对称式与轮换对称式
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1.基本概念
【定义1】一个n 元代数式f(X 1, X 2,皿 X n ),如果交换任意两个字母的位置后, 代
数式不变,即对于任意的i , j (1
f (X1… Xi … Xj ,Hl
Xn)= f(X1,n] Xj ,血 Xi,工 Xn)
那么,就称这个代数式为 n 元对称式,简称对称式。
x + y 2 2 2
例如,x + y , xy ,—— ,X +y +z , xy + yz+zx 都是对称式。 xy
如果n 元对称式是一个多项式,那么称这个代数式为
n 元对称多项式。
由定义1知,在对称式中,必包含任意交换两个字母所得的一切项,例如,在对称多项 式f (X ,
y , z)中,若有ax 3项,则必有ay 3, az 3项;若有bx 2y 项,则必有bx 2z ,
2 2 2 2
by Z, by x , bz x , bz y 项,这些项叫做对称式的同形项,同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义,可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式, 例如,含有三 个字母X, y ,z 的二次对称多项式的般形式是:
a(x 2 +y 2 +z 2) + b(xy + yz + zx) + c(x + y + z) + d
【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ,那么称这个多项式
为n 元r 次齐次多项式。
【定义3】一个n 元代数式f(X i , X 2,口 X n ),如果交换任意两个字母的位置后,代数 式均改变符号,即对于任意的
i , j (1
f(X i, 口 X i ,Q, X j, 口 X n )=—f(X 1 胆 X j,JL, X i ,, X n )
那么就称这个代数式为 n 元交代式。
例如,X - y,(x-y)( y-z)(z 均是交代式。 X + y
【定义4】如果一个n 交代数式f (X ,, X 2 口 X n ) ,如果将字母X i , X 2——,X n 以X 2代
竞赛专题
对称式与轮换对称式
nc Xj, 由定义2知,n 元多项式X 2,D,
X n )是r 次齐次多项式,当且仅当对任意实数t 有 f(tX i , tX 2,口 tX n )=t r f(X i , X 2口,
X n )。
例如,含三个字母的三元三次齐对称式为:
a(x+y+z) + bXy X 七 2y
+x 2 y +z 2 z x)2 z + y cx y z
X i , X 3代X 2,口 X n 代X n V X ,代X n 后代数式不变,即
f(X i , X 2,匚D X n )三 f(X 2, X 3,, X n , X i )
那么称这个代数式为 n 元轮换对称式,简称轮换式。
显然,对称式一定是轮换式,但轮换式不一定是对称式。例如, 称式也是轮换式; b(x 2y+y 2z +z 2x)是轮换式,但不是对称式。
对称式、交代式、轮换式之间有如下性质:
两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式;
两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式; 同字母的对称式与交代式的积、商是交代式;
多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。
bi
(X ,, X 2, 口 X n )=艺 X i
i
壬
^2
(为,X 2 口 X n)= 2 X j X j
X n )
= X 1 X 2 nnO x n
例如,二兀基本对称多项式是指 X + y , xy ,
三元基本对称式是指 X + y + Z, xy + yz + zx, xyz
当你学完了高等代数的时候就会知道, 任何一个n 元对称多项式都可以表示为基本对称 多项式
的多项式。这个结论对解题的指导作用。
2.对称式、轮换式、交代式在解题中的应用
a(x 2 + y 2 + z 2)是对
(4) 两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式;
【定义5】下面n 个对称多项式称为 n 元基本对称多项式。
k
( X i , X 2 , LLU X n )=
<1
n
z
■
X i ,
X i 2
Ul X i
k
其中g (X , y, z )是对称式。
f (X , z- ( X y ( 7 z (—z
其中g (X , y, z )是对称式。
是常用的。
齐次对称多项式的一般形式: (1)二元齐次对称多项式
(2)三元齐次对称多项式
2 2 2
a(x + y +z )+b(xy + yz + zx) a(x 3 +y 3 +z 3) +b [x 2(y + z) + y 2(z + x) +z 2(x + y)]+cxyz
判定mx + ny+rz 是否为多项式f (X , y,z ),的因式的方法是:令 mx + ny + rz=O ,计 算 f (X , y , z ),如果 f (X, y , z )=0 ,那么mx+ ny + rz 就是f (x, y , z )的因式,在实
际
操作时,可首先考虑 mx + ny+rz 的如下特殊情形:
X, x + y, x —y , x + y + z x-y+z
2 2 2 2 2 2
【例 1】:已知多项式 f(x, y , z)=xy(x -y ) + yz(y -z )中 zx(z -x )
(1)求证:f(x, y, z)是齐次式;(2)求证:f(x , y, z)是轮换式;
为了初中学生学习的需要,我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形, 对于多元的情形,
只需作类似的处理即可。
F 面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧
若 f(x . y , z )是对称式,则在解题中可设 x 若 f (X , y, z )是对称式,则当X ,y 满足性质P 时,X, Z ; y ,z 也满足性质p 。 若 f (X, y , z )是轮换式,则在解题中可设 X 最大(小),但不能设X 兰y 兰Z 。(为 什么?) 若 f (X , y ,z )是轮换式,且 X , y 满足性质P ,贝y y ,z ; z X 也满足性质p 。 若 f (X , y ,z )是交代多项式,则 x-y . y -Z ,Z-X 是 f (X , y, z )的因式,即 在利用对称式作因式分解时, 齐次对称多项式, 齐次轮换对称多项式, 齐次交代多项式 一次: a (X +y), 二次: 2 2 a(x +y ) +bxy 三次: 3 3 a(x +y ) +bxy(x + y) 一次: a(x + y +z) 二次: 三次: