界面内聚力模型及有限元法

为在法向应力为零时，切向完全开裂时的法向位移值。
界面内聚力模型
界面上的各向应力为: 应力与位移的关系式为:
2 2 2 n n t 1 q t n n Tn - exp exp 1 exp r 2 r 1 2 n n n t t n n n t r q n n 2t Tt - 2 exp 2 exp q n t t r 1 n n t
向时的最大内聚力， 0 为最大张开量。
界面内聚力模型
由 可得
T
2 2 2 n n n n 27 n Tn T0 1 2 1 4 0 0 0 0 0
当 为1时，界面没有损伤；而 逐渐减小至接近零时，
接近至零时，损伤积累使 界面损伤且程度逐渐增加；
得结合界面破坏失效。
修正后的两向张力位移关系为如下式：
2 2 2 n n t 1 q t n n Tn - exp exp 1 exp r 2 r 1 2 n n n t t n n n t r q n n 2t Tt - 2 exp 2 exp q n t t r 1 n n t
界面内聚力模型
在达到其最大值后应力开始减小至零时裂纹开裂完成，
其对应的位移值为最终开裂位移值 nf 。各项的断裂能临
界值 nc ,tc 。计算公式为：
1 max nf 2 1 c t max t f 2
c n
双线性内聚力模型简单有效，能较好的在有限元等方法
中计算而一般不会出现计算困难。
界面内聚力模型
指数内聚力模型在开裂过程中的断裂能控制方程为:
n t2 n 1 q r q n n n exp 1 r q exp 2 n r 1 r 1 n n t
界面内聚力模型
指数内聚力模型 指数内聚力模型被广泛的应用于计算复合材料界面开
裂、脆性材料中的动态裂纹扩展、韧性基体上薄膜涂层
之间的开裂裂纹萌生等过程。 指数内聚力模型具有连续性的张力位移关系,同时其 断裂能的值也为连续变化。 与双线性以及梯形法则相比，指数法则的张力位移关 系是非线性连续变化的，更符合实际界面开裂的状态。
界面内聚力模型
梯形张力位移法则（逐段线性张力位移法则） 控制方程为
max 1 max f max （ f - ） - 2 0
c
1 1 2 2 f f
1 （ f 2 1） 临界的断裂能值为： max 2
界面内聚力模型及内聚力 有限元法
xxx xxxx.xx.xx
界面内聚力模型
随着复合材料结构种类的多样性发展，传统断裂力学 基于弹塑性断裂力学的内聚力模型(cohesive zone model,
已不能满足韧性开裂以及复合材料界面开裂等研究需求。
CZM) 已被应用于计算复合材料界面损伤和断裂过程。
内聚力实际上是物质原子或分子之间的相互作用力。 在内聚力区域内，应力是开裂位移的函数，即张力-开 裂位移（Traction-separation）关系，也称为内聚力准则。
t2 t n n q 1 q exp 2 t
在单向开裂过程中，总断裂能值等于该向的断裂能计
算值，通过考察单向开裂条件下的应力值或断裂能的值，
都可以判断内聚力模型的计算结果与状态。
界面内聚力模型
复合开裂条件下，在 q 1 时，不论两向同时开裂速 度的差异，两向的张力位移关系完全耦合。计算开裂过
程的总断裂能以及法向与切向的单向断裂能，其随着开
裂位移变化如图5所示。
a)法向开裂速度大于切向开裂速度 b)切向开裂速度大于法相开裂速度 图5 当q=l时，两向断裂能与总断裂能比较
界面内聚力模型
界面内聚力模型
内聚力区域代表了待扩展 的裂尖前沿的区域，其中内
聚力区域中裂尖的概念是一
种数值定义，而非实际材料 中的裂尖范畴。 内聚力区域中定义的“虚
裂纹尖端
内聚力区

