分析动力学之约束理论
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引入一组新的变量q：
q l f l ( x 1 , x 2 , L , x 3 N , t ) ( l 1 , 2 , L 3 N )
令变换关系中的前r项为完整约束，其余部分任选，但要求变 换式为无关组。
则可以得到从x到q的变换：
x l g l ( q 1 , q 2 , L , q 3 N , t )( l 1 , 2 , L 3 N )
20.04.2020
Page 12
广义坐标
注意到完整约束关系:
q k f k ( x 1 , x 2 , L , x 3 N , t ) 0 ( k 1 , 2 , L r )
则有：
x k g k ( 0 , 0 , L , q r 1 , L t ) ( k 1 , 2 , L 3 N )
对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系Oxyz。为
描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻t的向径r(t):
u(t)x(tHale Waihona Puke Baiduy(t)z(t)
对于由N个质点所构成的系统，则需要3N个数来表示质 点系统的位置和形状（位形）：
c ( t) u 1 ( t)u 2 ( t)L u N ( t)
引入由这3N个数张成的抽象空间来表示位形c，令该空 间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间C，称为位形
xA 2 yA 2 l2 0
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完整约束(homonomic constraint)
1.3 完整约束
具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束：
f( u 1 ( t) ,u 2 ( t ) ,L ,u N ( t ) ,t ) 0
y
y
A
o r
l
B
xO
xA2 yA2 r2, yB 0
分析动力学之约束理论
本节内容 分析力学的基础概念：虚位移
虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限 小位移，与时间t的变化无关 ( t 0)。
内容1：约束、广义坐标 内容2：约束的几何意义 内容3：约束对运动的影响（位移、速度）。
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Page 2
运动的多维空间描述
1.1 位形空间
a. 静止点处； b. 在有打击作用的时刻；
20.04.2020
Page 4
约束 1.2 约束
约束：非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制
在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。 绝大多数的运动都是约束运动。
约束方程：用数学方程表达各质点所受的限制条件
x
l 刚性杆
y
A
x
l(t) yA
xA 2yA 2l2(t)0
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Page 7
约束方程的几何解释
对于定常约束：
f( u 1 ( t) ,u 2 ( t) ,L ,u N ( t) ) 0
一个约束方程构成位形空间上的一个N-1维固定曲面。
系统运动的c轨迹必须位于该曲面内。
对于非定常约束？
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其中g(z)为z的已知函数，求加在有限位移上的约束
解：没有加在有限位移上的约束。 若令加在有限位移上的约束为：
yg(z)xC(z) 则有： d yg(z)d x(x g (zz) C ( zz))d z
加在无穷小位移上的约束不一定会限制有限位移的运动。
速度约束不一定对位移有限制。
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非完整约束
1.5 非完整约束
空间。
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Page 3
位形空间的特点
系统每一时刻的位形唯一对应于C空间的一个表现点c
C空间的一个点c对应于系统的一个位形 当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在C空间中 画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的C轨迹。 C轨迹的一般性质：
1. C轨迹是连续的； 2. C轨迹可以有重点； 3. C轨迹的拐点仅发生在如下情况；
虚位移在约束曲面的切平面内。
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约束对无穷小位移的影响（例）
在光滑球面上运动的质点，球面方程为：x2y2z2 R2 约束方程： x2y2z2R2
无穷小的位移改变应满足：
xdxydyzdz0
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Page 15
约束与有限位移和无穷小位移（例）
设在无穷小位移上的约束为：dyg(z)dx0
Page 8
广义坐标
1.4 广义坐标
能够唯一地确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标。 选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定
x i x i ( q 1 , q 2 , L , q l , t )( i 1 , 2 , L 3 N )
广义坐标数为： l 3Nr
N – 质点总数 r – 完整约束的总数；
xB xA 2 yA2 l2
C
A
x
vA 0 x& r & 0
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定常约束和非定常约束
如约束表达式中不显含时间 t ，则称其为定常约束
(scleronomic constraint)； 否则称为非定常约束(rheonomic constraint) 。
x
l
yA
xA 2yA 2l20
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广义坐标
考虑系统由一个质点构成 约束方程为：x-y=0
取一组新的坐标：
q1 q2
x
x
y
q3 z
两组坐标之间的变换关系：
qq12
1 1
1 0
0 0
xy
q3 0 0 1z
两组坐标均可以描述质点的位形
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广义坐标
注意到完整约束关系: x y 0
即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示 当采用广义坐标时，完整约束自动满足。
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约束对无穷小位移的影响（局部特性）
假设约束曲面是光滑的，有：
f( u 1 ( t) ,u 2 ( t ) ,L ,u N ( t ) ,t ) 0
sN1ufs dus ft dt 0
在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所 有的可能轨迹必须在其切平面内，而不是约束曲面内。
则有：
q q
1 2
0 x
q 3 z
即可以用两个坐标表示系统的位形：广义坐标
在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予 考虑。
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广义坐标
设由N个质点组成的系统包含独立的r个完整约束
f k ( x 1 , x 2 , L , x 3 N , t ) 0 ( k 1 , 2 , L r )
