-数学家--刘徽
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• 方程新术：在《九章算术 方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，
运用了比率算法的思想。
• 重差术：在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和 累
矩等测高测远方法。他还运用"类推衍化"的方法，使重差术由两次测望，发展 为"三望"、"四望"。而印度在7世纪，欧洲在15~16世纪才开始研究两次测望的 问题。刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数 学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称 作"中国数学史上的牛顿"。
• 《九章算术》的产生是社会发展和数学知识长期积累的结果，它汇集了不
同时期数学家的劳动成果。三国时的数学家刘徽认为:"周公制礼有九数， 九数之流，则《九章》是矣。汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算 命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论多近 语也。"根据刘徽的考证结果，《九章算术》源于周公时代的"九数"，而 他所见到的《九章算术》是西汉时的张苍、耿寿昌在先秦遗文的基础上删 补而成的，其中包括了大量西汉时补充的内容。根据历史文献和出土文物 资料来分析，刘徽所言是可信的。《九章算术》所包含的各种算法是汉朝 数学家们在秦以前流传下来的数学基础上，适应当时的需要补充修订而成 的。
的创见:
• ①割圆术与圆周率， 他在《九章算术圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积
的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割 圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072 边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为"徽率"。
• ②刘徽原理 在《九章算术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，
提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
"牟合方盖"说：在《九章算术 开立圆术》注中，他指出了球体积公式 V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了"牟合方盖"这一著名的几何模型。" 牟合方盖"是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
• 刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，
则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。《海岛算 经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性 和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提 倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学 命题的人。
• 圆周长公式的推导：圆周长（C）：圆的直径（d），那圆的周长（C）除
以圆的直径（d）等于π，那利用乘法的意义，就等于 π乘以圆的直径（d） 等于圆的周长（C），C=πd。而同圆的直径（d）是圆的半径（r）的两倍， 所以就圆的周长（C）等于2乘以π乘以圆的半径（r），C=2πr。
背景资料链接
• 刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出"求徽数"的思想，这
• 于是，刘徽采用这个方法，把圆逐渐分割下去，一试果然有效。
他发明了亘古未有的“割圆术”。他沿着割圆术的思路，从圆 内接正六边形算起，边数依次加倍，相继算出正12边形，正24 边形……直到正192边形的面积，得到圆周率兀的近似值为 157/50 (3.14)；后来，他又算出圆内接正3 072边形的面积，从 而得到更精确的圆周率近似值：兀≈3927/1 250(3.1416)。
表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。
• 利用圆周率可以求圆的周长、面积；圆柱、圆锥的体积等。
• 圆面积公式的推导：把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。
长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。 长方形的面积是ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以π，S=πr²。
数 学 家 —— 刘 徽
2016
人物介绍
• 刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术
注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国 数学史上的不朽地位。
• 刘徽的数学著作，留传后世的很少，所留均为久经辗转传抄之作。他的主要著作
有:《九章算术注》10卷; 《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》;《九章重差图》 l卷。可惜后两种都在宋代失传。
感受
• 刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生.他善
于观察、善于发现，通过自己不懈的努力才 有了今天到的成就。我们要向他学习，拥有 一双善于观察的眼睛，发现生活中数学的奥 秘。
• 刘徽评传刘徽评传②在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍
乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础， 他还用"率"来定义中国古代数学中的"方程"，即现代数学中线性方程组的增广矩 阵。
• ③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相
个人成就
• 刘徽的数学成就大致为两方面: • 一是整理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础，这方面集中体现在《九章
算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系:
• 数系理论：①用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化
简等的运算法则;在开方术 的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理 方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对"勾中容横"与"股中容直"之类的典型 图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
• 面积与体积理论：用出入相补、以盈补虚的原理及"割圆术"的极限方法提出了
刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的 理论价值至今仍闪烁着余辉。
• 二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性
• 《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面:如解联立
方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先 进之列。但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。在 这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。他是世界上最早提出十进小数 概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了 正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。在几何方面，提 出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方 法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。他用割圆术，从直径为 2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正 多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是"割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。"他计算了3072边形面积并验证了这个 值。刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年来中国圆周率计算在 世界上的领先地位。
