相似三角形分类讨论
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A
《相似三角形中分类讨论思想的运用》
一、温故知新:
1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8,△DEF 的一条边为24,如果△DEF 与△ABC 相似,则相似比为
2.两个相似三角形的面积之比是9:25,其中一个三角形一边上的高是6,那么另一个三角形对应边上的高为
3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点,则AP 的长为 问题:什么是分类讨论?为什么要分类?
二、新知学习: 题组一:
1.例1.如图所示,在ABC ∆中,AB=6,AC=4,P 是AC 的中点,过P 点的直线交AB 于点Q ,若使APQ ∆与ABC ∆相似,则AQ 的长为
2.变式一:如图所示,在
ABC ∆中,P 是AC 上一点,过P 点的直线截ABC ∆交AB 于点Q ,使截得的三角形与原三角形相似,则满足这样的直线有 条. 3. 变式二:如图所示,在ABC ∆中,P 是AC 上一点,过P 点的直线截ABC ∆,使截得的三角形与原三角形相似,则满足这样的直线最多有 条.
探究:如果ABC ∆是直角三角形,点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗?等腰三角形呢?
C
B
C
B
C
B
D
C B
A
D
C
B A
C
B
A
C
B
A
题组二:
1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3,点E 在直线AD 上,DE =1,联结BE 与对角线AC 相交于点M ,则MC
AM
=
2.变式一: 等腰ABC 中,AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上,若PA 与腰垂直,则BP= .
3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°,AD 是BC 边上的高,并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三
1.在矩形ABCD 中,AB=4,AD=5,P 是射线BC 上的一个动点,作PE ⊥AP ,PE 交射线DC 于点E ,射线AE 交射线BC 于点F ,设BP=x ,CE=y .求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域;(点P 与点B 、C 都不重合),
2.已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图).E 是射线BC 上的动点(点E 与点B 不重合),M 是线段DE 的中点.联结BD ,交线段AM 于点N ,如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似,求线段BE 的长.
A
C
D
A
C
D
D
C B
A
D
A
三、课后反思:
1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论?分类的原则是什么?
2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题.
四、检测反馈:
1.已知在Rt ABC ∆中,︒=∠90C ,AB=5,AC=3,点D 是射线BC 上的一点,(不与端点B 重合),联结AD ,如果ACD ∆与ABC ∆相似,则BD= 2.在等腰ABC ∆中,AB=AC ,若一条中线长为6厘米,另一条中线为9厘米,则等腰ABC ∆的底边长为
3. AD ∥BC,∠D=90°,DC=6,AD=2,BC=
4.若在边DC 上有点P 使△PAD 和△PBC 相似,求DP 的长.
4.如图,4,3,90==︒=∠=∠AC BC ABD ACB ,当ABC ∆与ADB ∆相似时 ,求AD
Q
P
C
B
A C
B A
C
B A
A
B C
D
A B
C
P
的长.
5.拓展题:如图:在⊿ABC 中,∠C=90°,BC=6,AC=8. P 、Q 分别为AC 、BA 上的动点,且BQ=2AP,联结PQ,设AP=x.
① 在点P 、点Q 移动的过程中,⊿APQ 能否与⊿ABC 相似?若能,请求出AP 的长;若不能,请说明理由。
② 当x 为何值时,⊿APQ 是等腰三角形?
五、作业:
1. 在直角坐标系中有两点A (4,0),B (0,2),如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合),当
点C 的坐标为 时,使得由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似。 2. 已知:如图,P 是边长为4的正方形ABCD 内一点,且PB=3,BF ⊥BP ,垂足为B ,请在射线BF 上找一点M ,使以B 、M 、C 为顶点的三角形与△ABP 相似。
C
3.已知BD 是矩形ABCD 的对角线,AB=30cm ,BC=40cm ,点P 、Q 同时从A 点出发,分别以2cm/s ,4cm/ s 的速度由A →B →C →D →A 的方向在矩形边上运动,在点Q 回到点A 的整个运动过程中:① PQ 能否与BD 平行?② PQ 能否与BD 垂直?请分别作出判断。如果存在,请分别求出时间t,如果不存在,请说明理由。
4、如图,已知CAB RT ∆中,
1BC AC ,90ACB 0
===∠,点P 在斜边AB 上移动(点P 不与点A 、B 重合),以P 为顶点作0
45CPQ =∠,射线PQ 交BC 边与点Q 。
CPQ ∆能否是等腰三角形?如果能够,试求出AP 的长,如果不能,试简要说明
理由。
5.已知:在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,AB =DC =2. (1)如图,P 为AD 上的一点,满足∠BPC =∠A .
①求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长.
(2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满足∠BPE =∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,设AP =x ,CQ =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;
P
A