线段的定比分点及平移.ppt
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一、线段的定比分点 1.定义:设 P1 、P2 是直线 上的两点,点 P 是 上不同于
P1 、P2 的任意一点,则存在一个实数 使 P1P PP2 , 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比.(如图)
①P 在线段 P1P2 上, P 为内分点时, 0 ; ②P 在线段 P1P2 或 P2P1 的延长线上, P 为外分点时, 0. ③ P1P , 内分取 “+”, 外分取 “一”.
3
达式为 y sin(x ) 2 ，则原函数的解析式为 y cos__x_． 6
课堂练习
1.（2007年辽宁）若函数 y f (x) 的图象按向量
a 平移后，得到函数 y f (x 1) 2 的图象，
则向量 a
（D）
A.(1,2) B.(1,2) C.(1,2) D.(1,2)
2.(2007山东)要得到函数y sin x的图象,只需将函数
由定比分点公式得
xN
yN
0 2 6 4, 1 2
0 2 (4) 1 2
8 3
,∴N(4,-
8 3
).
例 2 设函数 f (x) a b ,其中向量 a (2 cos x,1) ,
b (cos x, 3 sin 2x), x R .
⑴若 f(x)=1-
3
且
x∈
3
,
3
，求
x；
⑵若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c (m, n) (|m|< )平移后得
PP2
2. P1P2 定比分点坐标公式:
设 P1(x1, y1) 、 P2 (x2 , y2 ) 、 P (x , y ) ， P1P PP2
则：
x
x1 x2 1
y
y1 y2
1
特殊地，当 1
1 ,
时 得中点坐标公式： x
y
x1 x2 2
y1 y2 2
另外，注意一下定比分点的向量公式：
2.平移公式：点 P x, y 按向量 a h,k 平移到 P x', y'
则
x y
' '
x y
h k
（新=原+移）其中
a
h,
k
叫做平移向量.
二、平移及平移公式
3. ⑴设曲线 C：y=f(x)按 a =（h，k）平移， 则平移后曲线 C 对应的解析式为 y k f (x h) , 当 h，k 中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右 及上下平移.
x2
x
按向量 a (2,1) 平移得到.
f (x) 在区间 (, 2)和(2, ) 上均为减函数。
5.已知：A(2, 1), B(5,3)，l : kx y 1 0
若直线l与线段AB相交，求k的取值范围.
2
到函数 y=f(x)的图象，求实数 m、n 的值.
解：⑴依题设，f(x)=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+ ). 6
由 1+2sin(2x+ )=1- 3 ,得 sin(2x+ )=- 3 .∵ ≤x≤ ，
6
62
3
3
∴ ≤2x+ ≤ 5 ，∴2x+ = ，即 x= .
解:∵
S △ AMN
=
1 2
AM
AN
sin BAC
=
S△ABC 1 AB AC sin BAC
2
AM AN
, AB AC
∵M 分 AB 的比为 3,∴ | AM | = 3 ， | AB | 4
则由题设条件得 1 = 3 | AN | ,∴ | AN | = 2 ,∴ | AN | =2. 2 4 | AC | | AC | 3 | NC |
4
2
C.y
2
cos
x 3
12
2
D.
y
2
cos
x 3
12
2
4.设函数 f (x) x 1 ，试求函数f(x)的单调区间.
x2
解析:
令y
x 1， x2
y
(x 2) 1 x2
1
x
1
Leabharlann Baidu
2
y
1
1 x2
令
x/ y/
x 2 解得y/ y 1
1 x/
由平移公式知，函数 y x 1 的图象可由函数 y 1
注:函数图象平移口诀:左加右减,上加下减. 注意这 里是指函．数．解．析．式．的．变．化．,另外注意顺序性.
例 1.已知△ABC 顶点 A（0，0），B（4，8），C (6, 4) ，点
M 内分 AB 所成的比为 3，N 是 AC 边上的一点，且△AMN
的面积等于△ABC 面积的一半，求 N 点的坐标.
解：⑵由⑴知 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x=2sin2(x+ )+1.
12
又∵函数 y=2sin2x 的图象按向量 c =(m，n)平移后得到
函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象，即函数 y=f(x)的图象.
∵|m|< ，∴m= ，n=1.
2
12
课堂练习:
1.点 (3,4) 关于点 B(6,5) 的对称点是（ C ）
(A) (3,5) (B) (0, 9 ) (C) (9,6) (D) (3, 1 )
2
2
2.已知两点 P(4, 9) ，Q(2,3) ，则直线 PQ 与 y 轴的交点分 PQ
所成的比为（ C ）
(A) 1
(B) 1
(C)2
3
2
(D)3
3.把一个函数图像按向量 a ( ,2) 平移后，得到的图象的表
2
66
63
4
例 2 设函数 f (x) a b ,其中向量 a (2 cos x,1) ,
b (cos x, 3 sin 2x), x R .
⑴若 f(x)=1-
3
且
x∈
3
,
3
，求
x；
⑵若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c (m, n) (|m|< )平移后得
2 到函数 y=f(x)的图象，求实数 m、n 的值.
O 为平面内任意一点， P1P PP2
则 OP OP1 OP2 ( 1) .
3.三角形重心公式及推导
三角形重心公式： ( x1 x2 x3 , y1 y2 y3 )
3
3
二、平移及平移公式 1.图形平移：设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上 所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量 a 平 移)，得到图形 F`，我们把这一过程叫做图形的平移。
y cos(x )的图象
3
( A)
A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位
6
3
C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位
3
6
3.(2007湖北)
将函数y
2
cos
x 3
6
的图象按向量
a
4
,
2
平移,则平移后所得图象的解析式为
( A)
A.y
2
cos
x 3
4
2
B.y
2
cos
x 3
P1 、P2 的任意一点,则存在一个实数 使 P1P PP2 , 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比.(如图)
①P 在线段 P1P2 上, P 为内分点时, 0 ; ②P 在线段 P1P2 或 P2P1 的延长线上, P 为外分点时, 0. ③ P1P , 内分取 “+”, 外分取 “一”.
