第6章 套利定价理论APT1

二、APT与CAPM的不同
APT模型更具体地表现为寻找套利机会。 在CAPM中，M居于不可或缺的地位。 在实际应用中，只要指数基金等组合即可满足 APT，所以APT的适用性更强 两种理论市场均衡的得出不同。
三、APT的局限性
APT在实际应用上仍存在一些没解决的问题。
影响证券收益率的系统因素的数量和性质，实践中因
通货膨胀
行业生产
5
3
4
6
石油价格
2
0
练习四
考虑有两个因素的多因素APT模型。股票 A的期望收益率为12.2%，假设股票A对 因素1的β值为1.2，对因素2的β值为0.6。 因素1的风险溢价为4%，无风险收益率为 5%。如果不存在套利机会，求因素2的风 险溢价？
练习五
1.根据套利定价理论： A. 高贝塔值的股票都属于高估定价。 B. 低贝塔值的股票都属于高估定价。 C. 正阿尔法值的股票会很快消失。 D. 理性的投资者将会从事与其风险容忍度相一致的套利活动。 2.套利定价理论不同于单因素资本资产定价模型，这是因为套利定价理论： A. 更注重市场风险。 B. 减少了分散化的重要性。 C. 承认多种非系统风险因素。 D. 承认多种系统风险因素。
使得：
r 0 1 1b1 2b 2 ,..., mb m
示意图：向量空间
C
a
d
0
b
在向量空间中，如果向量a、b正交于c，如果d也正 交与c，则d必须落在由a和b张成的二维空间上，d 可以由a、b线性表示！
五、期望收益与实际收益
ri ri bi f ei
右式描述的是证券i的期望收益率。
无风险 正收益：套利组合的期望收益大于零
当市场达到均衡时，套利组合的预期收益为0
用数学表示就是：
四、套利定价模型（APT Model）
（一）APT结构形式为一个均衡状态下的因素模 型 罗斯是基于以下两点来推导APT模型的
（1）在一个有效市场中，当市场处于均衡状态时，不存 在无风险套利机会。 （2）对一个高度多元化的资产组合来说，只有几个共同 因素需要补偿。证券i的收益率与这些共同因素的关系为：
证券 A
价格 70
情形1的回报 50
情形2的回报 100
B C
60 80
30 38
120 112
三只证券A、B、C能以表中的价格在当前购买，且从现在起1 年内每只证券只能产生情形1和情形2这两种回报之一。
构造一个包含A和B的投资组合，它将与证券C 在情形1或情形2具有相同的收益。以WA和WB 分别表示其投资比例。则两种情形下的回报如 下： 情形1： 50WA+30WB =38 情形2： 100WA+120WB =112 联立两等式可解出： WA=0.4 WB=0.6
投资组合（A+B）的单位成本
0.4×70+0.6×60 = 64；
证券C单位成本为80
投资者花64元就获得了与证券C相同的回报。
设计套利机会：按0.4和0.6的比例买入A 和B并卖空C。
套利结果如下图，其中组合的价值是100万元，卖空的C也 是100万元 情形1和情形2，都在没有风险的情况下获利了。 这样的机会将被市场迅速消除？A、B、C的市场价格会发生 什么变化？ 证券 A B C 总计 投资 40 60 -100 0 情形1 28.5715 30 -47.5 11.0715 情形2 57.1429 120 -140 37.1429
他的关于风险和套利的思想已成为许多投资公司的
基本理念。
一、APT的提出
1976年，罗斯发表论文“资本资产定价 的套利理论”，提出了一种新的定价模 型—APT。
APT用无套利法则定义均衡，且所需假设
比CAPM少
二、什么是套利？
APT 是 建 立 在 一 个 很 重 要 的 概 念 -- 套 利 (Arbitrage)之上的。
一、APT来自百度文库CAPM的联系
两者的研究对象相同——风险资产的定价，应用的核心 都是寻找价格被误定的证券。 APT与CAPM的一致性
当收益率通过单一因素（指数收益率）形成时，APT形成了一
种与CAPM模型相似的关系。
APT被认为是广义的CAPM模型，是CAPM模型的修正 和补充。CAPM可看作是APT在某些更严格假设下的特 例。
五、APT的基本假设