q l f l ( x 1 , x 2 , L , x 3 N , t ) ( l 1 , 2 , L 3 N )
令变换关系中的前r项为完整约束，其余部分任选，但要求变 换式为无关组。
则可以得到从x到q的变换：
x l g l ( q 1 , q 2 , L , q 3 N , t )( l 1 , 2 , L 3 N )
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广义坐标
注意到完整约束关系:
q k f k ( x 1 , x 2 , L , x 3 N , t ) 0 ( k 1 , 2 , L r )
则有：
x k g k ( 0 , 0 , L , q r 1 , L t ) ( k 1 , 2 , L 3 N )
对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系Oxyz。为
描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻t的向径r(t):
u(t)x(tHale Waihona Puke Baiduy(t)z(t)
对于由N个质点所构成的系统，则需要3N个数来表示质 点系统的位置和形状（位形）：
c ( t) u 1 ( t)u 2 ( t)L u N ( t)
引入由这3N个数张成的抽象空间来表示位形c，令该空 间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间C，称为位形
xA 2 yA 2 l2 0
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完整约束(homonomic constraint)
1.3 完整约束
具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束：
f( u 1 ( t) ,u 2 ( t ) ,L ,u N ( t ) ,t ) 0
y
y
A
o r
l
B
xO
xA2 yA2 r2, yB 0
分析动力学之约束理论
本节内容 分析力学的基础概念：虚位移
虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限 小位移，与时间t的变化无关 ( t 0)。
内容1：约束、广义坐标 内容2：约束的几何意义 内容3：约束对运动的影响（位移、速度）。
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运动的多维空间描述
1.1 位形空间
a. 静止点处； b. 在有打击作用的时刻；
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Page 4
约束 1.2 约束
约束：非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制
在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。 绝大多数的运动都是约束运动。
约束方程：用数学方程表达各质点所受的限制条件
x
l 刚性杆
y
A
x
l(t) yA
xA 2yA 2l2(t)0
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约束方程的几何解释
对于定常约束：
f( u 1 ( t) ,u 2 ( t) ,L ,u N ( t) ) 0
一个约束方程构成位形空间上的一个N-1维固定曲面。
系统运动的c轨迹必须位于该曲面内。
对于非定常约束？
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其中g(z)为z的已知函数，求加在有限位移上的约束
解：没有加在有限位移上的约束。 若令加在有限位移上的约束为：
yg(z)xC(z) 则有： d yg(z)d x(x g (zz) C ( zz))d z
加在无穷小位移上的约束不一定会限制有限位移的运动。
速度约束不一定对位移有限制。
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非完整约束
1.5 非完整约束
空间。
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Page 3
位形空间的特点
系统每一时刻的位形唯一对应于C空间的一个表现点c
C空间的一个点c对应于系统的一个位形 当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在C空间中 画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的C轨迹。 C轨迹的一般性质：
1. C轨迹是连续的； 2. C轨迹可以有重点； 3. C轨迹的拐点仅发生在如下情况；
虚位移在约束曲面的切平面内。
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Page 14
约束对无穷小位移的影响（例）
在光滑球面上运动的质点，球面方程为：x2y2z2 R2 约束方程： x2y2z2R2
无穷小的位移改变应满足：
xdxydyzdz0
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约束与有限位移和无穷小位移（例）
设在无穷小位移上的约束为：dyg(z)dx0
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广义坐标
1.4 广义坐标
能够唯一地确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标。 选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定
x i x i ( q 1 , q 2 , L , q l , t )( i 1 , 2 , L 3 N )
广义坐标数为： l 3Nr
N – 质点总数 r – 完整约束的总数；
xB xA 2 yA2 l2
C
A
x
vA 0 x& r & 0
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定常约束和非定常约束
如约束表达式中不显含时间 t ，则称其为定常约束
(scleronomic constraint)； 否则称为非定常约束(rheonomic constraint) 。
x
l
yA
xA 2yA 2l20
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Page 9
广义坐标
考虑系统由一个质点构成 约束方程为：x-y=0
取一组新的坐标：
q1 q2
x
x
y
q3 z
两组坐标之间的变换关系：
qq12
1 1
1 0
0 0
xy
q3 0 0 1z
两组坐标均可以描述质点的位形
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广义坐标
注意到完整约束关系: x y 0
即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示 当采用广义坐标时，完整约束自动满足。
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约束对无穷小位移的影响（局部特性）
假设约束曲面是光滑的，有：
f( u 1 ( t) ,u 2 ( t ) ,L ,u N ( t ) ,t ) 0
sN1ufs dus ft dt 0
在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所 有的可能轨迹必须在其切平面内，而不是约束曲面内。
则有：
q q
1 2
0 x
q 3 z
即可以用两个坐标表示系统的位形：广义坐标
在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予 考虑。
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广义坐标
设由N个质点组成的系统包含独立的r个完整约束
f k ( x 1 , x 2 , L , x 3 N , t ) 0 ( k 1 , 2 , L r )