3
达式为 y sin(x ) 2 ，则原函数的解析式为 y cos__x_． 6
课堂练习
1.（2007年辽宁）若函数 y f (x) 的图象按向量
a 平移后，得到函数 y f (x 1) 2 的图象，
则向量 a
（D）
A.(1,2) B.(1,2) C.(1,2) D.(1,2)
2.(2007山东)要得到函数y sin x的图象,只需将函数
由定比分点公式得
xN
yN
0 2 6 4, 1 2
0 2 (4) 1 2
8 3
,∴N(4,-
8 3
).
例 2 设函数 f (x) a b ,其中向量 a (2 cos x,1) ,
b (cos x, 3 sin 2x), x R .
⑴若 f(x)=1-
3
且
x∈
3
,
3
，求
x；
⑵若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c (m, n) (|m|< )平移后得
PP2
2. P1P2 定比分点坐标公式:
设 P1(x1, y1) 、 P2 (x2 , y2 ) 、 P (x , y ) ， P1P PP2
则：
x
x1 x2 1
y
y1 y2
1
特殊地，当 1
1 ,
时 得中点坐标公式： x
y
x1 x2 2
y1 y2 2
另外，注意一下定比分点的向量公式：
2.平移公式：点 P x, y 按向量 a h,k 平移到 P x', y'
则
x y
' '
x y
h k
（新=原+移）其中
a
h,
k
叫做平移向量.
二、平移及平移公式
3. ⑴设曲线 C：y=f(x)按 a =（h，k）平移， 则平移后曲线 C 对应的解析式为 y k f (x h) , 当 h，k 中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右 及上下平移.
x2
x
按向量 a (2,1) 平移得到.
f (x) 在区间 (, 2)和(2, ) 上均为减函数。
5.已知：A(2, 1), B(5,3)，l : kx y 1 0
若直线l与线段AB相交，求k的取值范围.
2
到函数 y=f(x)的图象，求实数 m、n 的值.
解：⑴依题设，f(x)=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+ ). 6
由 1+2sin(2x+ )=1- 3 ,得 sin(2x+ )=- 3 .∵ ≤x≤ ，
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∴ ≤2x+ ≤ 5 ，∴2x+ = ，即 x= .
解:∵
S △ AMN
=
1 2
AM
AN
sin BAC
=
S△ABC 1 AB AC sin BAC
2
AM AN
, AB AC
∵M 分 AB 的比为 3,∴ | AM | = 3 ， | AB | 4
则由题设条件得 1 = 3 | AN | ,∴ | AN | = 2 ,∴ | AN | =2. 2 4 | AC | | AC | 3 | NC |
4
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C.y
2
cos
x 3
12
2
D.
y
2
cos
x 3
12
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4.设函数 f (x) x 1 ，试求函数f(x)的单调区间.
x2
解析:
令y
x 1， x2
y
(x 2) 1 x2
1
x
1
Leabharlann Baidu
2
y
1
1 x2
令
x/ y/
x 2 解得y/ y 1
1 x/
由平移公式知，函数 y x 1 的图象可由函数 y 1
注:函数图象平移口诀:左加右减,上加下减. 注意这 里是指函．数．解．析．式．的．变．化．,另外注意顺序性.
例 1.已知△ABC 顶点 A（0，0），B（4，8），C (6, 4) ，点
M 内分 AB 所成的比为 3，N 是 AC 边上的一点，且△AMN
的面积等于△ABC 面积的一半，求 N 点的坐标.
解：⑵由⑴知 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x=2sin2(x+ )+1.
12
又∵函数 y=2sin2x 的图象按向量 c =(m，n)平移后得到
函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象，即函数 y=f(x)的图象.
∵|m|< ，∴m= ，n=1.
2
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课堂练习:
1.点 (3,4) 关于点 B(6,5) 的对称点是（ C ）
(A) (3,5) (B) (0, 9 ) (C) (9,6) (D) (3, 1 )
2
2
2.已知两点 P(4, 9) ，Q(2,3) ，则直线 PQ 与 y 轴的交点分 PQ
所成的比为（ C ）
(A) 1
(B) 1
(C)2
3
2
(D)3
3.把一个函数图像按向量 a ( ,2) 平移后，得到的图象的表
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例 2 设函数 f (x) a b ,其中向量 a (2 cos x,1) ,
b (cos x, 3 sin 2x), x R .
⑴若 f(x)=1-
3
且
x∈
3
,
3
，求
x；
⑵若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c (m, n) (|m|< )平移后得
2 到函数 y=f(x)的图象，求实数 m、n 的值.
O 为平面内任意一点， P1P PP2
则 OP OP1 OP2 ( 1) .
3.三角形重心公式及推导
三角形重心公式： ( x1 x2 x3 , y1 y2 y3 )
3
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二、平移及平移公式 1.图形平移：设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上 所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量 a 平 移)，得到图形 F`，我们把这一过程叫做图形的平移。
y cos(x )的图象
3
( A)
A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位
6
3
C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位
3
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3.(2007湖北)
将函数y
2
cos
x 3
6
的图象按向量
a
4
,
2
平移,则平移后所得图象的解析式为
( A)
A.y
2
cos
x 3
4
2
B.y
2
cos
x 3