市场是有效的 投资者追求效用最大化（套利）
不必对投资者风险偏好作假设？

资产回报可用因素模型表示 市场处于均衡状态 资产数量众多 随机误差项用来衡量收益中的非系统风险部 分，它与所有因素及其他证券的误差项之间 彼此不相关。
例：存在三只证券时如何创造套利机会？
ri 0 bi11 bi 2 2 ... bik k
套利定价模型可表述为：一种证券的 预期收益率与它的影响因素线性相关， 截距等于无风险收益率
（二）套利定价模型推导
假设构造一个套利组合：以无风险利率借入1元钱，投资 在两种资产上，构造一个自融资组合。假设无风险利率 为 ，两个资产是资产i和j，在因素模型的假定下，套利 组合的收益为（忽略残差）：
r rf 1.0I 0.5R 0.75c
6% 1 6% 0.5 2% 0.75 4% 16%
E(r) = 15％。低于基于风险要求的预期收益率16%， 该股票定价过高。
APT的分析思路
首先，识别哪些因素对市场起广泛影响
然后估计出每个证券对每个因素的敏感度，接 下来证实是否存在套利机会并求解出一种可能 的套利机会
最后，构建套利组合，以获得高于正常的收益。
练习一
考虑单因素APT模型。资产组合A的β值为 1.2，期望收益率为14%。资产组合B的β值 为0.7，期望收益率为9%。无风险收益率为 5%。 （1）是否存在套利机会？ （2）如存在，如何套利？
练习二
考虑单因素APT模型。股票A和股票B的 期望收益率分别为12%和16%，无风险收 益率为5%。假设股票B的β值为1.1。如果 不存在套利机会，求股票A的β值？
三、无套利法则、无套利均衡
一价法则和等值等价法则统称为无套利 法则。 “一价法则” “等值等价法则”
两种具相同风险的资产不能以不同的期望
收益率出售，否则会出现套利机会
四、APT的基本原理
APT的基本原理：由无套利原则，在因 素模型下，具相同因素敏感性的资产 （或组合），应提供相同的期望收益率。 否则，“准套利”机会便产生 —— APT 逻辑核心。
若不存在套利机会，则该套利组合的收益为 0 bj
rp
bi b j
(ri rj ) rj 0 =0,
=
ri 0 1bi
严格证明
命题7.1：假设n种资产其收益率受m个因素决 定（m<n），即 m
ri ri bij f j
j 1
其中，i = 1, 2,…, n ；j = 1, 2,…, m，则:
第二节 单因素和 多因素APT模型
罗斯在提出APT时，首 先考察的是单因素模型。
2006年@贺莉萍
投资学第7章
一、单因素模型
APT假设证券回报可用预期到的回报和未预期到的 回报两部分来解释，构成了一个特殊的因素模型。
ri ri bi f ei
预期的回报
共同因素对其 期望值的偏离
二、多因素模型
第六章 套利定价 理论（APT）
第一节 套利的概念及无 套利法则
2006年@贺莉萍
投资学第7章
罗斯简介
罗斯生于1944年，1970年获哈佛大学经济学博 士学位。罗斯曾任美国金融学会主席，现任罗 尔－罗斯资产管理公司总裁。 罗斯研究过许多重大课题，在APT、期权定价 理论、利率的期限结构等方面作出过突出贡献。
rp w(ri bi f ) (1 w)(rj b j f ) 1 0 [ w( ri rj ) rj 0 ] [ w(bi b j ) b j ] f
当w(bi b j ) b j 0，即
w

