近世代数

近世代数又称为抽象代数，最突出的特点是抽象，也是学习中的主要难点。相对分析而言，近世代数对论证和推导的技巧性要求不高。因此，在整个学习过程中，主要是要适应抽象思考和表述，为此都要特别注意抽象的代数结构的具体例子，以及随时归纳总结学过具体数学对象(例如高等代数中学过的数域、线性空间、对偶空间等)的代数结构。

下列几点可以在学习和复习时留意。

1 透彻理解运算的概念和性质。运算的性质是代数的核心，所谓代数结构就是定义了运算的某种集合。运算的定义很简单但有些抽象，就是集合与自身的直积到该集合的映射。运算性质中，最重要的应该是结合律，如果结合律不成立，多次运算的结果取决于运算的顺序，这种数学结构很少有实际意义。因此，结合律往往是近世代数中所研究运算必备的性质。交换律是种特殊的性质，并非普遍成立，知道矩阵乘法和变换复合的对此应该不陌生；但在学矩阵乘法之前，所有数字的运算都满足交换律，因此有先入为主的误解。分配律描述2种运算直接关系。运算的属性还包括特殊元素的存在性，特殊元素指与参与运算后但不改变结果的元素(零元或单位元)，以及与特定元素运算后结果为前述元素的元素(负元或逆元)；注意到交换律不成立时，前述元素有左、右之分。

2 把握住同构和同态。近世代数只关注代数结构，因此代数结构相同的数学对象，即与运算关联的性质相同，在近世代数中就不必加以区分。代数结构相同的确切描述就是同构，2个集合间保持运算的双射。更弱些，只保持运算的映射称为同态。所谓保持运算，是指先运算再求映射下的像与先求映射的像再运算结果相同。有些情形，同态满射本身也是个有用的概念。因为开始时掌握的代数结构比较少，难以理解同构的重要性。但学了群论就会知道，任何有限群与某个置换群同构，原则上只需要研究具体的置换群就可以得到所有抽象的有限群的性质。

3 对具体数学结构如群、环和域，注重它们的子结构。子结构的核心要求是运算的封闭性和特殊元的存在性。与子结构相关的还有等价分类和扩张等。这样，就能理解群论中的陪集和商群、环论中的理想和商环、域论中的扩域等。

当年我对数学的肤浅理解，认为深刻就是抽象。因此比较喜欢形式化的东西。对抽象代数非常感兴趣，看的书多，做的题目也多。

教材是用张禾瑞的《近世代数基础》。篇幅比较小，内容也不多，习题少而且不难，认真的

学生很容易都做1遍。上课的是位学问很好的老先生，学校仅有的少数副教授之1。传说是曾肯成的学生。不过，我这种非常感兴趣的学生都难以欣赏老先生的学问，对其他人可能更是白讲了。

我自己主要参考的是吴品三的《近似代数》。作者与张禾瑞先生都是北京师范大学的。我感觉该教材青出于蓝。最大的优点是例题习题组织的好，特别是习题，量比较大，而且有难度梯度。我记得习题基本都做了。如果非说缺点，就是启发性方面差些，引入许多结构，让人只知其然不知其所以然。

另1本我挺喜欢的书是武汉大学熊全淹先生的《近似代数》。与前面2本纯粹的教材有些不同，有些像专著，因为该书每章有参考文献。虽然这些文献我1篇也没有看，但感觉还是很好。该书习题不多，但有些有答案或提示，比前2本教材更教材。该书内容比前2本也多些，但比较深的内容我都没有仔细看。

国外最接近教材的是Jacobson的3卷本的第1册，用的是文革前的汉译本。后来也有修订版的影印本，但没有特别仔细看。老译本在教学法方面与张禾瑞的书接近，内容当然要多些。说实话，我并不是很欣赏，只是觉得例子所涉及的数学背景知识似乎稍多些。新版本Basic Algebra 1在习题方面有很大改进，到底作者是Yale的教授。我觉得是很好的入门书，但可惜当时我已经有比做习题更有意思的事情了。

还翻过Van der Waerden的名著《代数学》。我买的版本还没有列入“数学名著译丛”。我对书的优劣似乎有本能的感觉，看到这本书，就感觉是本伟大的书。但读过前面些内容，感觉自己的数学成熟性还差些火候。就暂时没有下功夫攻读。在这种研究生层次上的代数教材还翻过2本。1本是俄国群论专家库洛什的《一般代数学讲义》，另1本是吉林大学谢邦杰先生的《抽象代数学》。前者面比较广，似乎不是很难。谢先生的书对我而言过于艰深，第1章有些集合论的内容如选择公理就把我难住了。

我最喜欢的代数书是Birkhoff和Mac Lane的《近世代数概论》，人民教育出版社有分成上下册的汉译本。该书不是严格意义上的近世代数，只讨论群、环、域等抽象结构。是用抽象观点写的代数学，还包括数、多项式、线性空间、矩阵、变换、行列式、标准型等，基本上相当于国内的高等代数和近世代数。习题很多，有1300多道。多数不是很难。我曾想把题目都解1遍，本子都准备好了，但还是没有做。很长时间，我都把该书当成某种枕中秘籍，有空就看看。似乎还看过盗版的影印英文版。近年也出了合法的影印本，我也买了本。这样本给过带来快乐的书，更不用说2位大师级的作者，应该有这样的礼遇。只是，该书明明只是

第4版，国内版本悍然宣称是第5版。

附：数学专业参考书整理推荐5：代数2

近世代数：不光是数学系最重要的几门课，而且在计算机方面有很多应用，通常的离散数学第二部分就是近世代数内容，也叫抽象代数。

1《近世代数引论》冯克勤

2《近世代数》熊全淹

3《代数学》莫宗坚

4《代数学引论》聂灵沼

5《近世代数》盛德成