模糊数学 (第二讲)

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(Ⅱ) 分解定理 Ⅱ 定理1.4.5 (分解定理Ⅰ)设A∈ F( U ), 则 分解定理Ⅰ 定理 分解定理 设 ∈ A=∪λ∈ λAλ (1-4-1) ∪λ∈[0,1] 证明: 根据模糊集合的相等运算, 证明 根据模糊集合的相等运算 我们只需证 明∀u∈U,有 ∈ 有 A(u)=∨λ∈ ∨λ∈[0,1] [λ∧Aλ(u)] λ 事实上，因为A(u) ∈[0,1],故 事实上，因为 故 ∨λ∈ λ λ∈[0,1] [λ∧Aλ(u)] = {∨λ∈ A(u)] [λ∧Aλ(u)] } ∨λ∈[0, λ ∨{∨λ∈ ∨λ∈(A(u),1] [λ∧Aλ(u)] } λ
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更一般地, 我们有如下结论. 更一般地 我们有如下结论 定理1.4.7(分解定理Ⅲ)设A∈ F( U ) ,令集值映 分解定理Ⅲ 定理 分解定理 设 ∈ 令集值映 射 H:[0,1]→P( U ) λ├→ H(λ) λ 满足:∀λ∈[0,1], ASλ ⊆H(λ) ⊆Aλ, 则 满足 ∀λ∈ λ λ (1) A=∪λ∈ λH(λ) (1-4-5) ∪λ∈[0,1] λ (2) 对λ1,λ2∈[0,1], λ1≤λ2⇒ H(λ1) ⊇H(λ2); λ λ λ λ (3) ∀λ∈ λ∈[0,1],有 有 Aλ =∩α<λ H(α) (1-4-6) α λ ASλ =∪α>λ H(α) (1-4-7) α λ ∪ λ
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1.4.2 正规模糊集 在实际应用中, 这两个截集很有用, 在实际应用中 A1和AS0这两个截集很有用 我 们分别称A 支集, 们分别称 1和AS0为A的核和支集 分别记作 的 kerA={u∈U | A(u)=1} ∈ 和 suppA={u∈U | A(u)＞0} ∈ ＞ 而称A 而称 S0－A1为A的边界 记作 的边界,记作 bonA={u∈U | A(u)＞0且A(u)≠1} ∈ ＞ 且
第一章 模糊集合及其运算
第二讲 1.4 模糊集合的分解定理与表现定理 模糊集合的分解定理与表现定理(1) 复习有关内容: 复习有关内容 经典集合与特征函数; 模糊集合与隶属函数; 经典集合与特征函数 模糊集合与隶属函数 模糊集合的运算,运算律 运算律, 模糊集合的运算 运算律 一族模糊集合的 运算. 运算
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同理可证如下结论. 同理可证如下结论 分解定理Ⅱ 定理1.4.6(分解定理Ⅱ)设A∈ F( U ),则 分解定理 设 ∈ 则 定理 A=∪λ∈ λASλ (1-4-3) ∪λ∈[0,1] λ 推论1.4.2 设A∈ F( U ),则A的隶属函数为 推论 ∈ 则 的隶属函数为 A(u)=∨{λ∈ λ∈[0,1]| u∈ ASλ}, ∀u∈U (1-4-4) ∨ λ∈ ∈ λ ∈
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注意到 Aλ (u ) = 1 , 当 A(u ) ≥ λ ,
0 , 当 A(u ) < λ ,
所以∨λ∈[0,1] [λ∧Aλ(u)]= ∨λ∈ A(u)] [λ∧Aλ(u)] 所以∨λ∈ λ λ λ∈[0, = ∨λ∈ A(u)] [λ∧1] λ λ∈[0, = ∨λ∈ A(u)] λ = A(u). λ∈[0, 由此可得一个求 的隶属函数的公式如下: 由此可得一个求A的隶属函数的公式如下 一个求 的隶属函数的公式如下 推论1.4.1 设A∈ F( U ), 则A的隶属函数为 推论 ∈ 的隶属函数为 A(u)=∨{λ∈ λ∈[0,1]| u∈ Aλ} (1-4-2) ∨ λ∈ ∈
A(u ) ≥ λ iff iff iff iff iff iff u−2 exp{ − }≥ λ 3
2
u−2
2
u−2 − ≥ ln λ 3
2
u−2 ≤ − ln λ 3 u−2 ≤ − ln λ 3
2
− 3 − ln λ ≤ u − 2 ≤ 3 − ln λ 2 − 3 − ln λ ≤ u ≤ 2 + 3 − ln λ
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§1.4 模糊集合的分解定理与表现定理
