123质心运动定理理论力学
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如汽车在光滑路面上发动，如果路面没有摩擦力， 则轮子空转不动，即轮心不向前运动，必须要有外力才 能使其运动。
有很多实例都可用来说明质心的运动完全取决于作用 在质点系上的外力而与内力无关。
例如，人在完全没有摩擦的光滑路面上行走是不可能的； 汽车开动时，发动机汽缸内的燃气压力对汽车整体来说是 内力，不能使车子前进，只是当燃气推动活塞，通过传动 机构带动主动轮转动，地面对主动轮作用了向前的摩擦力， 而且这个摩擦力大于总的阻力时，汽车才能前进。
例如绕定轴转动的刚体，
? p = mvc ? mivi
设其角速度为w，质心C至转轴 的距离为 e，则由式（ 12.15）可知， 此刚体动量的大小为
p = mvc ? me?
显然，当刚体质心位于转轴上时， 则不论转动角速度多大，其动量恒 等于零。
? vC
?
drC dt
?
mivi ? p (12.14) mm
p = mvc
3、质心加速度
将式（12.14）对时间求导，得：
aC
?
dvC dt
? dp ? d(mvC ) ? d( mivi )
dt dt
dt
? ? mac ? miai ? Fie (12.17)
二、质心运动定理
? ? maC ? miai ? Fie ? FRe
（12.17）
上式表明，质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用 于质点系外力的矢量和。
§12.3 质心运动定理
一、质量中心
质点系在力的作用下，其运动状 态与各质点的质量及其相互的位 置都有关系，即与质点系的质量 分布状况有关。
1.定义：
? rc ?
mi ri m
（12.10）
由式 (12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种
特征质心的概念及其运动在质点系（ 特别是刚体）动力学中
①如果 FRe ? 0 mac ? 0
则质心作匀速直线运动；
则 vc ? cont
②若开始静止，则质心位置始终保持不变。
如果作用于质点系的所有外力在某一轴上投影的代数和 恒等于零。则质心沿该轴的坐标保持不变。
以上结论，称为质心运动守恒定律。
③注意：
只有外力才影响质心的运动，内力不影响质心运动， 且没有外力时，质心运动守恒，原为静止的质点系保持静 止。
实际应用时，可采用投影形式。
质心运动定理在坐标轴上投影：
? ? mxc ? Fxe
? ?
?
myc
?
Fye
? ?
?
mzc
?
Fze
（12.18）
——质点系质量与质心加速度在某一轴上的投影的乘积 等于质点系所受外力的主矢量在同一轴上的投影，该式 称为投影形式的质心运动定理。
三、质心运动守恒
? ? mac ? miai ? Fie
可见，如果把质点系的质量都集中于质 心做为一个质点，那么此质点的动量 就等于质点系的动量，可见质心运动 具有特殊意义。
? ? ? xC ?
mi xi , m
yC ?
mi yi , m
zC ?
mi zi m
⑤质心与重心的比较：
若将上列各式等号右端的分子与 分母同乘以重力加速度 g，就得到 质点系的重心坐标公式。
②若质点系中各质点的质量不相等。则有：
? rc ?
mi m
ri
（12.12）
ri 的系数表示第 i 个质点的质量在质点系的质量所占 的比例，质心的矢径rc为即为各质点按其质量在质点系质 量中所占的比例的平均位置。
③ 质心的作用 由讨论可见，质心的位置与质点系中的质量分布状况
有关，它在一定程度上反映了质点系的质量分布状况，所 以质心的概念是动力学的重要概念之一。
可见物体在重力场中运动 时，重心与质心相重合。但 应当注意，质心与重心是两 个不同的概念。
（12-13）
重心仅在质点系受到重力作用（ 即在地球表面附近 ）时才存在， 而质心则与质点系是否受到重力作用无关，它随质点系的存 在而存在。因此，质心概念的适用范围远较重心广泛。
2、质心速度
? rC ?
miri (12.10) m
质心C的运动速度可根据式（12.10）导出：
? vC
?
drC dt
?