=f ( )
拟裂纹”描述了一对虚拟面
之间的动态应力场。
图1 裂纹尖端的内聚力区
界面内聚力模型
内聚力模型的重要特征是张力-位移曲线的形状和内
2
1 n 2 0 2 2 1 t 4 t 1 n 1 2 0 3 0 2 0
2
T0 为纯法 为法向与切向刚度之间的一个比例系数，
值不为1的复合开裂条件下，两向的张力位移关 系不能完全耦合。计算 q 0.5 与 q 0.8 条件下的单 向断裂能与总断裂能，如图6所示。
a) q=0.5
b) q=0.8
图6 当q≠1时，两向断裂能与总断裂能比较
界面内聚力模型
在复合开裂条件下， q 参数的值不仅影响着两向张力
位移的耦合关系，其对单向断裂能与总断裂能也会产生
有一向出现开裂失效，则整个裂纹面完全开裂，该处不 能再承载任何方向载荷。在内聚力模型中即为各向应力 的完全耦合关系。 相比较于其他类型的内聚力模型张力位移关系，指数
内聚力模型为具有耦合关系的内聚力法则，参数q，r对
于耦合关系产生作用。 在指数内聚力模型计算时，界面开裂过程中，断裂能 值连续变化，其同样能够表征着界面开裂的状态。
对于界面损伤的指数内聚力模型进行损伤因子修正时，
同时达到最大应力的界面开裂位移值也将减小。 界面损伤的指数内聚力模型通过在张力位移关系控制 方程中加入损伤因子实现。
要考虑界面出现损伤后，内聚力模型的最大应力值减小，
界面内聚力模型
开裂界面损伤的指数内聚力模型 在指数模型的张力位移关系及断裂能控制方程的研究 基础上，在模型中加入损伤因子 ，其中0 1 。
控制方程为
max 0 n f n max f 0 n n （ ）
0 n
（ n0）
max 0 t f t max f f t t
（ t0） （ t0）
T
将断裂能控制方程对于各向位移值进行偏导得到各向
max max分别为内聚力界面上法向与切向强度，则指数
内聚力模型中的参数之间的关系为:
n e max n
e t max t 2
界面内聚力模型
复合开裂时应力耦合关系分析
实际材料或结构开裂过程中，在复合开裂条件下，若
2 2 t n 27 t Tr T0 1 4 0 0 0
与双线性及梯形张力位移关系不同，多项式张力位移 关系为连续性的方程，首先提出断裂能的控制方程，对 其进行偏导求得张力位移关系的控制方程。
作用。在 q 1时，总断裂能在应力较小为零时达到最
大值，但在 q 1 时，某一向应力首先减小为零后，总断 裂能值依然会保持增大，从而不能作为考察界面开裂状
态的量。
计算复合条件下的开裂过程时，各向的单向断裂能可
以作为考察界面是否完全开裂的条件，即若某一向单向
断裂能首先达到其临界的最大值，则该方向应力减小为 零，界面失效而完全开裂。
界面内聚力模型
其中 为法向的应力值，
max 、 max 为切向的应力值，
max
max
分别为法向及切向的最大 应力值，对应的裂纹界面
n
n0
nf
t
t0
t f
张开位移值分别为 n0 t0 。 图线斜率为内聚力刚度。
a)法向张力位移关系 b)切向张力位移关系 图3 双线性张力位移关系
界面内聚力模型
指数内聚力模型法向与切向的单向断裂能计算式分别 为
n n n n exp n n 1 q r q n q 1 r r 1 r 1 n n
2
2 2 t t n n q 1 q exp 2 t
梯形张力位移关系中，其模型
max
的参数除了最大应力值以及临界
断裂能之外，还必须给出 1 2 的值。
1
c
2
f
图4 梯形张力位移
界面内聚力模型
多项式张力位移法则
多项式张力位移法则的内聚力模型由Needleman于
1992年提出，采用了高次多项式的函数。
断裂能的控制方程
27 1 n 4 n T0 0 1 4 3 0 2 0
界面内聚力模型
开裂界面损伤的指数内聚Байду номын сангаас模型 对于两相材料结合界面以及粘接界面等，在其使用过 程中由于受外载荷、温度或湿度作用，以及周期载荷循 环作用等，结合界面将出现不可恢复的累积损伤，从而 导致界面承载能力下降。
采用内聚力模型计算界面损伤后的开裂过程，可以通
过加入损伤因子来对模型进行修正。
界面内聚力模型
界面内聚力模型
修正后的各单项断裂能计算式为：
n n 1 q r q n n q 1 r n n exp r 1 r 1 n n n
聚力参数。 目前，应用较为广泛的内聚力准则，如图2所示。
t t
t
a)指数型

t
b)双线性 型

c)多项式型
d)梯形型

图2 不同形式的内聚力准则 a)指数 b)双线性 c)多项式 d)梯形区
界面内聚力模型
双线性张力位移法则
双线性张力位移法则是一种简单有效的内聚力法则，
被广泛应用于有限元软件中已实现内聚力模型计算。
n n 、t 分别为界面上的法向与切向位移值，
为纯法
向开裂状态下界面完全开裂时的界面断裂能， n 、 t 为
法向与切向界面开裂特征位移，即应力最大值点对应的 位移值。+ t q r 分别为: q 参数 ，
n
r n
*
n
t 为纯切向开裂状态下界面完全开裂时的界面断裂能。
*n