关系的性质-离散数学

解：P(A)×A ={Ø,{1},{2},{1,2}}×{1,2}
={<Ø, 1>, <Ø, 2>, <{1}, 1>, <{1},2>, <{2},1>, <{2},2>, <{1,2},1>, <{1,2},2>}
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100 0 010 1 001 0 000 0 100 1 010 0 001 0 000 0
101 010 000 000 010 101 000 000
(4) 为真。 当A = 时,使AA×A.
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§7.2 二元关系
一、基本概念 定义7.3 如果一个非空集合的元素都是有序对，则称该集合为一个二 元关系。特别地，空集也是一个二元关系。 注：对一个二元关系R，如果<x,y>R,则记为xRy； 如果<x,y>R，则记为xRy。
G F { 2 , 3 }
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§7.3 关系的运算
定义7.9 设R是二元关系, A是集合(通常AdomR) (1) R在A上的限制: R A ={<x,y> | xRy∧xA} (2) A在R下的像: RA=ran(R A) 例7.7 设R为{<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}, 则 R {1}={<1,2>,<1,3>}, R =, R {2,3}={<2,2>,<2,4>,<3,2>}， R {1}={2,3}, R= , R{2,3}={2,4} 。
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二元素组成的所有有序对的集合，称为集合A与B的笛卡尔积， 记为A×B。即 A×B＝{<x,y>| xA∧yB }。
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§7.1 有序对与笛卡尔积
注：笛卡尔积的性质： 1. A×= , ×A= ; 2. A×B B×A, 除非 A= 或 B= 或 A=B; 3. (A×B)×C A×(B×C), 除非 A= 或 B= 或C= . 4. A×(B∪C)= (A×B)∪(A×C); (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A); A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C); (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A);
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§7.3 关系的运算
定义7.10 设R是A上的关系,n为自然数,则R的n次幂定义为:
(1) R0 = {<x,x>| xA}=IA;
n 1 n (2) R R R
注: 1. 对A上的任何关系R,都有 R0=IA , R1=R。 2. Rn的求法: 除了根据定义按关系的复合来求之外, 还可以用矩阵法和关系图法。
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例7.8 设A={a,b,c,d}, R={<a, b>, <b,a>, <b,c>, <c,d>}, 求R的各次幂,分 别用矩阵和关系图表示. 解:R的关系矩阵:
0 1 M 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
xA ∧ (yB ∨ yC)
(xA ∧ yB)∨(xA ∧ yC) (<x, y> A×B)∨(<x, y> A×C)
<x, y> (A×B) ∪(A×C)
∴ A×(B∪C) = (A×B) ∪(A×C)
例7.2 设 A= {1, 2} ,求 P(A)×A。
用关系图法得到 R0, R1 , R2 ,…的关系图如下:
a
b R0
c c
d
a
b
c R1
d
a
b
d
a
R2=R4=…
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b c R3=R5=…
d
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二. 关系的运算性质
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§7.1 有序对与笛卡尔积
定义7.1 由两个元素 x和y（允许x＝ y）按一定顺序排列成的二 元组叫做一个有序对，记为<x, y>。 注：有序对的性质： 1. 当xy时，<x, y> <y, x>。 2. <x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。 定义7.2 设A,B是集合。由A中元作为第一元素，B中元作为第
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§7.3 关系的运算
一、基本概念 定义7.6 设R是二元关系。定义 (1) R的定义域: domR={x | y(<x, y>R)}, 即R中所有有序对的第 一元素构成的集合。 (2) R的值域，ranR={y | x(<x, y>R)}, 即R中所有有序对的第二 元素构成的集合。 (3) R的域: fld R= dom R∪ran R。 例7.5 R={ <1, 2>,<1, 3>,<2, 4>,<4, 3>}, 则
R2, R3, R4 的关系矩阵分别是：
0 1 2 M 0 0
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1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
