资源影子价格分析

m x w = 8 y +1 0y2 +1 0y3 a 0 1 5 8 1 1 4 8 . 3y + 2 y2 +1 y3 ≤ 0 5 5y + 9y + 7y ≤ 0 4 2 1 . 2 3 4y + 3 y2 + 2 y3 ≤ 0 8 1 0 1 . 1 4 5 4 . 0y + 2 y2 + 3 y3 ≤ 0 9 1 y +1 y +1 y ≤ 0 3 8 2 2 0 3 . 1 1y +1 y2 ≤ 0 2 1 1 5 . y y 1 y 、 2、 3 ≥ 0
由后面的对偶性质可知：原问题和对偶问题的最 优值相等，故有 Z =C X
B
B
= CB B−1b = Y b
Z = CB XB = CB B−1b = Y b = ∑bi yi
i=1 m
= ∑bi yi
i= 1
m
∂Z = yi ∂bi
i =1 ⋯ m 1⋯ , ,
∂Z = yi ∂bi
i =1 ⋯ m , ,
以上是依据经济问题推导出对偶问题，还可以 用代数方法推导出对偶问题。 原问题和对偶问题是互为对偶的两个线性规划 问题，已知一个问题就可写出另一个问题。 上面两种形式的线性规划称为对称形式。 对称形式的定义是：目标函数求极大值时， 对称形Βιβλιοθήκη Baidu 所有约束条件为≤号，变量非负；目标函数 求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非 负。对称形式的线性规划的对偶问题亦是对 称形式。
影子价格(Shadow price): 上面两个线性规划有着重要的经济含义。原 影子价格 始线性规划问题考虑的是充分利用现有资源，以产品的数量和单位产 品的收益来决定企业的总收益，没有考虑到资源的价格，但实际在构 成产品的收益中，不同的资源对收益的贡献也不同，它是企业生产过 程中一种隐含的潜在价值，经济学中称为影子价格 影子价格，即对偶问题中的 影子价格 决策变量yi的值。
I ⅡⅡ Ⅲ Ⅳ
每件产品利润 100 80
建立总收益最大的数学模型。
【解】设x1，x2，x3分别为产品A，B，C的产量，则线 解 性规划数学模型为：
m Z =100x +80x2 + 70x3 ax 1 9 1 x +8x2 + 6x3 ≤ 500 x + 4x + 7x ≤ 450 5 1 2 3 8 1 x + 3x2 + 2x3 ≤ 300 7x + 6x + 4x ≤ 550 2 3 1 x , x2, x3 ≥ 0 1
现在从另一个角度考虑企业的决策问题
设y1，y2，y3及y4分别表示四种资源的单位增 殖价格（售价＝成本＋增殖），总增殖最低可 用
min w = 500 y1 + 450 y 2 + 300 y3 + 550 y 4 min w=500y1+450y2+300y3+550y4 y 9w1 + 5 yy1+450+2+300y3+550y4 2 + 8 y 3 y 7 y 4 ≥ 100 min =500 8 y + 4 y + 3 y + 6 y ≥ 80 1 2 3 4 6 y1 + 7 y 2 + 2 y3 + 4 y 4 ≥ 70 yi ≥ 0, i = 1, ⋯ ,4
这是一个线性规划数学模型，称这一线 性规划问题是前面生产计划问题的对偶 线性规划问题或对偶问题。生产计划的 线性规划问题称为原始线性规划问题或 原问题。
2.1线性规划的对偶模型（2）
【例2】某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80 例 单位，B不少于150 单位，C不少于180单位。此人准备每天从六种食 物中摄取这三种营养成分。已知六种食物每百克的营养成分含量及 食物价格如下表，试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的 数学模型。
即yi是第i种资源的变化率，说明当其它资源供应量bk(k≠i) 不变时，bi增加一个单位时目标值Z增加yi个单位。
例如，第一种资源的影子价格为y1=2，第二种 资源的影子价格为y2=2，即当第一种资源增加一 个单位时，Z增加2个单位，当第二种资源增加一 个单位时，Z增加2个单位。 企业可利用影子价格调节生产规模。例如，目 标函数Z表示利润（或产值 ），当第i种资源的 影子价格大于零 （或高于市场价格）时，表示 有利可图，企业应购进该资源扩大生产规模， 当影子价格等于零（或低于市场价格），企业 不能增加收益，这时应将资源卖掉或出让，缩 小生产规模。
在例1中，原问题的最优解X＝（24.24，0， 46.96）对偶问题的最优解Y＝（10.6，0.91，0， 0）最优值z=w=5712.12
分析： 分析 y1=10.6说明在现有的资源限量的条件 下，增加一个单位第一种资源可以给企 业带来10.6元的利润；如果要出售该资 源，其价格至少在成本价上加10.6元。
资源影子价格分析 与经营管理决策
1.影子价格的定义和由来
1.1经营管理决策的有力工具； 1.2康特罗维奇的定义； 1.3影子价格的由来；
2.资源影子价格的经济含义 资源影子价格的经济含义
线性规划中, 影子价格是寻求总体效益目 标最大化为原问题的对偶问题的解，在 线性规划问题中，存在一个有趣的问题， 即每一个线性规划问题都伴随有另一个 线性规划问题，称它为对偶线性规划问 题。
在线性规划问题中，存在一个有趣的问题，即每一个线性规划问题 都伴随有另一个线性规划问题，称它为对偶线性规划问题。
2.1线性规划的对偶模型（1）
【例1】 某企业用四种资源生产三种产品，工 艺系数、资源限量及价值系数如下表： 资源 产品
A 9 5 8 7
B 8 4 3 6
C 6 7 2 4 70
资源限量 500 450 300 550
食物 营养成分
一 13 24 18 0.5
二 25 9 7 0.4
三 14 30 21 0.8
四 40 25 34 0.9
五 8 12 10 0.3
六 11 15 0 0.2
需要量 ≥80 ≥150 ≥180
A B C 食品单价 元/100g
【解】设xj为每天第j种食物的用量，数学模型为 解
现有一制药厂要生产一种包含A、B、C三种营养成分 的合成药，如何制定价格，使得此药既要畅销又要 产值最大。设yi（i=1，2，3）为第i种营养成分的单 价，则