界面内聚力模型及有限元法
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面损伤内聚力模型的法向应力与法向断裂能变化。
a) 法向应力
b) 法向断裂能
图7 界面损伤内聚力模型的法向应力与法向断裂能变化
A
23
界面内聚力模型
由以图7(a)可以观察到，随着损伤因子减小，模型的 应力峰值减小，其对应的位移值减小，在开裂扩展阶段， 开裂破坏的最终位移值减小。此外图7(b)所示法向断裂 能变化，损伤因子减小使得开裂过程的临界最大断裂能 值减小。
计算复合条件下的开裂过程时，各向的单向断裂能可
以作为考察界面是否完全开裂的条件，即若某一向单向
断裂能首先达到其临界的最大值，则该方向应力减小为
零，界面失效而完全开裂。
A
18
界面内聚力模型
开裂界面损伤的指数内聚力模型 对于两相材料结合界面以及粘接界面等，在其使用过
程中由于受外载荷、温度或湿度作用，以及周期载荷循 环作用等，结合界面将出现不可恢复的累积损伤，从而 导致界面承载能力下降。
内聚力实际上是物质原子或分子之间的相互作用
力。在内聚力区域内，应力是开裂位移的函数，即张力
-开裂位移（Traction-separation）关系，也称为内聚力准
则。
A
2
界面内聚力模型
内聚力区域代表了待扩展
的裂尖前沿的区域，其中内 聚力区域中裂尖的概念是一
内聚力区
种数值定义，而非实际材料 裂纹尖端 中的裂尖范畴。
max max分别为内聚力界面上法向与切向强度，则指数 内聚力模型中的参数之间的关系为:
n emaxn
A t
e 2
max
t
13
界面内聚力模型
复合开裂时应力耦合关系分析
实际材料或结构开裂过程中，在复合开裂条件下，若 有一向出现开裂失效，则整个裂纹面完全开裂，该处不 能再承载任何方向载荷。在内聚力模型中即为各向应力 的完全耦合关系。
断裂能的控制方程
247T0
0
1 2
n 0
2
1
4 3
n 0
1 2
n 0
2
1
2
t 0
2
1
4 3
t 0
1 2
n 0
2
为法向与切向刚度之间的一个比例系数，T 0 为纯法
向时的最大内聚力， 0 为最大张开量。
A
9
界面内聚力模型
由
T
可得 T n2 4 7 T 0 0 n 2 1 2 0 n 0 n 2 n 0 2 0 n 1
图6 当q≠1时，两向断裂能与总断裂能比较
A
17
界面内聚力模型
在复合开裂条件下，q 参数的值不仅影响着两向张力 位移的耦合关系，其对单向断裂能与总断裂能也会产生 作用。在 q 1 时，总断裂能在应力较小为零时达到最 大值，但在 q 1 时，某一向应力首先减小为零后，总断 裂能值依然会保持增大，从而不能作为考察界面开裂状 态的量。
为切向的应力值， m a x 、 m a x
分别为法向及切向的最大
n
m ax
t
0 t
f t
应力值，对应的裂纹界面
0 n
f n
张开位移值分别为
0 n
0 t
。
a)法向张力位移关系 b)切向张力位移关系
图线斜率为内聚力刚度。 图3 双线性张力位移关系
A
6
界面内聚力模型
在达到其最大值后应力开始减小至零时裂纹开裂完成，
A
20
界面内聚力模型
开裂界面损伤的指数内聚力模型 在指数模型的张力位移关系及断裂能控制方程的研究
基础上，在模型中加入损伤因子，其中01 。
当 为1时，界面没有损伤；而 逐渐减小至接近零时， 界面损伤且程度逐渐增加； 接近至零时，损伤积累使
得结合界面破坏失效。
修正后的两向张力位移关系为如下式：
T n -n ne x n n p n ne x t2 2 tp 1 r q 1 1 e x t2 2 tp r n n 2
采用内聚力模型计算界面损伤后的开裂过程，可以通 过加入损伤因子来对模型进行修正。
A
19
界面内聚力模型
对于界面损伤的指数内聚力模型进行损伤因子修正时， 要考虑界面出现损伤后，内聚力模型的最大应力值减小， 同时达到最大应力的界面开裂位移值也将减小。
界面损伤的指数内聚力模型通过在张力位移关系控制 方程中加入损伤因子实现。
内聚力强度就是应力位移曲线的峰值。内聚能代表了 张力-位移曲线和横坐标所围的面积，内聚能代表了材 料裂纹面张开过程中的能量耗散临界能量释放率。