bj bi b j
时,rp 无风险
练习三
考虑如下一种特定股票收益的多因素证券收益 模型：
要素 通货膨胀 行业生产 石油价格 因子载荷 1.2 0.5 0.3 风险溢价（％） 6 8 3
（a）短期国库券可提供6%的收益率，如市场认为 该股票是公平定价的，求出该股票的期望收益率。
（b）假定下面第一列给出的三种宏观因素的值是市 场预测值，而实际值在第二列给出。在这种情况下， 计算该股票修正后的期望收益率。 要素 预期变化率(%) 实际变化率（％）
素的选择常具有经验性和随意性。
每项因素都要计算相应的贝塔值，所以在对资产估值
的实际应用中，CAPM比APT使用得更广泛。
APT对证券收益率的解释力更强，但在理论的严 密性上却相对不足。
例子
若无风险利率为6％，使用APT确定该股票的均衡收 益率。该股票价格是低估还是高估了？解释原因。
根据APT，该股票的期望收益率为
套利：是一个经济学术语。指利用资产定价之间的不 一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为。
套利的一个重要特点是无风险性，因此存续时 间很短。
典型的套利行为
不需要额外投资，将来获得正收益。
好处：免费的午餐，白手起家。
如向某银行以2%的年利率贷款1万元一年，用这
1万元购买一年期利率为4%的国库劵，可套利200 元。
例：设某证券收益受通胀率、利息率和GDP 增长率等系统风险因素的影响：……
ri ri bi1 f1 bi 2 f 2 ei
三、 构建套利组合
据APT，投资者会尽力发现构造套利 组合的可能，以便在不增加风险的情 况下提高回报率。
套利组合是同时满足下列三个条件的证券组合：
零投资：不需要追加任何额外投资
i 1 n
（7.1）
无风险
（7.2）
即，1、bj（j=1,2,…,m)线性无关。
如市场有效，则会有套利均衡，则零投资、无风险 的组合必然无收益则：
wr w
i 1 i i
n
T
r 0
这等价于，只要
w 1, w b j , j 1,..., m
对于任意的W，如果有： w
r
根据线性代数知识，w 1, w b j , j 1,..., m 而后又产生了 应满足的一个正交条件 ， w 已经满足式（7.1）和（7.2），因此 为 由于 r 这m+1个向量的线性组合，即存在一组不全为零 r 的m+1个系数 0 , 1 ,..., m
ri 0 1bi
两式有很多相似之处，但意义完全不同。
左式描述的是i的实际收益率。在因素实际值出现之前，i的期望收益 由右式描述。因素的预期变化对收益率的影响已包含在 中。当因素 实际值公布后，其与期望值的偏离，会导致i的实际收益率偏离其期望 收益率。
六、APT的意义
自变量
ri 0 bij j
1
r1 rf b1

r2 rf b2
,....,
rn rf bn
由此可见，APT 方程的斜率1实际上是因子1的风险价格。
结论：当所有证券关于特定因素的风险价格 都相等时，则证券之间不存在套利机会。
ri
rh
h l
1
APT定价 线
bi
0
rl
bh bl
套利行为将对证券价格产生影响，其预期收益率也将作出调 整。 投资者为获利必尽可能购入h，使其价格上升，预期收益率 下降，最终到达APT定价线。在均衡时，所有证券都落在套 利定价线上。
j 1
m
若bij＝0，则资产为无风险资产，则
0 rf ri rf bij j
j 1
m
若bij≠0，则期望回报 ri 随着bij 的增加而增大， 所以 是因子 的风险价格。 j fi
在单因子条件下，有ri rf 1bi , i 1,..., n
对于所有风险资产则有
ri 0 bij j
j 1
m
0 , 1 ,..., j为常数
证明：假设在资产 i 上投资 wi，构造零投资且无 风险组合，即 wi 满足： 零投资
wi wT 1 0
n wi bi1 w T b1 0 i 1 n wi bi 2 w T b 2 0 i 1 n wi bim w T b m 0 i 1