高等代数选讲之多项式理论
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两式相乘得 x102 1 x2 1 f x
由于x102 1与 x2 1 无奇次项，从而 f x不可能有奇
次项，故其奇次项系数之和等于零。
法2 因为 f x f x，所以 f x是偶函数，于 是 f x的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等
于零。
例2、设 f x 为一多项式，若 f x y f x f y
第一讲 多项式理论
多项式理论是高等代数的重要内容之 一，虽然它在高等代数课程中是一个相对 独立而自成体系的部分，但却为高等代数 所讲述的基本内容提供了理论依据。多项 式理论中的一些重要定理和方法，在进一 步学习数学理论和解决实际问题时常要用 到，是代数学中最基本的研究对象之一。 因此，在学习这部分内容时，要正确地掌 握概念，学会严谨地推导和计算。
6、注意零多项式和另次多项式的区别。
例1、令
f x x50 x49 x48 x47 L x 1 x50 x49 L x 1
求 f x 的奇次项系数之和。
解 法1 由于
x51 1 x 1 x50 x49 x48 x47 L x 1 x51 1 x 1 x50 x49 L x 1
f x qxgxrx
其中r x 0 或 r x g x.
2、整除的概念
设 f x, g xPx ，如果存在多项式 hxPx, 使 f x hx g x ，则称 g x整除 f x。
3、整除的充分必要条件
如果 g x 0，则 g x f x的充分必要条件是用 g x
（3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、 重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多 项式不可约的判定等。
（4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代 数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数 的关系等。
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。
由于P是一个数域，所以 i a bi a P. 但 R P,
b
从而对任意实数 a, b 都有 a bi P ，即P包含了全体复数。 故P=C。
二、一元多项式的概念
1、一元多项式的概念
形式表达式
f x anxn an1xn1 L a1x a0
称为数域P上文字 x 的一元多项式，其中 a0 , a1,L , an P,
小的数域。
（2）在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域； 在实数域与复数域之间不存在其他的数域。
例1、设P是一个数集，有非零数 a P ，且P关于减
法、除法（除数不为零）封闭，证明P是一个数域。
证 因为 a P ，所以 0 a a P,百度文库 a P. a
a,b P, 有 a b a 0 b P, 即P对加法封闭。
n 是非负整数。当 an 0 时，称多项式 f x的次数为 n.
记为 f x n.
2、多项式的相等关系 设
f x anxn an1xn1 L a1x a0
g x bnxn bn1xn1 L b1x b0
则
f x g x ai bi i 0,1,2,L ,n
3、次数公式
（1） f x g x maxf x,g x; （2） f x g x f x g x.
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P
上的一元多项式环，记为 Px ，称P为 Px 的系数域。
5、一元多项式环的有关结论
多项式的加、减、乘运算对Px 封闭，且多项式的
加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。
a,b P, 若 a, b 中有一个为零，则 ab 0 P.
若
ab 0，则 ab
a 1
P.
从而P对乘法封闭。
b
综上所述，P关于加法、减法、乘法、除法都封闭，所 以P是一个数域。
例2、证明：实数域与复数域之间不存在其他的数域。
证 设P是任意一个包含R且不同于R的数域，且P还
包含至少一个复数 a bi b 0 。
则 f x 0 或 f x 1. 证 若 f x 0 ，则证毕。若 f x 0 ，由于 f 2x f x x f x f x f 2 x
所以 f x只能是零次多项式。令 f x A 0 ，又因为 A f 0 f 0 0 f 2 0 A2
所以 A 1，此即 f x 1.
多元多项式函数 对称多项式基本性质
根与系数 的关系
重点、难点解读
这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面 地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分， 以一元多项式理论为主。可归纳为以下四个方面：
（1）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、多 项式相等、导数等基本性质。
（2）整除理论：包括带余除法、整除、最大公因式、 互素的概念与性质。
对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
一、数域的判定
1、数域的概念
设P是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果 P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P为一个数域。
2、数域的有关结论 （1）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最
知识脉络图解
数域
一元多项式概念
多项式函数
多项式的相等及运算
多项式恒等及多项式函数的运算
带余除法
综合除法
余数定理
整除性
因式分解
方程的根
不可约多项式
最大公因式
因式分解唯一性定理
重因式
复数域上的 因式分解
实数域上的 因式分解
有理多项式 不可约判定
本原多项式 求有理根
实多项式根 的性质
代数学
基本定 理
多元多项式概念 对称多项式
P31.4
例3设 f (x)是非零实系数多项式，k 是一个 正整数，且 f ( f (x) f k (x) ，则 f (x) 为零次 多项式或者 f (x) xk 。
三、多项式的带余除法及整除
1、带余除法
定理（带余除法）设 f x, g xPx, g x 0,
则存在唯一的多项式 qx,r xPx, 使
由于x102 1与 x2 1 无奇次项，从而 f x不可能有奇
次项，故其奇次项系数之和等于零。
法2 因为 f x f x，所以 f x是偶函数，于 是 f x的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等
于零。
例2、设 f x 为一多项式，若 f x y f x f y
第一讲 多项式理论
多项式理论是高等代数的重要内容之 一，虽然它在高等代数课程中是一个相对 独立而自成体系的部分，但却为高等代数 所讲述的基本内容提供了理论依据。多项 式理论中的一些重要定理和方法，在进一 步学习数学理论和解决实际问题时常要用 到，是代数学中最基本的研究对象之一。 因此，在学习这部分内容时，要正确地掌 握概念，学会严谨地推导和计算。
6、注意零多项式和另次多项式的区别。
例1、令
f x x50 x49 x48 x47 L x 1 x50 x49 L x 1
求 f x 的奇次项系数之和。
解 法1 由于
x51 1 x 1 x50 x49 x48 x47 L x 1 x51 1 x 1 x50 x49 L x 1
f x qxgxrx
其中r x 0 或 r x g x.