mivi ? p mm
（12.14）
或
? mvc ? mivi
? p = mvc ? mivi
（12.15）
式（12.15）为计算质点系动量的简便方法。
由上式可知，不论质点如何运动，在计算质点系的动量 时均可不考虑其中每一质点的速度，而只需知道质点系 的质量和质心的速度就足够了。
? ④质心的坐标
rc ?
mi m
ri
(12.10)
计算质心位置时，常用上式在直角坐标系的投影形式，即
? ? ? xC ?
mi xi m
,
yC
?
mi yi m
, zC
?
mi zi m
(12.13)
式中 mi点为第i个质点的质量，xi、yi、zi，第i个质点的位置坐标，
m 为质点系的质量。
质心是质点系中特定的一个点， 质点系运动，质心也在运动。
具有重要地位。
? mi ri
rc ? 2.质心的力学意义
m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
rc
?
m r1 ? m r2 ? ......? m m? m? ......? m
rn
? ? r1 ? r2 ? ......? rn ? n
1 n ri
1/n 与 i 无关，为公因子。
（12.11）
式中: ri系数 1/n 表示第 i个质点的质量在质点系质量中 所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径。
y
m1g
m2 g
c1 c c2
t
ex
作用于质心上的外力有：
Rx Ry
重力m1g、m2g； 螺栓的约束反力Rx、Ry。
（2）建立静坐标如图：电动机质心 C 的方程为：
同时指出：内力不能改变质心的运动。
形式上，质心运动定理与质点的动力学基本方程 完全相 似，因此质心运动定理也可叙述如下：
质点系质心的运动，犹如一个质点的运动，此质点的质 量等于整个质点系的质量，且作用于此质点上的力等于作用 于整个质点系上的外力的矢量和。
来自百度文库
? ? mac ? miai ? Fie （12.17）
例3 设有一电动机用螺旋栓固定在水平地面上，如图， 电动机外壳连同定子的质量为m1，它们的质心为 c1，在转子 的轴线上，转子的质量为 m2 。
由于制造不够精确，因而其 质心与转子轴线相距为 e，
试求当电动机以匀角速度ω 转动时，螺旋栓所受的水平 剪力和地面的铅垂反力。
解：（1）研究整个电动机 看作一个整体，受力分析如图：
有很多实例都可用来说明质心的运动完全取决于作用 在质点系上的外力而与内力无关。
例如，人在完全没有摩擦的光滑路面上行走是不可能的； 汽车开动时，发动机汽缸内的燃气压力对汽车整体来说是 内力，不能使车子前进，只是当燃气推动活塞，通过传动 机构带动主动轮转动，地面对主动轮作用了向前的摩擦力， 而且这个摩擦力大于总的阻力时，汽车才能前进。
例如绕定轴转动的刚体，
? p = mvc ? mivi
设其角速度为w，质心C至转轴 的距离为 e，则由式（ 12.15）可知， 此刚体动量的大小为
p = mvc ? me?
显然，当刚体质心位于转轴上时， 则不论转动角速度多大，其动量恒 等于零。
? vC
?
drC dt
?
mivi ? p (12.14) mm
p = mvc
3、质心加速度
将式（12.14）对时间求导，得：
aC
?
dvC dt
? dp ? d(mvC ) ? d( mivi )
dt dt
dt
? ? mac ? miai ? Fie (12.17)
二、质心运动定理
? ? maC ? miai ? Fie ? FRe
（12.17）
上式表明，质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用 于质点系外力的矢量和。
§12.3 质心运动定理
一、质量中心
质点系在力的作用下，其运动状 态与各质点的质量及其相互的位 置都有关系，即与质点系的质量 分布状况有关。
1.定义：
? rc ?
mi ri m
（12.10）
由式 (12.10)所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种
特征质心的概念及其运动在质点系（ 特别是刚体）动力学中
①如果 FRe ? 0 mac ? 0
则质心作匀速直线运动；
则 vc ? cont
②若开始静止，则质心位置始终保持不变。
如果作用于质点系的所有外力在某一轴上投影的代数和 恒等于零。则质心沿该轴的坐标保持不变。
以上结论，称为质心运动守恒定律。
③注意：
只有外力才影响质心的运动，内力不影响质心运动， 且没有外力时，质心运动守恒，原为静止的质点系保持静 止。
实际应用时，可采用投影形式。
质心运动定理在坐标轴上投影：
? ? mxc ? Fxe
? ?