内聚力强度和内聚能是内聚力模型的重要控制参数，
可通过拟合实验曲线或理论推导的方法来确立。
A
26
内聚力有限元法
内聚力单元
有限元软件ABAQUS 加入了基于内聚力模型为计算方 法的内聚力单元 (cohesive element)，其目的在于用来处 理粘接连接结构、复合材料界面问题以及其他的有关界 面强度的问题。
A
12
界面内聚力模型
界面上的各向应力为: T
将断裂能控制方程对于各向位移值进行偏导得到各向
应力与位移的关系式为:
T n -n ne x n n p n ne x t2 2 tp 1 r q 1 1 e x t2 2 tp r n n 2 T t -n n 2n t tt q r r 1 q n n e x n n p e x t2 2 tp
相比较于其他类型的内聚力模型张力位移关系，指数 内聚力模型为具有耦合关系的内聚力法则，参数q，r对 于耦合关系产生作用。
在指数内聚力模型计算时，界面开裂过程中，断裂能
值连续变化，其同样能够表征着界面开裂的状态。
A
14
界面内聚力模型
指数内聚力模型法向与切向的单向断裂能计算式分别 为
n n n e x p n n 1 r n n 1 r q 1 q r r q 1 n n
A
27
内聚力有限元法
ABAQUS中的内聚区采用一层厚度接近零的内聚力 单元表示，内聚力单元可以灵活地嵌入到传统单元之间， 单元的上下表面与相邻单元连接，外力引起的材料损伤 限制在内聚力单元中，其它单元不受影响，如图8所示。
（a）cohesive单元与其他单元公用节点 （b）独立的网格通过“tie”绑定
Tr 247T0 0 t 210 t n 02
与双线性及梯形张力位移关系不同，多项式张力位移
关系为连续性的方程，首先提出断裂能的控制方程，对
其进行偏导求得张力位移关系的控制方程。
A
10
界面内聚力模型
指数内聚力模型
指数内聚力模型被广泛的应用于计算复合材料界面开 裂、脆性材料中的动态裂纹扩展、韧性基体上薄膜涂层 之间的开裂裂纹萌生等过程。
t2nn q1qexpt2 t2
对于修正后的界面损伤指数内聚力模型，界面在受载 荷作用开裂时，随着损伤因子的减小，其应力位移曲线 中，应力最大值减小，且更早出现应力的最大值，而界 面最终破坏时的界面开裂位移值亦减小。
A
22
界面内聚力模型
图7给出了 =0.4，0.8，1三种损伤因子条件下，界
在应力达到最大值后，该处材料点损伤开始萌生，刚 度出现软化；
此后应力值随着位移的增加下降，该处承受载荷能力 减小，该处损伤逐渐累积；
当应力完全减小至零，该处裂纹完全扩展，界面在该
处开裂失效，失去承载能力。
A
25
界面内聚力模型
当张力-位移曲线的形状确定后，内聚力模型的关键 是确定两个重要的参数：内聚力强度和内聚能。
a)法向开裂速度大于切向开裂速度 b)切向开裂速度大于法相开裂速度
图5 当q=l时，两向断裂能与总断裂能比较
A
16
界面内聚力模型
值不为1的复合开裂条件下，两向的张力位移关 系不能完全耦合。计算 q 0.5 与 q 0.8 条件下的单 向断裂能与总断裂能，如图6所示。
a) q=0.5
b) q=0.8
n 、 t 分别为界面上的法向与切向位移值， n 为纯法
向开裂状态下界面完全开裂时的界面断裂能， n 、 t 为 法向与切向界面开裂特征位移，即应力最大值点对应的
位移值。+
参数
q ，r
分别为:
q
t n
r
* n
n
t 为纯切向开裂状态下界面完全开裂时的界面断裂能。
* n
为在法向应力为零时，切向完全开裂时的法向位移值。
修正后的界面损伤指数内聚力模型，通过加入损伤因 子，能表征界面由于累积的损伤，界面承载能力的下降。
通过对指数模型的张力位移关系以及断裂能控制方程
加入损伤因子进行修正，得到了完整的界面损伤指数内
聚力模型。
A
24
界面内聚力模型
不同形式的内聚力模型共同特征：
裂纹尖端内聚力区域内应力在外载荷的作用下，最初 阶段随着位移的增加而增加；
=f ( )
内聚力区域中定义的“虚 拟裂纹”描述了一对虚拟面 之间的动态应力场。
