－越来越小
d+越来越小
(2)决策值要求不超过目标值。即允许达不到目 标值，就是说正偏差量尽量地小 MinZ= f ( d+ ) + 目标值 d 如果>0，则d 一定为0; d+尽量地小，才 能使d-有可能≥0
d－
d＋
d－越来越小
d+越来越小
(3)决策值要求超过目标值。即允许超过目 标值，就是说负偏差量尽量地小 MinZ= f ( d－ ) +
§2目标规划的图解法 企业怎样安排生产计划，尽可能满足下列目标： (1)力求使利润指标不低于80元 (2)考虑到市场需求,Ｉ、II两种产品的生产量需保持1:1的比例 (3)设备A既要求充分利用，又尽可能不加班 (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间尽可能少 (5)材料不能超用。 【解】设x1、x2分别为产品甲和产品乙的产量，目标规划数学 模型为： min z P d1 P2 d 2 d 2 ) P3 (d3 d3 ) P3 d 4 （ 1
在目标规划中，常将约束条件右侧值看成“追 求的目标”，即目标值。在达到目标值时允 许发生正或负的偏差，这样“目标”与“约 束”的差别就不那么明显了，约束条件得到 了软化，则它们是软约束。
目标约束： ①在绝对约束中加入正负偏差量就变为目 标约束； ②线性规划问题的目标函数，在给定目标 值和加入正负偏差量后就变为目标约束。
400 560 120 100
(1) (2) (3) (4)
0, j 1,,4
d
4
A B
d4
满意解是线段 BC 上任意点，端点的 解是 B(100/3，80/3)，C(60，0)． 决策者根据实际情形进行二次选择．
C
x1
80
20
40
d
1
d d 3
图5－3
1
→
P3 ( d3 － + 2d4－)
题目
P4：d3+≤20 →d3＋ + d5－ － d5+ =20
P5：x2=80 → x2+ d6－ － d6+=80
P4 d5+
P5 d6－
题
综上所述，数学模型为： minZ=P1d1+ + P2 d2－ + P3 ( d3 － + 2d4－) + P4 d5+ + P5 d6－ +P6 d6 － 50x1+30x2 + d1－ － d1+=4600 x 1+ d2－ － d2+=50 2x1+x2+ d3－ － d3+=120 x1+3x2+ d4－ － d4+=150 d3＋ + d5－ － d5+ =20 x2+ d6－ － d6+=80 xi≥0,dj+ ≥0,dj－ ≥0, i=1,2, j=1~6
思考以下的写法对吗？ minZ=P1d3+ + P2 ( d1+ + d1－) + P3d2－ 2x1+x2≤11
x1+2x2+ d1－ － d1+=10 8x1+10x2+ d2－ － d2+=56
x1－x2+ d3－ － d3+=0
xi≥0,dj+ ≥0,dj－ ≥0, i=1,2, j=1,2,3
§1目标规划的数学模型
【例1.1】 ：
甲
原材料(kg) 设备(hr) 2 1
乙
1 2
拥有量
11 10
利润(元/件)
8
10
试求利润最大的生产方案。
解：设x1,x2分别为生产甲、乙的数量 MaxZ=8x1+10x2 2x1+ x2≤11 x1+2x2 ≤10 x1,x2≥0
→x1*=4 Z*=62 x2*=3
目标规划就是解决此类多目标决策问题的方法 之一。
线性规划的目标只有一个
百度文库
实际生活中的决策总会面临多个目标
∴引入目标规划 下面看目标规划与线性规划在解决问题时 的区别，先介绍一些概念。
一、概念 1.目标值、决策值 目标值：决策者为每个要考虑的目标确定一 个指标值。 决策值：要求决策方案所得到的值。
2. 正负偏差量d+,d－ 正偏差量d+：决策值超过目标值的部分； 负偏差量d－：决策值未达到目标值的部分；