保险精算生存年金课件讲解
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ax(m)
ax
m 1 2m
对(x)的每年1单位元,每次1/m的期末付的终身生存年金精算现值
ax(m)
ax
m 1 2m
对(x)的n年延期每年1单位元,一年m次收付的期末付生存年金精算现值
a(m)
n| x
n|ax
m 1 2m
n Ex
对(x)的n年延期每年1单位元一年m次收付的期末付生存年金精算现值
其精算现值以ax表示: ax k Ex k 1
10
定期生存年金
一般地,对(x)的每年1单位元n年定期期首付生存年金, 精算现值以 ax:n|表示,
ax:n|
n 1 k 0
k Ex
Nx
Nxn Dx
类似地,对(x)的每年1单位元n年定期期末付生存年金精算
现值为:
期末付的年金现值
n
(Da) x:nFra bibliotek(n - k) k k px
k 1
28
等比例变额生存年金
实践中,某些给付确定型养老金计划和社会养老保险的收付额等
比例递增,这种等比例递增的年金精算现值有一个简化计算公式。
如果对(x)的n年定期期首付生存年金,给付额在年龄x,x+1,…,
x+n-1上分别为b,b(1+g),b(1+g)2,…,b(1+g)n-1,其精算现值为
)
22
变额生存年金
变额年金:年金收付的数额随给付时期的不同而变动。
变额年金的精算现值是一系列收付款在利率和生者利下
现值之和。如果对(x)的n年定期生存年金,给付额在年龄x,
x+1,…,x+n-1上分别为
bx
,
bx
1
bx
,则精算现值
n 1
(Actuarial Present Value,简记为 APV)为,
a(m)
n| x
n|ax
m 1 2m
n Ex
21
近似公式
对(x)的n年定期一年m次期末付年金,精算现值为:
a
(m) x:n|
a
x:n|
m 1 2m
(1
n
E
x
)
对(x)的n年定期一年m次期末付年金,精算现值为:
a
(m) x:n|
a
x:n|
m 1 2m
(1
n
Ex
等差递增生存年金
期末付终身标准递增年金精算现值,
(Ia)x k k k px k 1
期首付n年定期标准等差递增年金精算现值
n -1
(Ia) x:n
(k 1) k k px
k 0
期末付n年定期标准等差递增年金精算现值
n
(Ia) x:n
k 0
k
ax
k 0
N xk1 Dx
S x1 Dx
27
等差递减生存年金
当变额年金收付额 by 系列为n,n-1, …1等差递减时,这 时期首付的年金现值以 (Da) 表示,如下图所示:
x:n
n -1
(Da) x:n
(n - k) k k px
k 0
解:
1 000+1 000 p30 1.091 1 000 2 p30 1.092 =1 000 k p30 1.09k k 0 代入相应的存活概率和利率,就可以计算出这一年金的精算现值。 8
期首付终身生存年金
一般地,对(x)的每年1单位元期首终身生存年金,其精算现
x n 1
( APV )x
by
y x yx
px
yx
当 n x 时,上面的年金称为终身变额年金。
23
变额生存年金
一年给付m次,期首付变额年金精算现值:
x n 1
( APV )x
by
a(m) y:1
yx
yx
px
yx
一年给付m次,期末付变额年金精算现值:
6
年付一次生存年金的精算现值
定义:生存年金是以生存为条件发生给付的年金。如果 被保险人在规定的时期内存活,则发生年金的收付,否 则,停止收付。
一般类型:终身年金、定期年金、延期年金
7
终身生存年金
【例6.3】 张华今年30岁,从今年起,只要他存活,可以 每年年初获得1000元的给付。计算这一年金的精算现值。
x+n 起到x+n+m-1的生存年金。其支付情况下图所示:
其精算现值以 n|m ax 或n|ax:m 表示,根据定义,
n m 1
n|m ax
k Ex
k n
14
延期定期生存年金
对(x)的n年延期m年定期每年1单位元期末付生存年金,是 从x+n+1 起到x+n+m的生存年金。其精算现值以 n|m ax
40
p20
l60 l20
877 983
671 992
0.89195
所以,这笔给付的现值是:1 000×0.89195×1.06-40=86.72(元)。
4
纯生存保险
一般地:假设某人 x岁时开始投保,经过n年后如果仍然存活将得
到k单位元的保险金,(x)存活n年的概率为n px ,得到给付金的
期望现值为:
ax:n|
n k 1
k Ex
N x 1
Nxn1 Dx
11
延期生存年金
n年延期生存年金: 从计算时点起延迟n年开始收付的生存年金
对(x)的n年延期每年1单位元延期期首付年金的精算现值以
n|ax 表示。根据定义,
n|ax
k n
k
Ex
Nx Dx
显然, ax ax:n|n|ax
给付的期望值是:
1000 40 p20 0 (1 40 p20 ) 1000 40 p20