故事
• 一次，刘徽看到石匠在加工石头，觉得很有趣就仔细观察了起
来。“哇！原本一块方石，经石匠师傅凿去四角，就变成了八 角形的石头。再去八个角，又变成了十六边形。”一斧一斧地 凿下去，一块方形石料就被加工成了一根光滑的圆柱。
• 谁会想到，在一般人看来非常普通的事情，却触发了刘徽智慧
的火花。他想：“石匠加工石料的方法，可不可以用在圆周率 的研究上呢？”
著ห้องสมุดไป่ตู้影响与意义
• 《九章算术》不仅在中国数学史上占有重要地位，对世界数学的发展也有
着重要的贡献。分数理论及其完整的算法，比例和比例分配算法，面积和 体积算法，以及各类应用问题的解法，在书中的方田、粟米、衰分、商功、 均输等章已有了相当详备的叙述。而少广、盈不足、方程、勾股等章中的 开立方法、盈不足术(双假设法)、正负数概念、线性联立方程组解法、整 数勾股弦的一般公式等内容都是世界数学史上的卓越成就。 传本《九章 算术》有刘徽注和唐李淳风等的注释。刘徽是中国古代杰出的数学家，他 生活在三国时代的魏国。《隋书·律历志》论历代量制引商功章注，说"魏 陈留王景元四年(263)刘徽注《九章》。"他的生平不可详考。刘徽的《九 章》注不仅在整理古代数学体系和完善古算 理论方面取得了重要成就， 而且提出了丰富多彩的创见和发明。刘徽在算术、代数、几何等方面都有 杰出的贡献。例如，他用比率理论建立了数与式的统一的理论基础，他应 用了出入相补原理和极限方法解决了许多面积和体积问题，建立了独具风 格的面积和体积理论。他对《九章》中的许多结论给出了严格的证明，他 的一些方法对后世有很大启发，即使对现今数学也有可借鉴之处。
著作简介
• 《九章算术》是中国流传至今最古老的数学专著之一，它成书于西汉时期。
这部书的完成经过了一段历史过程，书中所收集的各种数学问题，有些是 秦以前流传的问题，长期以来经过多人删补、修订，最后由西汉时期的数 学家整理完成。现今流传的定本的内容在东汉之前已经形成。《九章算术》 是中国最重要的一部经典数学著作，它的完成奠定了中国古代数学发展的 基础，在中国数学史上占有极为重要的地位。现传本《九章算术》共收集 了246个应用问题和各种问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少 广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。
方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必 要条件，而且促进了十进小数的产生;在线性方程组解法中，他创造了比 直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致;并在中国数学史上第 一次提出了"不定方程问题";他还建立了等差级数前n项和公式;提出并定义 了许多数学概念:如幂(面积);方程(线性方程组);正负数等等.刘徽还提出了 许多公认正确的判断作为证明的前提.他的大多数推理、证明都合乎逻辑， 十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性 的基础之上。虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所 运用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并 以数学证明为其联系纽带的理论体系。
圆周率是什么？利用它可以干什么？
• 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及
物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精 确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可 以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。
• 圆周率用字母 π表示，是一个常数（3.141592654-3.1415927之间），是代
运用了比率算法的思想。
• 重差术：在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和 累
矩等测高测远方法。他还运用"类推衍化"的方法，使重差术由两次测望，发展 为"三望"、"四望"。而印度在7世纪，欧洲在15~16世纪才开始研究两次测望的 问题。刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数 学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称 作"中国数学史上的牛顿"。
• 《九章算术》的产生是社会发展和数学知识长期积累的结果，它汇集了不
同时期数学家的劳动成果。三国时的数学家刘徽认为:"周公制礼有九数， 九数之流，则《九章》是矣。汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算 命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论多近 语也。"根据刘徽的考证结果，《九章算术》源于周公时代的"九数"，而 他所见到的《九章算术》是西汉时的张苍、耿寿昌在先秦遗文的基础上删 补而成的，其中包括了大量西汉时补充的内容。根据历史文献和出土文物 资料来分析，刘徽所言是可信的。《九章算术》所包含的各种算法是汉朝 数学家们在秦以前流传下来的数学基础上，适应当时的需要补充修订而成 的。
的创见:
• ①割圆术与圆周率， 他在《九章算术圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积
的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割 圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072 边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为"徽率"。
• ②刘徽原理 在《九章算术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，
提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
"牟合方盖"说：在《九章算术 开立圆术》注中，他指出了球体积公式 V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了"牟合方盖"这一著名的几何模型。" 牟合方盖"是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
• 刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，
则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。《海岛算 经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性 和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。刘徽思想敏捷，方法灵活，既提 倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学 命题的人。
• 圆周长公式的推导：圆周长（C）：圆的直径（d），那圆的周长（C）除
以圆的直径（d）等于π，那利用乘法的意义，就等于 π乘以圆的直径（d） 等于圆的周长（C），C=πd。而同圆的直径（d）是圆的半径（r）的两倍， 所以就圆的周长（C）等于2乘以π乘以圆的半径（r），C=2πr。
背景资料链接
• 刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出"求徽数"的思想，这
• 于是，刘徽采用这个方法，把圆逐渐分割下去，一试果然有效。
他发明了亘古未有的“割圆术”。他沿着割圆术的思路，从圆 内接正六边形算起，边数依次加倍，相继算出正12边形，正24 边形……直到正192边形的面积，得到圆周率兀的近似值为 157/50 (3.14)；后来，他又算出圆内接正3 072边形的面积，从 而得到更精确的圆周率近似值：兀≈3927/1 250(3.1416)。
表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。