2、整除的概念
设 f x, g xPx ，如果存在多项式 hxPx, 使 f x hx g x ，则称 g x整除 f x。
3、整除的充分必要条件
如果 g x 0，则 g x f x的充分必要条件是用 g x
（3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、 重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多 项式不可约的判定等。
（4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代 数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数 的关系等。
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。
由于P是一个数域，所以 i a bi a P. 但 R P,
b
从而对任意实数 a, b 都有 a bi P ，即P包含了全体复数。 故P=C。
二、一元多项式的概念
1、一元多项式的概念
形式表达式
f x anxn an1xn1 L a1x a0
称为数域P上文字 x 的一元多项式，其中 a0 , a1,L , an P,
小的数域。
（2）在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域； 在实数域与复数域之间不存在其他的数域。
例1、设P是一个数集，有非零数 a P ，且P关于减
法、除法（除数不为零）封闭，证明P是一个数域。
证 因为 a P ，所以 0 a a P,百度文库 a P. a
a,b P, 有 a b a 0 b P, 即P对加法封闭。
n 是非负整数。当 an 0 时，称多项式 f x的次数为 n.
记为 f x n.
2、多项式的相等关系 设
f x anxn an1xn1 L a1x a0
g x bnxn bn1xn1 L b1x b0
则
f x g x ai bi i 0,1,2,L ,n
3、次数公式
（1） f x g x maxf x,g x; （2） f x g x f x g x.
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P
上的一元多项式环，记为 Px ，称P为 Px 的系数域。
5、一元多项式环的有关结论
多项式的加、减、乘运算对Px 封闭，且多项式的
加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。
a,b P, 若 a, b 中有一个为零，则 ab 0 P.
若
ab 0，则 ab
a 1
P.
从而P对乘法封闭。
b
综上所述，P关于加法、减法、乘法、除法都封闭，所 以P是一个数域。
例2、证明：实数域与复数域之间不存在其他的数域。
证 设P是任意一个包含R且不同于R的数域，且P还
包含至少一个复数 a bi b 0 。
则 f x 0 或 f x 1. 证 若 f x 0 ，则证毕。若 f x 0 ，由于 f 2x f x x f x f x f 2 x
所以 f x只能是零次多项式。令 f x A 0 ，又因为 A f 0 f 0 0 f 2 0 A2
所以 A 1，此即 f x 1.
多元多项式函数 对称多项式基本性质
根与系数 的关系
重点、难点解读
这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面 地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分， 以一元多项式理论为主。可归纳为以下四个方面：
（1）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、多 项式相等、导数等基本性质。
（2）整除理论：包括带余除法、整除、最大公因式、 互素的概念与性质。
对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
一、数域的判定
1、数域的概念
设P是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果 P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P为一个数域。
2、数域的有关结论 （1）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最
知识脉络图解
数域
一元多项式概念
多项式函数
多项式的相等及运算
多项式恒等及多项式函数的运算
带余除法
综合除法
余数定理
整除性
因式分解
方程的根
不可约多项式
最大公因式
因式分解唯一性定理
重因式
复数域上的 因式分解
实数域上的 因式分解
有理多项式 不可约判定
本原多项式 求有理根
实多项式根 的性质
代数学
基本定 理
多元多项式概念 对称多项式
P31.4
例3设 f (x)是非零实系数多项式，k 是一个 正整数，且 f ( f (x) f k (x) ，则 f (x) 为零次 多项式或者 f (x) xk 。
三、多项式的带余除法及整除
1、带余除法
定理（带余除法）设 f x, g xPx, g x 0,
则存在唯一的多项式 qx,r xPx, 使