解析几何综合运用练习题含答案
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4．双曲线x2－ ＝1的离心率大于 的充分必要条件是( )
A．m> B. m≥1
C．m>1D. m>2
二、填空题（题型注释）
5．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．
6．已知抛物线y2＝4x的焦点F恰好是双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y＝± x，则双曲线方程为________．
三、解答题（题型注释）
7．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．
8．如图，在直角坐标系中，已知△PAB的周长为8，且点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
(1)试求顶点P的轨迹C1的方程；
(2)若动点C(x1，y1)在轨迹C1上，试求动点Q 的轨迹C2的方程．
∵P(x，y)在椭圆上，∴ ＋ ＝1，
∴y2＝3－ x2.
∴|PF|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋3－ x2＝ (x－4)2，
|PM|2＝|x－4|2，|FM|2＝32＋y2＝12－ x2.
①若|PF|＝|FM|，则 (x－4)2＝12－ x2，解得x＝－2或x＝4(舍去)，x＝－2时，P(－2,0)，此时P，F，M三点共线，不合题意．∴|PF|≠|FM|；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（题型注释）
1．已知直线 与直线 ，若 ，则 的值为（）
A．1 B．2 C．6 D．1或2
2．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( )
②若|PM|＝|PF|，则(x－4)2＝ (x－4)2，解得x＝4，不合题意；
③若|PM|＝|FM|，则(x－4)2＝12－ x2，解得x＝4(舍去)或x＝ ，x＝ 时y＝± ，
∴P .
综上可得，存在点P 或 ，使得△FPM为等腰三角形．
【解析】解：解方程组 得交点P(1,2)．
(1)若点A，B在直线l的同侧，则l∥AB.
而kAB＝ ＝－ ，
由点斜式得直线l的方程为
y－2＝－ (x－1)，
即x＋2y－5＝0；
(2)若点A，B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点 ，
由两点式得直线l的方程为 ＝ ，
即x－6y＋11＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.
9．设椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为 .
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标．
10．如图，F是椭圆的右焦点，以点F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆上的动点，P到椭圆两焦点的距离之和等于4.
(1)求椭圆和圆的标准方程；
(2)设直线l的方程为x＝4，PM⊥l，垂足为M，是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为y＝ (x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝ (x－3)代入C的方程，
得 ＋ ＝1，即x2－3x－8＝0，所以x1＋x2＝3.
设AB的中点坐标为( ， )，
则 ຫໍສະໝຸດ Baidu ＝ ，
＝ ＝ (x1＋x2－6)＝－ ，
即中点坐标为 .
答案
1．C
【解析】
试题分析： 的斜率为 ， 的斜率为 ，由 ，有 ，所以 .
考点：直线的斜率.
2．A
【解析】令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直线x＋y＋3＝0与圆C相切，所以圆心到直线x＋y＋3＝0的距离等于半径，即r＝ ＝ ，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
5．x－y＋1＝0
【解析】所求直线过圆：x2＋2x＋y2＝0的圆心C(－1,0)，斜率为1，故方程为x－y＋1＝0.
6．x2－ ＝1
【解析】抛物线的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线中a＝1，由双曲线的渐近线方程为y＝± x＝± x，可得b＝ ，故所求的双曲线方程为x2－ ＝1.
7．x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0
A．(x＋1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋y2＝1
C．(x＋1)2＋y2＝4D．(x－2)2＋y2＝4
3．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
故 ＋ ＝1.
令 ＝x， ＝y，得x1＝3x，y1＝2 y.
代入 ＋ ＝1，得x2＋y2＝1，
所以动点Q 的轨迹C2的方程为x2＋y2＝1.
9．(1) ＋ ＝1(2)
【解析】解：(1)将(0,4)代入C的方程得 ＝1，解得b＝4.
又e＝ ＝ ，得 ＝ ，
即1－ ＝ ，
则a＝5.所以C的方程为 ＋ ＝1.
3．C
【解析】由已知得抛物线的焦点F ，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则 ＝ ， ＝ .由已知得， · ＝0，
即y02－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M .
由|MF|＝5得， ＝5，
又p＞0，解得p＝2或p＝8.
4．C
【解析】依题意，e＝ ，e2＝ >2，得1＋m>2，所以m>1.
10．(1) ＋ ＝1(x－1)2＋y2＝1
(2) 存在点P 或 ，使得△FPM为等腰三角形
【解析】解：(1)由题意，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，由已知可得2a＝4，a＝2c，解得a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，则M(4，y)，F(1,0)，－2≤x≤2，
8．(1) ＋ ＝1(2) x2＋y2＝1
【解析】解：(1)由题意，可得顶点P满足|PA|＋|PB|＝6，
结合椭圆的定义，可知顶点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆，且椭圆的半焦距长c＝1，长半轴长a＝3，则b2＝a2－c2＝8.
故轨迹C1的方程为 ＋ ＝1.