这笔给付在李明20岁时的现值通过利率折现得到:
1000 40 p20 1.0640
根据附表中国人寿保险业经验生命表(1990~1993年)(男女混合
表)的资料得,l20 =983 992,l40=877 671,可以计算得,
n m ax n1 max
16
连续生存年金给付现值
终身连续生存年金 定期连续生存年金
17
连续生存年金给付现值
延期连续生存年金 延期定期连续生存年金
18
生存年金与寿险的关系
19
年付m次生存年金
背景:实践中年金常常是每半年、一季度或一个月支付一次, 由于生命表不直接提供非整数年龄的存活概率和死亡概率, 必须在一定的假设下近似计算。
对(x)的每年给付1元,一年给付m次的期首付终身生存年
金 (k=,0,其1,2精,…算…现)上值收以付ax(1m/m)表,示直,到这被一保年险金人在死每亡个为x止。mk
ax(m)
1 m
k 0
k Ex
m
1 m
k 0
k
m k px
m
20
近似公式
对(x)的每年1单位元,每次1/m的期首付的终身生存年金精算现值
值 之以和,a如x 表下示图,所它示是:一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险
ax 1 1 Ex 2 Ex …… k Ex= k k px
k 0
k 0
其中, 0Ex=1,求和上限实际是ω-x-1,为方便通常写成∞。
9
期末付终身生存年金
对(x)每年1单位元期末付终身年金,如下图所示:
2
生存年金精算现值
纯生存保险:在约定的保险期满时,如果被保险人
存活将得到规定的保险金额的保险。 A 1
x:n|
【例6.1】李明今年20岁,如果他能活到60岁,将能 从保险公司得到1 000元的一次性给付。设利率 i=6%,试写出这笔给付在李明20岁时的现值。
3
纯生存保险
解:李明从20岁活到60岁的概率是 40 p20 ,他在60岁获得这笔
,
x n1
( APV )x
b(1
g)yx
y x yx
px
yx
设 (1 g) ' 1 ,即 j i g 上式成为,
1 j
1 g
x n 1
( APV )x b
( ' ) y x y x px
ba x:n
j
yx
(这是一个以利率j计算的给付额为b的确定年金的精算现值)
29
生存年金递推公式
可见,对(x)的终身生存年金的趸缴净保费,等于永续年 金与一系列逐年因死亡不能得到的将来年金部分之差。
30
第六章 生存年金
1
生存年金产品
生存年金是以年金方式在被保险人生存期内的一系列给付, 保险费通常采取在投保时一次性缴付的趸缴方式或者在一 定时期内的均衡缴付的方式。
生存年金形式:
即期年金(immediate annuities) 延期年金(deferred annuities) 定期确定的生存年金 指数化年金 联合生存年金
下,形成的资金正好满足n年末存活的人每人1元的给付。 5
纯生存保险
与在复利下的现值系数vt和累积系数(1+i)t的作用类似,
nEx是在利率和生者利下n年的折现系数, 1 为在利率
和生者利下n年的累积系数。
n Ex
1 n Ex
1
n
n px
(1 i)n
lx lxn
它是利率累积因子(1+i)t与生存累积因子 1 lx 之积。 n px lxn
kn px n 0n qx n
以 n Ex
表示1单位元n年纯粹生存保险现值,即
A x:
1 n
n Ex 1 vn n px 0 vn n qx vn n px
变换上式得,
lx n Ex (1 i)n lxn
表明现在x岁的人有lx个,每人存入 n Ex 元,到年末在利率i的作用
x n 1
( APV )x
by
a(m) y:1
yx
yx
px
yx
24
等差递增生存年金
如果年金收付额 by 系列为1,2,3 …等差递增,这 一年金称为标准等差递增年金,对终身期首付标准 递增年金,其精算现值用 (Ia)x 表示,如下图所示:
(Ia)x (k 1) k k px k 0 25
n|ax n Ex axn
12
延期生存年金
n年延期的期末付终身生存年金现值为:
n|ax
k Ex
k n1
同样地,
ax ax:n|n|ax
n|ax n Ex axn
13
延期定期生存年金
延期定期生存年金:延期年金和定期年金的一种组合形式。
对(x)的n年延期m年定期每年1单位元期首付生存年金,是从
或 n|ax:m表示,根据定义:
nm
a n|m x
k Ex
k n1
15
延期定期生存年金
期首付年金和期末付年金精算现值的关系式。
ax ax 1
a x:n
1
a x:n
n
Ex
a 1 a
x:n
x:n 1
n ax n ax nEx
n ax n1 ax
k k k px
k 1
26
等差递增生存年金
为了得出数字结果,引入转换函数,设
有,
Sx Nxt t0
(Ia)x tvt t px t 1
vt t px vt t px vt t px
t 1
t 1
t 1
ax 1 ax 2 ax