平面附其方程

第五节 平面及其方程

教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节

让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。

教学重点：1.平面方程的求法

2.两平面的夹角

教学难点：平面的几种表示及其应用

教学内容：

一、平面的点法式方程

1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。

平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。

2．平面的点法式方程

已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向

量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即

00M M ⋅=u u u u u u r n

代入坐标式，有：

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

（1）

此即平面的点法式方程。 例1：求过三点1M （2，－1，4）、2M （－1，3，－2）和3M （0，2，3）的平面方程。

解：先找出这平面的法向量n ，

k j i k

j i

n -+=----=⨯=91413

26433121M M M M

由点法式方程得平面方程为

0)4()1(9)2(14=--++-z y x

即： 015914=--+z y x

二、 平面的一般方程

任一平面都可以用三元一次方程来表示。

平面的一般方程为：

0=+++D Cz By Ax

几个平面图形特点：

1）D ＝0：通过原点的平面。

2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。

同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。

3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。

4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n

例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。

解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D

由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ，

{4,1,2}⊥-r Q n 024=+-∴C B A C B A 3

2-==⇒ 所求平面方程为0322=-+z y x

三、两平面的夹角：

定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。

设平面0:11111=+++∏D z C y B x A ，0:22222=+++∏D z C y B x A

},,{1111C B A n =ρ， },,{2222C B A n =ρ按照两向量夹角余弦公式有：

222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=

θ 几个常用的结论

设平面1和平面2的法向量依次为},,{1111C B A =n 和},,{2222C B A =n

1) 两平面垂直：0212121=++C C B B A A

（法向量垂直） 2) 两平面平行：212121C C B B A A == （法向量平行）

3) 平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点),,(0000z y x P ，平面的方程为 0=+++D Cz By Ax ，则点到平面的距离为

222000C B A D Cz By Ax d +++++=

例3：研究以下各组里两平面的位置关系： 013,

012)1(=-+=+-+-z y z y x 01224,

012)2(=--+-=-+-z y x z y x 02224,

012)3(=-++-=+--z y x z y x 解：(1) 60131)1(2)1(|

311201|cos 2

2222=+⋅-++-⨯-⨯+⨯-=θ，两平面相交，夹角601arccos =θ； (2) }1,1,2{1-=n ρ，}2,2,4{2--=n ρ 212142-=-=-⇒

，两平面平行 ． 21

)0,1,1()0,1,1(∏∉∏∈M M Θ，所以两平面平行但不重合。 （3）2

12142-=-=-Θ 两平面平行 21)0,1,1()0,1,1(∏∈∏∈M M Θ 所以两平面重合．

小结与思考：平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。

两平面的夹角以及点到平面的距离公式。

作业：见作业本7.5