(2)已知点C(x1，y1)在曲线C1上，
A．m> B. m≥1
C．m>1D. m>2
二、填空题（题型注释）
5．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．
6．已知抛物线y2＝4x的焦点F恰好是双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y＝± x，则双曲线方程为________．
三、解答题（题型注释）
7．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．
8．如图，在直角坐标系中，已知△PAB的周长为8，且点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
(1)试求顶点P的轨迹C1的方程；
(2)若动点C(x1，y1)在轨迹C1上，试求动点Q 的轨迹C2的方程．
∵P(x，y)在椭圆上，∴ ＋ ＝1，
∴y2＝3－ x2.
∴|PF|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋3－ x2＝ (x－4)2，
|PM|2＝|x－4|2，|FM|2＝32＋y2＝12－ x2.
①若|PF|＝|FM|，则 (x－4)2＝12－ x2，解得x＝－2或x＝4(舍去)，x＝－2时，P(－2,0)，此时P，F，M三点共线，不合题意．∴|PF|≠|FM|；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（题型注释）
1．已知直线 与直线 ，若 ，则 的值为（）
A．1 B．2 C．6 D．1或2
2．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( )
②若|PM|＝|PF|，则(x－4)2＝ (x－4)2，解得x＝4，不合题意；
③若|PM|＝|FM|，则(x－4)2＝12－ x2，解得x＝4(舍去)或x＝ ，x＝ 时y＝± ，
∴P .
综上可得，存在点P 或 ，使得△FPM为等腰三角形．
【解析】解：解方程组 得交点P(1,2)．
(1)若点A，B在直线l的同侧，则l∥AB.
而kAB＝ ＝－ ，
由点斜式得直线l的方程为
y－2＝－ (x－1)，
即x＋2y－5＝0；
(2)若点A，B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点 ，
由两点式得直线l的方程为 ＝ ，
即x－6y＋11＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.
9．设椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为 .
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标．
10．如图，F是椭圆的右焦点，以点F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆上的动点，P到椭圆两焦点的距离之和等于4.
(1)求椭圆和圆的标准方程；
(2)设直线l的方程为x＝4，PM⊥l，垂足为M，是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为y＝ (x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝ (x－3)代入C的方程，
得 ＋ ＝1，即x2－3x－8＝0，所以x1＋x2＝3.
设AB的中点坐标为( ， )，
则 ຫໍສະໝຸດ Baidu ＝ ，
＝ ＝ (x1＋x2－6)＝－ ，
即中点坐标为 .
答案
1．C
【解析】
试题分析： 的斜率为 ， 的斜率为 ，由 ，有 ，所以 .
考点：直线的斜率.
2．A
【解析】令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直线x＋y＋3＝0与圆C相切，所以圆心到直线x＋y＋3＝0的距离等于半径，即r＝ ＝ ，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
5．x－y＋1＝0
【解析】所求直线过圆：x2＋2x＋y2＝0的圆心C(－1,0)，斜率为1，故方程为x－y＋1＝0.
6．x2－ ＝1
【解析】抛物线的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线中a＝1，由双曲线的渐近线方程为y＝± x＝± x，可得b＝ ，故所求的双曲线方程为x2－ ＝1.
7．x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0
A．(x＋1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋y2＝1
C．(x＋1)2＋y2＝4D．(x－2)2＋y2＝4
3．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
故 ＋ ＝1.
令 ＝x， ＝y，得x1＝3x，y1＝2 y.
代入 ＋ ＝1，得x2＋y2＝1，
所以动点Q 的轨迹C2的方程为x2＋y2＝1.
9．(1) ＋ ＝1(2)
【解析】解：(1)将(0,4)代入C的方程得 ＝1，解得b＝4.
又e＝ ＝ ，得 ＝ ，
即1－ ＝ ，
则a＝5.所以C的方程为 ＋ ＝1.
3．C
【解析】由已知得抛物线的焦点F ，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则 ＝ ， ＝ .由已知得， · ＝0，
即y02－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M .
由|MF|＝5得， ＝5，
又p＞0，解得p＝2或p＝8.
4．C
【解析】依题意，e＝ ，e2＝ >2，得1＋m>2，所以m>1.
10．(1) ＋ ＝1(x－1)2＋y2＝1
(2) 存在点P 或 ，使得△FPM为等腰三角形
【解析】解：(1)由题意，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，由已知可得2a＝4，a＝2c，解得a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，则M(4，y)，F(1,0)，－2≤x≤2，
8．(1) ＋ ＝1(2) x2＋y2＝1
【解析】解：(1)由题意，可得顶点P满足|PA|＋|PB|＝6，
结合椭圆的定义，可知顶点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆，且椭圆的半焦距长c＝1，长半轴长a＝3，则b2＝a2－c2＝8.
故轨迹C1的方程为 ＋ ＝1.
(2)已知点C(x1，y1)在曲线C1上，