?
myc
?
Fye
? ?
?
mzc
?
Fze
（12.18）
——质点系质量与质心加速度在某一轴上的投影的乘积 等于质点系所受外力的主矢量在同一轴上的投影，该式 称为投影形式的质心运动定理。
三、质心运动守恒
? ? mac ? miai ? Fie
可见，如果把质点系的质量都集中于质 心做为一个质点，那么此质点的动量 就等于质点系的动量，可见质心运动 具有特殊意义。
? ? ? xC ?
mi xi , m
yC ?
mi yi , m
zC ?
mi zi m
⑤质心与重心的比较：
若将上列各式等号右端的分子与 分母同乘以重力加速度 g，就得到 质点系的重心坐标公式。
②若质点系中各质点的质量不相等。则有：
? rc ?
mi m
ri
（12.12）
ri 的系数表示第 i 个质点的质量在质点系的质量所占 的比例，质心的矢径rc为即为各质点按其质量在质点系质 量中所占的比例的平均位置。
③ 质心的作用 由讨论可见，质心的位置与质点系中的质量分布状况
有关，它在一定程度上反映了质点系的质量分布状况，所 以质心的概念是动力学的重要概念之一。
可见物体在重力场中运动 时，重心与质心相重合。但 应当注意，质心与重心是两 个不同的概念。
（12-13）
重心仅在质点系受到重力作用（ 即在地球表面附近 ）时才存在， 而质心则与质点系是否受到重力作用无关，它随质点系的存 在而存在。因此，质心概念的适用范围远较重心广泛。
2、质心速度
? rC ?
miri (12.10) m
质心C的运动速度可根据式（12.10）导出：
? vC
?
drC dt
?
mivi ? p mm
（12.14）
或
? mvc ? mivi
? p = mvc ? mivi
（12.15）
式（12.15）为计算质点系动量的简便方法。
由上式可知，不论质点如何运动，在计算质点系的动量 时均可不考虑其中每一质点的速度，而只需知道质点系 的质量和质心的速度就足够了。
? ④质心的坐标
rc ?
mi m
ri
(12.10)
计算质心位置时，常用上式在直角坐标系的投影形式，即
? ? ? xC ?
mi xi m
,
yC
?
mi yi m
, zC
?
mi zi m
(12.13)
式中 mi点为第i个质点的质量，xi、yi、zi，第i个质点的位置坐标，
m 为质点系的质量。
质心是质点系中特定的一个点， 质点系运动，质心也在运动。
具有重要地位。
? mi ri
rc ? 2.质心的力学意义
m
① 若质点系中各质点的质量相等，则：
rc
?
m r1 ? m r2 ? ......? m m? m? ......? m
rn
? ? r1 ? r2 ? ......? rn ? n
1 n ri
1/n 与 i 无关，为公因子。
（12.11）
式中: ri系数 1/n 表示第 i个质点的质量在质点系质量中 所占的比例，质心的矢径rc即为各质点的平均矢径。
y
m1g
m2 g
c1 c c2
t
ex
作用于质心上的外力有：
Rx Ry
重力m1g、m2g； 螺栓的约束反力Rx、Ry。
（2）建立静坐标如图：电动机质心 C 的方程为：
同时指出：内力不能改变质心的运动。
形式上，质心运动定理与质点的动力学基本方程 完全相 似，因此质心运动定理也可叙述如下：
质点系质心的运动，犹如一个质点的运动，此质点的质 量等于整个质点系的质量，且作用于此质点上的力等于作用 于整个质点系上的外力的矢量和。
来自百度文库
? ? mac ? miai ? Fie （12.17）
例3 设有一电动机用螺旋栓固定在水平地面上，如图， 电动机外壳连同定子的质量为m1，它们的质心为 c1，在转子 的轴线上，转子的质量为 m2 。
由于制造不够精确，因而其 质心与转子轴线相距为 e，
试求当电动机以匀角速度ω 转动时，螺旋栓所受的水平 剪力和地面的铅垂反力。
解：（1）研究整个电动机 看作一个整体，受力分析如图：