法向量求二面角 空间向量课件

2.( 广州二模）如图，PA ? 平面ABC, ? BAC ? 900 D,E,F分别是AB,BC,CP 的中点，AB=AC =1,PA=2.(1) 求直线PA 和平面DEF 所成的 角的大小； (2) 求点P 到平面DEF 的距离。
P
F
A
C
D
E
13
B
小结： 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面 角方面的应用，注意所求角与法向量的联系， 掌握基本的思想方法。 2、立体几何问题求解的思想方法的发展趋势
M
C1
N B1
Cy
F B
72
解：（ 2）建系如图，
D1 z
M
C1
由（ 1）得：面 ENF
的法向量为
A1
E
n= （1，1，0），又
N B1
MF= （1，1，-2）
EF= （-1，1，Байду номын сангаас2）
D
设面EMF 的法向量
Cy
为m=（x,y,z) ，则
F
{ MF.m=0 EFm=0
? {-xx++yy--22zz==00
(0,-1/2,? 3/2) z D
B
E
(0,-1,0)
x
O 30o
y
C (0,1,0)
A (1,1,0)
9
解：由题可知 B（0，-1，0），C（0，1，0）， 又A（1，1，0），得AC=1，AB=? 5，又BC=2， ? ? ACB=90o，又? BCD=30o，? BDC=90o，故 BD=1，CD=? 3，由D点向BC作垂线DE，则 DE=? 3/2，OE=1/2，得D（0，-1/2，? 3/2）， E （0，-1/2 ， 0）， ? ED=(0,0, ? 3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2, ? 3/2) ,? 面ABC的法向量为 ED，可求得面 ABD的法向量 为n=(2? 3,-? 3,1)
用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的 发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几 何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体 几何问题是学好立体几何的基础。
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平面法向量 在立体几何中的应用
——利用法向量求二面角
1
(一)平面的法向量的定义：
如果n?? ,那么向
量n叫做平面? 的
法向量
n
?
2
（二）平面法向量的应用
1、利用平面法向量求直线 A 与平面所成的角：
?
直线与平面所成的
角等于平面的法向 量所在的直线与已 知直线的夹角的余 角。
n ?
B
C
如图：直线AB与平面所成的角?
２）求二面角ＥＦ－Ｂ－ＣＤ的大小。
zＡ
Ｆ
Ｂ
x
Ｅ
Ｄ
y
Ｃ 11
广州一模
1.如图,正 ? ABC按它的一个法向n量平移到? A1B1C1 D, E分别是BC ,CC1的中点，AB ? AA1 ? 2
(1)证明：BE ? AB1;
(2)求二面角B ? AB1 ? D的大小。
C1 A1
B1 E
C A
D
12
B
=
? 2
?
( ? =<BA , n > )
例3
2、利用平面法向量求二面角的大小
?m n ?
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小
如图：二面角的大小等于? -<m ,n>
4
2、利用平面法向量求二面角的大小
指入、指出平面的法 向量的夹角的大小就 是二面角的大小。
A
B
x
令z=1,则m=(0,2,1)
? cos<m,n>= ? 10/5 由题意可知，所
?
{
x=0 y=2z
求二面角为锐角，故所求二面角的 大小为arccos( ? 10/5)
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（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2， 原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1，0） 点D在平面yoz上，且? BDC=90o，? DCB=30o, 求二面角D-BA-C的大小
F（1，2，0）
A1
E（2，1，2）
N（1，2，2） 则
MF=（1,1，-2）
NF=（0，0，-2）
EF=（-1，1，-2），
设平面ENF的法向量 A
为n=(x,y,z),
x
D1 z E
D
{ 则
EFn=0 NFn=0
?
{
-x+y-2z=0 -2z=0
? {xz==0y 令x=y=1,则n=(1,1,0)
?m n ?
如图：二面角的大小等于<m ,n>
5
例1：如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E， F，M，N分别是 A1B1， BC，C1D1，B1C1的 中点，求二面角 M-EF-N的大小
D1
M
C1
A1
E
N B1
D A
C
F B
(26 )
解：（ 1）建系如图
所示，设正方体棱长
为2,则M（0，1，2）
? cos<ED,n>=1/4 ? <ED,n>=arccos(1/4)
? 二面角D-BA-C的大小为 arccos(1/4)
例 10
例２．在四面体 ABCD 中， AB⊥面 BCD ，
BC=CD ，∠BCD＝900，∠ADB= 300 ．E、F
分别是AＣ、AD的中点。
１）求证 平面BEF ⊥平面ABC；