A
图1 裂纹尖端的内聚力区
3
界面内聚力模型
内聚力模型的重要特征是张力-位移曲线的形状和 内聚力参数。
目前，应用较为广泛的内聚力准则，如图2所示。
t
t
a)指数型
b)双线性
t
t型
c)多项式型
d)梯形型
图2 不同形式的内聚力准则 a)指A 数 b)双线性 c)多项式 d)梯形区 4
其对应的位移值为最终开裂位移值 nf 。各项的断裂能临
界值
c n
,
c t
。计算公式为：
c n
1 2
m ax
f n
c t
1 2
m ax
f t
双线性内聚力模型简单有效，能较好的在有限元等方法 中计算而一般不会出现计算困难。
A
7
界面内聚力模型
梯形张力位移法则（逐段线性张力位移法则）
控制方程为
f m-ax2（ m1maxaxf -）
tnn q1qexpt2 t2
在单向开裂过程中，总断裂能值等于该向的断裂能计 算值，通过考察单向开裂条件下的应力值或断裂能的值， 都可以判断内聚力模型的计算结果与状态。
A
15
界面内聚力模型
复合开裂条件下，在 q 1 时，不论两向同时开裂速 度的差异，两向的张力位移关系完全耦合。计算开裂过 程的总断裂能以及法向与切向的单向断裂能，其随着开 裂位移变化如图5所示。
指数内聚力模型具有连续性的张力位移关系,同时其 断裂能的值也为连续变化。
与双线性以及梯形法则相比，指数法则的张力位移关 系是非线性连续变化的，更符合实际界面开裂的状态。
A
11
界面内聚力模型
指数内聚力模型在开裂过程中的断裂能控制方程为:
n n e x p n n 1 r n n 1 r q 1 q r r q 1 n n e x p t t 2 2
界面内聚力模型
双线性张力位移法则 双线性张力位移法则是一种简单有效的内聚力法则，
被广泛应用于有限元软件中已实现内聚力模型计算。 控制方程为
max n0
max
nf nf
n0
（ n0） （ n0）
max t0
Fra Baidu bibliotek
max
tf tf
tf
（ t0） （ t0）
A
5
界面内聚力模型
其中 为法向的应力值， m ax
界面内聚力模型及内聚力 有限元法
xxx xxxx.xx.xx
A
1
界面内聚力模型
随着复合材料结构种类的多样性发展，传统断裂 力学已不能满足韧性开裂以及复合材料界面开裂等研究 需求。基于弹塑性断裂力学的内聚力模型(cohesive zone model, CZM) 已被应用于计算复合材料界面损伤和断裂 过程。
1 1 2 2 f
f
0
临界的断裂能值为：c 12m（ axf 21）
梯形张力位移关系中，其模型
的参数除了最大应力值以及临界
断裂能之外，还必须给出 1 2
的值。
A
m ax
c
1
2 f
图4 梯形张力位移 8
界面内聚力模型
多项式张力位移法则
多项式张力位移法则的内聚力模型由Needleman于 1992年提出，采用了高次多项式的函数。
T t -n n 2n t tt q r r 1 q An n e x n p n e x p 2 tt2 21
界面内聚力模型
修正后的各单项断裂能计算式为：
n 2 n n e x p n n 1 r n n 1 r q 1 q r r q 1 n n
a) 法向应力
b) 法向断裂能
图7 界面损伤内聚力模型的法向应力与法向断裂能变化
A
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界面内聚力模型
由以图7(a)可以观察到，随着损伤因子减小，模型的 应力峰值减小，其对应的位移值减小，在开裂扩展阶段， 开裂破坏的最终位移值减小。此外图7(b)所示法向断裂 能变化，损伤因子减小使得开裂过程的临界最大断裂能 值减小。
计算复合条件下的开裂过程时，各向的单向断裂能可
以作为考察界面是否完全开裂的条件，即若某一向单向
断裂能首先达到其临界的最大值，则该方向应力减小为
零，界面失效而完全开裂。
A
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界面内聚力模型