1.4.1 模糊集合的截集 定义1.4.1 设A∈ F( U ), 任取λ∈ 任取λ∈ λ∈[0,1], 定义 ∈ ∈ λ 设 Aλ={u∈U | A(u)≥λ}, ASλ={u∈U | A(u)>λ}. ∈ λ λ 分别称A 分别称 λ和ASλ为模糊集合 的λ截集和λ强截集 λ为模糊集合A的 截集和 强截集, 而称λ 阀值或置信水平. 而称λ为阀值或置信水平 例1.4.1 设U ={u1 , u2 , u3 , u4 }，A∈ F( U )且 ， ∈ 且 A=(0.6, 0.3, 0.5, 0.8) , 求A0.5 , AS0.5 解: A0.5={u∈U | A(u)≥0.5} ={u1 , u3 , u4 } ∈ AS0.5={u∈U | A(u)>0.5} ={u1 , u4 }. ∈
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定理1.4.2 设A,B∈ F( U ), λ∈ λ∈[0,1],则有 定理 ∈ 则有 (1) (A∪B)λ=Aλ∪Bλ; (2) (A∩B)λ=Aλ∩Bλ; ∪ (3) (A∪B)Sλ=ASλ∪BSλ; (4) (A∩B)Sλ=ASλ∩BSλ. ∪ λ λ λ λ λ λ 证明:(1) ∵ ∀u∈U , u∈(A∪B)λ 当且仅当(A∪B)(u)≥λ 证明 ∈ ∈ ∪ ∪ λ 当且仅当 A(u)∨B(u)≥λ当且仅当 ∨ λ当且仅当A(u) ≥λ or B(u)≥λ λ λ 当且仅当u∈ 当且仅当 ∈Aλ 或 u∈Bλ 当且仅当u∈Aλ ∪Bλ ∈ ∈ ∴(A∪B)λ=Aλ∪Bλ. ∪ 同理可证(2)~(4). 同理可证 定理1.4.2中的 与(4)对于无限个模糊集的情形不成立 一 中的(1)与 对于无限个模糊集的情形不成立 对于无限个模糊集的情形不成立. 定理 中的 般地,我们有 般地 我们有
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推论1.4.3 设A∈ F( U ),则A的隶属函数可由下式给出 推论 ∈ 则 的隶属函数可由下式给出 A(u)=∨{λ∈ ∨ λ∈ λ∈[0,1]| u∈ H(λ)},∀u∈U. ∈ λ ∀ ∈ (1-4-8) 显然,当 λ 分解定理Ⅲ 显然 当H(λ)= Aλ时,分解定理Ⅲ就退化为分解定理Ⅰ, 分解定理 就退化为分解定理Ⅰ 分解定理Ⅲ就退化为分解定理Ⅱ 当H(λ)= ASλ时, 分解定理Ⅲ就退化为分解定理Ⅱ, λ λ 因此, 分解定理Ⅲ是分解定理Ⅰ和分解定理Ⅱ的推广. 因此 分解定理Ⅲ是分解定理Ⅰ和分解定理Ⅱ的推广
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1.4.3 分解定理
(Ⅰ) 数与模糊集的截积运算 Ⅰ 定义1.4.3 设λ∈ λ∈[0,1], A∈ F( U ), 定义 ∈ 的截积(记作 则λ与A的截积 记作λA)定义为 的截积 记作λ 定义为 (λA)(u)=λ∧A(u),∀u∈U. λ λ ∀ ∈ 其中 λ ∧ A (u ) = λ
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注1.4.1: (A′)λ =(Aλ)′一般不成立 ′ ′一般不成立. 例如: 例如 取U=[0,1], A(u)=0.5,∀u∈U,则A′ =A,对λ=0.3, ∀ ∈ 则 ′ 对 从而(A ′ ∅ 故 ′ 有(A′)0.3= U =A0.3,从而 0.3)′ =∅,故(A′)0.3≠ (A 0.3)′. ′ 从而 ′
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定理1.4.3 设T为任意指标集 ∀t∈T, At ∈ F( U )则有 为任意指标集, ∈ 定理 为任意指标集 则有 (1) (∪t∈TAt)λ⊇∪t∈T (At)λ; ∪∈ ∈ (2) (∩t∈TAt)λ=∩t∈T (At)λ; ∈ ∈ (3) (∪t∈TAt)Sλ=∪t∈T (At)Sλ; ∪∈ λ ∪∈ λ (4) (∩t∈TAt)Sλ⊆∩t∈T (At)Sλ. ∈ λ ∈ λ 证明：（见黑板） 证明： 见黑板） 定理1.4.3（1）（ ）中的等号可以不成立（具体 （ ）（ ）（4）中的等号可以不成立（ 定理 例子见黑板）。 例子见黑板）。
