有效数字修约与运算法则

•有效数字修约与运算法则

• 1.有效数字的基本概念：

•（1）有效数字是指在检验工作中所能得到有实际意义的数值,其最后一位数字欠准是允许的,这种由可靠数字和最后一位不确定数字组成的数值,即为有效数字。

•（2）有效数字的定位(数位),是指确定欠准数字的位置,这个位置确定后,其后面的数字均为无效数字。

•例如，一支25ml的滴定管，其最小刻度为0.1ml,如果滴定管的体积介符于20.9ml 到21.0ml之间,则需估计一位数字,读出20.97ml,这个7就是个欠准的数字,这个位置确定后,它有效位数就是4个,即使其后面还有数字也只是无效数字。•（3）在没有小数位且以若干个零结尾的数值中，有效位数系指从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数。

•例如：35000，若有两个无效零，则为三位有效位数，应写作350×102或3.50×104;若有三个无效零，则为两位有效位数，应写作35×103或3.5×104。•（4）在其他10进位数中,有效数字系指从非零数字最左一位向右数而得到的位数,例如：3.2、0.32、0.032和0.0032均为两位有效位数；0.320为三位有效位数;10.00为四位有效位数;12.490为五位有效位数。

•（5）非连续型数值：（如个数、分数、倍数）是没有欠准数字的，其有效位数

2可视为无限多位。例如，H2SO4中的2和4是个数。常数л和系数等。数值的有效位数可视为无限多位。每1ml××滴定液（0.1mol/L）中的0.1为名义浓度,规格项下的0.3g或“1ml:25mg”中的“0.3”、“1”、“25”均为标示量,其有效位数,也为无限多位。即在计算中，其有效位数应根据其他数值的最少有效位数而定。

•（6）pH值等对数值,其有效位数是由其对数小数点后的位数决定的,其整数部分只表明其真数的乘方次数。（或者说真数位数决定对数小数点后位数）•如：pH=11.26 ([H+]=5.5×10-12mol/L),其有效数字只有两位。

•（7）有效数字的首位数字为8或9时，其有效位数可以多计一位，例如:85%与115%，都可以看成是三位有效数字；99.0%与101.0%都可以看成是四位有效数字。

• 2.数字的修约及其取舍规则

•（1）数字修约是指拟修约数值中超出需要保留位数时的舍弃，根据舍弃数来保留最后一位数或最后几位数。

•（2）修约间隔是确定修约保留位数的一种方式,修约间隔的数值一经确定,修约值即应为该数值的整倍数。例如:指定修约间隔为0.1,修约值即应在0.1的整数倍中选取,也就是说,将数值修约到小数点后一位。

•（3）确定修约位数的表达方式:

•①指定数位：

•★指定修约间隔为10-n(n为正整数)，或指明将数值修约到小数点后n位。•★指定修约间隔为1,或指明将数值约到个数位。

•★指定将数值修约成n位有效位数(n为正整数)。

•★指定修约间隔为10n(n为正整数)，或指明将数值修约到10n数位，或指明修约到“十”、“百”、“千”数位。

•★指定将数值修约成n位有效位数（n为正整数）。

•★在相对标准偏差(RSD)的求算中,其有效数位应为其1/3值的首位(非零数字),故通常为百分位或千分位。

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•②进舍原则

•★拟舍去数字的最左一位数字少于5时,则舍去，即保留的各位数字不变。例如,例1，将12.1496,修约到一位小数(十分位),得12.1。

•例2，将12.1496,修约到两位有效位数,得12。

•★拟舍去数字的最左一位数字大于5时,或者是5，而后跟有并非全部为0的数字，则进一，即在保留的末位数字加1。

•⊙例1，将1268,修约到百数位,得13×102。

•⊙例2，将1268,修约到十数位(即三位有效数字) , 得127×10。

•⊙例3, 将10.502修约到个数位,得11。

•★拟舍去数字的最左一位数字为5,而右面无数字或皆为0时，若所保留的末位数为奇数(1,3,5,7,9)则进一。为偶数(2,4,6,8,0)则舍弃。(留双的原则)

•⊙例1,将1.050按间隔为0.1(10-1)修约,修约值为:1.0。

•⊙例2,将0.350按间隔为0.1(10-1)修约,修约值为:0.4

•⊙例3,将2500按间隔为1000(103)修约,修约值为:2×103。

•⊙例4,将3500按间隔为1000(103)修约,修约值为:4×103。

•⊙例5,将0.0325修约成两位有效位数,修约值为:0.032或3.2×10-2。

•⊙例6,将32500修约成两位有效位数,其修约值为:32×103。

•★在相对偏差(RSD)中,采用“只进不舍”的原则,

•如，0.163%,如为两个有效位时,宜修约为0.17%;

•0.52%,如为一个有效位时,宜修约为0.6%。

•★不许连续修约。

•拟修约的数字应在确定修约位数后一次修约获得结果,而不得多次按前面规则连续修约。

•例,15.4546,修约间隔1,

•正确的做法为: 15.4546→15。

•不正确的做法为：15.4546→15.455→15.46→15.5→16。

•为了便于记忆，上述规则可归纳成以下口缺：四舍六入五考虑，五后非零则进一，五后全零看五前，五前偶舍奇进一，不论数字多少位，都要一次修约成。•（在英、美日药典中修约均是按四舍五入进舍的。）

•③运算法则

•★在进行数学运算时,对加减法和乘除法中有效数字的处理是不同的;

•★许多数值相加减时,所得和或差的绝对误差必较任何一个数值的绝对误差大,因此相加减时应以诸数值中绝对误差最大,(即欠准数字的数位最大)的数值为

准,以确定其他数在运算中保留的数位和决定计算结果的有效数位。

•★许多数值相乘除时,所得的积或商的相对误差必较任何一个数值的相对误差大,因此相乘除时应以诸数值中相对误差最大,(即有效位数最少)的数值为准,确定

其它数值在运算中保留的有效位数和决定计算结果的有效数位。

•★在运算过程中，为减少舍入误差，其他数值的修约可以暂时多保留一位，等运算到结果时，再根据有效位数弃去多余的数字。

•例1: 13.65+0.00823+1.633=? （小数点后两位最少）

•本例是数值相加减，在三个数值中，13.65的绝对误差最大，其最末一位数为百分位(即小数后二位)，因此将其它各数暂先保留至千分位。即把0.00823修

约为0.008，1.633不变。

•进行运算：13.65+0.00823+1.633＝13.65+0.008+1.633=15.291然后修约至百分位,即为:15.29。

•例2: 14.131×0.07654÷0.78=? （有效数字两位最少）

•本例是数值相乘除，在三个数值中，0.78的有效位数最少，仅为二位有效位数，