开裂界面损伤的指数内聚力模型 对于两相材料结合界面以及粘接界面等，在其使用过
程中由于受外载荷、温度或湿度作用，以及周期载荷循 环作用等，结合界面将出现不可恢复的累积损伤，从而 导致界面承载能力下降。
内聚力实际上是物质原子或分子之间的相互作用
力。在内聚力区域内，应力是开裂位移的函数，即张力
-开裂位移（Traction-separation）关系，也称为内聚力准
则。
A
2
界面内聚力模型
内聚力区域代表了待扩展
的裂尖前沿的区域，其中内 聚力区域中裂尖的概念是一
内聚力区
种数值定义，而非实际材料 裂纹尖端 中的裂尖范畴。
max max分别为内聚力界面上法向与切向强度，则指数 内聚力模型中的参数之间的关系为:
n emaxn
A t
e 2
max
t
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界面内聚力模型
复合开裂时应力耦合关系分析
实际材料或结构开裂过程中，在复合开裂条件下，若 有一向出现开裂失效，则整个裂纹面完全开裂，该处不 能再承载任何方向载荷。在内聚力模型中即为各向应力 的完全耦合关系。
断裂能的控制方程
247T0
0
1 2
n 0
2
1
4 3
n 0
1 2
n 0
2
1
2
t 0
2
1
4 3
t 0
1 2
n 0
2
为法向与切向刚度之间的一个比例系数，T 0 为纯法
向时的最大内聚力， 0 为最大张开量。
A
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界面内聚力模型
由
T
可得 T n2 4 7 T 0 0 n 2 1 2 0 n 0 n 2 n 0 2 0 n 1
图6 当q≠1时，两向断裂能与总断裂能比较
A
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界面内聚力模型
在复合开裂条件下，q 参数的值不仅影响着两向张力 位移的耦合关系，其对单向断裂能与总断裂能也会产生 作用。在 q 1 时，总断裂能在应力较小为零时达到最 大值，但在 q 1 时，某一向应力首先减小为零后，总断 裂能值依然会保持增大，从而不能作为考察界面开裂状 态的量。
为切向的应力值， m a x 、 m a x
分别为法向及切向的最大
n
m ax
t
0 t
f t
应力值，对应的裂纹界面
0 n
f n
张开位移值分别为
0 n
0 t
。
a)法向张力位移关系 b)切向张力位移关系
图线斜率为内聚力刚度。 图3 双线性张力位移关系
A
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界面内聚力模型
在达到其最大值后应力开始减小至零时裂纹开裂完成，
A
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界面内聚力模型
开裂界面损伤的指数内聚力模型 在指数模型的张力位移关系及断裂能控制方程的研究
基础上，在模型中加入损伤因子，其中01 。
当 为1时，界面没有损伤；而 逐渐减小至接近零时， 界面损伤且程度逐渐增加； 接近至零时，损伤积累使
得结合界面破坏失效。
修正后的两向张力位移关系为如下式：
T n -n ne x n n p n ne x t2 2 tp 1 r q 1 1 e x t2 2 tp r n n 2
采用内聚力模型计算界面损伤后的开裂过程，可以通 过加入损伤因子来对模型进行修正。
A
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界面内聚力模型
对于界面损伤的指数内聚力模型进行损伤因子修正时， 要考虑界面出现损伤后，内聚力模型的最大应力值减小， 同时达到最大应力的界面开裂位移值也将减小。
界面损伤的指数内聚力模型通过在张力位移关系控制 方程中加入损伤因子实现。
内聚力强度就是应力位移曲线的峰值。内聚能代表了 张力-位移曲线和横坐标所围的面积，内聚能代表了材 料裂纹面张开过程中的能量耗散临界能量释放率。
内聚力强度和内聚能是内聚力模型的重要控制参数，