• 利用圆周率可以求圆的周长、面积；圆柱、圆锥的体积等。
• 圆面积公式的推导：把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。
长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。 长方形的面积是ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以π，S=πr²。
数 学 家 —— 刘 徽
2016
人物介绍
• 刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术
注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国 数学史上的不朽地位。
• 刘徽的数学著作，留传后世的很少，所留均为久经辗转传抄之作。他的主要著作
有:《九章算术注》10卷; 《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》;《九章重差图》 l卷。可惜后两种都在宋代失传。
感受
• 刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生.他善
于观察、善于发现，通过自己不懈的努力才 有了今天到的成就。我们要向他学习，拥有 一双善于观察的眼睛，发现生活中数学的奥 秘。
• 刘徽评传刘徽评传②在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍
乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础， 他还用"率"来定义中国古代数学中的"方程"，即现代数学中线性方程组的增广矩 阵。
• ③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相
个人成就
• 刘徽的数学成就大致为两方面: • 一是整理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础，这方面集中体现在《九章
算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系:
• 数系理论：①用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化
简等的运算法则;在开方术 的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理 方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对"勾中容横"与"股中容直"之类的典型 图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
• 面积与体积理论：用出入相补、以盈补虚的原理及"割圆术"的极限方法提出了
刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的 理论价值至今仍闪烁着余辉。
• 二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性
• 《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面:如解联立
方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先 进之列。但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明。在 这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献。他是世界上最早提出十进小数 概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了 正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。在几何方面，提 出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方 法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果。他用割圆术，从直径为 2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正 多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是"割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。"他计算了3072边形面积并验证了这个 值。刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年来中国圆周率计算在 世界上的领先地位。
故事
• 一次，刘徽看到石匠在加工石头，觉得很有趣就仔细观察了起
来。“哇！原本一块方石，经石匠师傅凿去四角，就变成了八 角形的石头。再去八个角，又变成了十六边形。”一斧一斧地 凿下去，一块方形石料就被加工成了一根光滑的圆柱。
• 谁会想到，在一般人看来非常普通的事情，却触发了刘徽智慧
的火花。他想：“石匠加工石料的方法，可不可以用在圆周率 的研究上呢？”
著ห้องสมุดไป่ตู้影响与意义
• 《九章算术》不仅在中国数学史上占有重要地位，对世界数学的发展也有
着重要的贡献。分数理论及其完整的算法，比例和比例分配算法，面积和 体积算法，以及各类应用问题的解法，在书中的方田、粟米、衰分、商功、 均输等章已有了相当详备的叙述。而少广、盈不足、方程、勾股等章中的 开立方法、盈不足术(双假设法)、正负数概念、线性联立方程组解法、整 数勾股弦的一般公式等内容都是世界数学史上的卓越成就。 传本《九章 算术》有刘徽注和唐李淳风等的注释。刘徽是中国古代杰出的数学家，他 生活在三国时代的魏国。《隋书·律历志》论历代量制引商功章注，说"魏 陈留王景元四年(263)刘徽注《九章》。"他的生平不可详考。刘徽的《九 章》注不仅在整理古代数学体系和完善古算 理论方面取得了重要成就， 而且提出了丰富多彩的创见和发明。刘徽在算术、代数、几何等方面都有 杰出的贡献。例如，他用比率理论建立了数与式的统一的理论基础，他应 用了出入相补原理和极限方法解决了许多面积和体积问题，建立了独具风 格的面积和体积理论。他对《九章》中的许多结论给出了严格的证明，他 的一些方法对后世有很大启发，即使对现今数学也有可借鉴之处。
著作简介
• 《九章算术》是中国流传至今最古老的数学专著之一，它成书于西汉时期。
这部书的完成经过了一段历史过程，书中所收集的各种数学问题，有些是 秦以前流传的问题，长期以来经过多人删补、修订，最后由西汉时期的数 学家整理完成。现今流传的定本的内容在东汉之前已经形成。《九章算术》 是中国最重要的一部经典数学著作，它的完成奠定了中国古代数学发展的 基础，在中国数学史上占有极为重要的地位。现传本《九章算术》共收集 了246个应用问题和各种问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少 广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。
方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必 要条件，而且促进了十进小数的产生;在线性方程组解法中，他创造了比 直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致;并在中国数学史上第 一次提出了"不定方程问题";他还建立了等差级数前n项和公式;提出并定义 了许多数学概念:如幂(面积);方程(线性方程组);正负数等等.刘徽还提出了 许多公认正确的判断作为证明的前提.他的大多数推理、证明都合乎逻辑， 十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性 的基础之上。虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所 运用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并 以数学证明为其联系纽带的理论体系。
圆周率是什么？利用它可以干什么？
• 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及
物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精 确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可 以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。
• 圆周率用字母 π表示，是一个常数（3.141592654-3.1415927之间），是代