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例1.4.2 设U=(－∞, ＋∞), A∈ F( U )且 A(u ) = exp{− － ∈ 且 }, u ∈U 3 这里λ∈ 求Aλ和ASλ,这里λ∈ λ 这里λ∈[0,1]. 对任意λ∈ λ∈[0,1],当λ=0时, A0=AS0=0。当 λ大于 时， 大于0时 解: 对任意λ∈ 当 时 。
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定义1.4.2 设A∈ F( U ),如果 如果kerA ≠ ∅,则称 为 则称A为 定义 ∈ 如果 则称 正规模糊集. 正规模糊集 例如: 例如 设U ={u1 , u2 , u3 , u4 }, A, B∈ F( U ), ∈ A=(0.8,1,0.6,0.2), B=(0.3,0.5,0.9,0.2), 是正规模糊集, 则kerA={u2}, kerB= ∅, 故A是正规模糊集 而B不 是正规模糊集 不 是正规模糊集. 是正规模糊集 由此可见, 的核 的核kerA是完全属于 的元素所 是完全属于A的元素所 由此可见 A的核 是完全属于 构成的,随着 随着λ 向 递减变化 递减变化, 构成的 随着λ由1向0递减变化 Aλ从kerA出发不断 出发不断 扩大,最终达到最大集合 最终达到最大集合suppA.而A的边界 的边界bonA则 扩大 最终达到最大集合 而 的边界 则 是介于完全属于A和完全不属于 的元素的全体,称 和完全不属于A的元素的全体 是介于完全属于 和完全不属于 的元素的全体 称 之为A的 灰色”地带. 之为 的”灰色”地带
所以 Aλ = [ 2 − 3 − ln λ， + 3 − ln λ ]， ASλ = 2 − 3 − ln λ， + 3 − ln λ 2 2
(
)
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定理1.4.1 设A∈ F( U ), 则有 定理 ∈ (1) ∀λ∈ ∀λ∈[0,1], ASλ ⊆ Aλ ; λ (2) A0=U , AS1 =∅; ∅ (3) ∀λ1 , λ2∈[0,1]且λ1≤λ2 , 我们有 λ2 ⊆ Aλ1 ; 且 λ 我们有A (4) ∀λ1 , λ2∈[0,1]且λ1≤λ2 , 我们有 Sλ2 ⊆ ASλ1 . 且 λ 我们有A λ λ 此定理表明: 此定理表明 (i) ASλ 是Aλ的子集 的子集; λ (ii) A的λ截集族 λ}λ∈ 和λ强截集族 的 截集族{A λ∈[0,1] {ASλ} λ∈ 都是一个套着一个的经典集合族 λ∈[0,1]都是一个套着一个的经典集合族. λ
A (u ) , ,
λ < A (u ).
Fra Baidu bibliotek
λ ≥ A (u ),
由此可见, λA仍为 的模糊集合 仍为U的模糊集合 由此可见 仍为 的模糊集合. 特别地, 若A为经典集合 则λA就变为 特别地 为经典集合, 就变为 为经典集合 模糊集合, 模糊集合 这是因为
λ , u ∈ A, (λA)(u ) = 0 , u ∉ A.
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证明: ∵ ∈ ∨∈ 证明 (1)∵∀u∈U, u∈A(∨t∈Tλt)⇔ A(u) ≥∨t∈T λt ∈ ∨∈ ⇔ ∀t∈T, A(u) ≥ λt ⇔ ∀t∈T, u ∈ Aλt ∈ ∈ ⇔ u ∈ ∩t∈TAλt. ∈ ∴ A(∨t∈Tλt)=∩t∈T Aλt。 ∨∈ ∈ 。 (3) ∵∀u∈U, u∈ (A′)λ ⇔ A′(u) ≥λ ∈ ∈ ′ ′ λ ⇔ 1－A(u) ≥ λ ⇔ A(u)≤1－λ ⇔ A(u)≯1－λ － － ≯ － ⇔ u∉AS(1-λ) ⇔ u∈(AS(1-λ))′. ∉ ∈ λ λ ′ ∴ (A′)λ =(AS(1-λ))′ ′ λ ′ 同理可证(2)和 同理可证 和(4).
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定理1.4.4 设A∈ F( U ), T为任意指标集 且 为任意指标集, 定理 ∈ 为任意指标集 ∀t∈T, λt∈[0,1], 则 ∈ (1) A(∨t∈Tλt)=∩t∈T Aλt ; ∨∈ ∈
∈
(2) AS(∧t∈Tλt)= ∪ t∈T ASλt; ∧∈ ∈ λ
∈
(3) ∀λ∈[0,1], (A′)λ =(AS(1-λ))′; ′ λ ′ (4) ∀λ∈[0,1], (A′) Sλ =(A1-λ)′ . ′ λ λ ′