可通过拟合实验曲线或理论推导的方法来确立。
A
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内聚力有限元法
内聚力单元
有限元软件ABAQUS 加入了基于内聚力模型为计算方 法的内聚力单元 (cohesive element)，其目的在于用来处 理粘接连接结构、复合材料界面问题以及其他的有关界 面强度的问题。
A
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界面内聚力模型
界面上的各向应力为: T
将断裂能控制方程对于各向位移值进行偏导得到各向
应力与位移的关系式为:
T n -n ne x n n p n ne x t2 2 tp 1 r q 1 1 e x t2 2 tp r n n 2 T t -n n 2n t tt q r r 1 q n n e x n n p e x t2 2 tp
相比较于其他类型的内聚力模型张力位移关系，指数 内聚力模型为具有耦合关系的内聚力法则，参数q，r对 于耦合关系产生作用。
在指数内聚力模型计算时，界面开裂过程中，断裂能
值连续变化，其同样能够表征着界面开裂的状态。
A
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界面内聚力模型
指数内聚力模型法向与切向的单向断裂能计算式分别 为
n n n e x p n n 1 r n n 1 r q 1 q r r q 1 n n
A
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内聚力有限元法
ABAQUS中的内聚区采用一层厚度接近零的内聚力 单元表示，内聚力单元可以灵活地嵌入到传统单元之间， 单元的上下表面与相邻单元连接，外力引起的材料损伤 限制在内聚力单元中，其它单元不受影响，如图8所示。
（a）cohesive单元与其他单元公用节点 （b）独立的网格通过“tie”绑定
Tr 247T0 0 t 210 t n 02
与双线性及梯形张力位移关系不同，多项式张力位移
关系为连续性的方程，首先提出断裂能的控制方程，对
其进行偏导求得张力位移关系的控制方程。
A
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界面内聚力模型
指数内聚力模型
指数内聚力模型被广泛的应用于计算复合材料界面开 裂、脆性材料中的动态裂纹扩展、韧性基体上薄膜涂层 之间的开裂裂纹萌生等过程。
t2nn q1qexpt2 t2
对于修正后的界面损伤指数内聚力模型，界面在受载 荷作用开裂时，随着损伤因子的减小，其应力位移曲线 中，应力最大值减小，且更早出现应力的最大值，而界 面最终破坏时的界面开裂位移值亦减小。
A
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界面内聚力模型
图7给出了 =0.4，0.8，1三种损伤因子条件下，界
在应力达到最大值后，该处材料点损伤开始萌生，刚 度出现软化；
此后应力值随着位移的增加下降，该处承受载荷能力 减小，该处损伤逐渐累积；
当应力完全减小至零，该处裂纹完全扩展，界面在该
处开裂失效，失去承载能力。
A
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界面内聚力模型
当张力-位移曲线的形状确定后，内聚力模型的关键 是确定两个重要的参数：内聚力强度和内聚能。
a)法向开裂速度大于切向开裂速度 b)切向开裂速度大于法相开裂速度
图5 当q=l时，两向断裂能与总断裂能比较
A
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界面内聚力模型
值不为1的复合开裂条件下，两向的张力位移关 系不能完全耦合。计算 q 0.5 与 q 0.8 条件下的单 向断裂能与总断裂能，如图6所示。
a) q=0.5
b) q=0.8
n 、 t 分别为界面上的法向与切向位移值， n 为纯法
向开裂状态下界面完全开裂时的界面断裂能， n 、 t 为 法向与切向界面开裂特征位移，即应力最大值点对应的
位移值。+
参数
q ，r
分别为:
q
t n
r
* n
n
t 为纯切向开裂状态下界面完全开裂时的界面断裂能。
* n
为在法向应力为零时，切向完全开裂时的法向位移值。
修正后的界面损伤指数内聚力模型，通过加入损伤因 子，能表征界面由于累积的损伤，界面承载能力的下降。
通过对指数模型的张力位移关系以及断裂能控制方程
加入损伤因子进行修正，得到了完整的界面损伤指数内
聚力模型。
A
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界面内聚力模型
不同形式的内聚力模型共同特征：
裂纹尖端内聚力区域内应力在外载荷的作用下，最初 阶段随着位移的增加而增加；
=f ( )
内聚力区域中定义的“虚 拟裂纹”描述了一对虚拟面 之间的动态应力场。
A
图1 裂纹尖端的内聚力区
3
界面内聚力模型
内聚力模型的重要特征是张力-位移曲线的形状和 内聚力参数。
目前，应用较为广泛的内聚力准则，如图2所示。
t
t
a)指数型
b)双线性
t
t型
c)多项式型
d)梯形型
图2 不同形式的内聚力准则 a)指A 数 b)双线性 c)多项式 d)梯形区 4
其对应的位移值为最终开裂位移值 nf 。各项的断裂能临
界值
c n
,
c t
。计算公式为：
c n
1 2
m ax
f n
c t
1 2
m ax
f t
双线性内聚力模型简单有效，能较好的在有限元等方法 中计算而一般不会出现计算困难。
A
7
界面内聚力模型
梯形张力位移法则（逐段线性张力位移法则）
控制方程为
f m-ax2（ m1maxaxf -）
tnn q1qexpt2 t2
在单向开裂过程中，总断裂能值等于该向的断裂能计 算值，通过考察单向开裂条件下的应力值或断裂能的值， 都可以判断内聚力模型的计算结果与状态。
A
15
界面内聚力模型
复合开裂条件下，在 q 1 时，不论两向同时开裂速 度的差异，两向的张力位移关系完全耦合。计算开裂过 程的总断裂能以及法向与切向的单向断裂能，其随着开 裂位移变化如图5所示。
指数内聚力模型具有连续性的张力位移关系,同时其 断裂能的值也为连续变化。
与双线性以及梯形法则相比，指数法则的张力位移关 系是非线性连续变化的，更符合实际界面开裂的状态。
A
11
界面内聚力模型
指数内聚力模型在开裂过程中的断裂能控制方程为:
n n e x p n n 1 r n n 1 r q 1 q r r q 1 n n e x p t t 2 2
界面内聚力模型
双线性张力位移法则 双线性张力位移法则是一种简单有效的内聚力法则，
被广泛应用于有限元软件中已实现内聚力模型计算。 控制方程为
max n0
max
nf nf
n0
（ n0） （ n0）
max t0
Fra Baidu bibliotek
max
tf tf
tf
（ t0） （ t0）
A
5
界面内聚力模型
其中 为法向的应力值， m ax
界面内聚力模型及内聚力 有限元法
xxx xxxx.xx.xx
A
1
界面内聚力模型
随着复合材料结构种类的多样性发展，传统断裂 力学已不能满足韧性开裂以及复合材料界面开裂等研究 需求。基于弹塑性断裂力学的内聚力模型(cohesive zone model, CZM) 已被应用于计算复合材料界面损伤和断裂 过程。
1 1 2 2 f
f
0
临界的断裂能值为：c 12m（ axf 21）
梯形张力位移关系中，其模型
的参数除了最大应力值以及临界
断裂能之外，还必须给出 1 2
的值。
A
m ax
c
1
2 f
图4 梯形张力位移 8
界面内聚力模型
多项式张力位移法则
多项式张力位移法则的内聚力模型由Needleman于 1992年提出，采用了高次多项式的函数。
T t -n n 2n t tt q r r 1 q An n e x n p n e x p 2 tt2 21
界面内聚力模型
修正后的各单项断裂能计算式为：
n 2 n n e x p n n 1 r n n 1 r q 1 q r r q 1 n n