§7.1 有序对与笛卡尔积
例7.3 设A, B, C, D为任意集合，判断下列命题是否为真。
（1）A×B＝A×C B=C
（2）A – (B×C) = (A – B)×(A – C) （3）(A=B)∧(C=D) A×C=B×D （4）存在集合A,使 AA×A 当A=, B={1}, C={2,3}时，便不真。 解:(1) 不一定为真， (2) 不一定为真，当A=B={1},C={2}时， A–(B×C) = {1}–{<1,2>} = {1}, 而(A–B)×(A–C)= ×{1}= . (3) 为真。 等量代入。
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第 七 章 二 元 关 系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 有序对与笛卡儿积 二元关系 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
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r 12 r 1n r22 r2n rn2 rnn
称为R 的关系矩阵。
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§7.2 二元关系
例 设A={1, 2, 3, 4},
R={<1,1>, <1,2>, <2, 3>, <2, 4>, <4, 2>},
可见 M4=M2。故 R2 = R4 = R6 = …; R3 = R5 = R7 = …。
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此外,R0=IA的关系矩阵为:
M
0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
domR={1, 2, 4}，
ranR={2, 3, 4}, fld R={1, 2, 3, 4}。
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§7.3 关系的运算
定义7.7 设R为二元关系，称 R-1={<x, y>|<y, x>R}为R的逆关系。 定义7.8 设F,G为二元关系。称
F G { x , y t ( x , t F t , y G )}
为 G 对 F 的右复合(或 F 对 G 的左复合)。 例如,F={<3,3>,<6,2>}, G={<2,3>}, 则 F -1 ={<3,3>,<2,6>}
F G { 6 , 3 }
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
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1 0 3 2 M M M 0 0 0 1 4 3 M M M 0 0
010 0 101 1 000 0 000 0 101 0 010 1 000 0 000 0
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§7.2 二元关系
二. 关系的表达方式
1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例7.4 设A=1,2,3,4, 试列出下列关系R的元素。 (1)R=<x,y>x是y的倍数 (2)R=<x,y>(x－y)2A (3)R=<x,y>x/y是素数 (4)R=<x,y>xy (5)R=<x,y> (x,yA)∧(xy) 解:(1) R={ <4, 4>,<4, 2>, <4, 1>,<3,3>,<3,1>,<2,2>,<2,1>,<1,1>} (2) R={<2, 1>,<3, 2>,<4, 3>,<3,1>,<4,2>, <2,4>,<1,3>,<3,4>,<2,3>,<1,2>} (3) R={ <2, 1>,<3, 1>,<4, 2>} (4) R=EA-IA={<1, 2>,<1, 3>, <1, 4>, <2,1>,<2,3>,<2,4>, <3,1>,<3,2>, <3,4>,<4,1>,<4,2>,<4,3>} (5) R={ <1, 2>,<1, 3>,<1, 4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}
则 R的关系矩阵为
1 0 MR 0 0
1 0 0 1
0 1 0 0
0 1 0 0
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§7.2 二元关系
3. 关系图法 设A={x1,x2,…xn}, R是A上的关系。以A的元素作为顶点，当且仅当 xiRxj时，xi 向 xj 连一条有向边，所得的图形称为R的关系图，记为 GR。 例7.6 设 A={1,2,3,4}, R={<1, 1>,<1, 2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, 则R的关 系图为
5. (A C)∧(B D) (A×B) (C×D).
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§7.1 有序对与笛卡尔积
例 证明A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。
证：任取 <x,y>， <x, y>A×(B∪C) xA ∧ y(B∪C)
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§7.2 二元关系
2. 关系矩阵法： 设A={x1,x2,…xn},R 是 A 上的关系。令：
1若 x Rx i j r , ( i ,j 1 , 2 , , n ) ij 0 否则
则矩阵
r 11 r21 MR (rij ) r n1
定义 7.4 设 A,B 为集合， A×B 的任何子集所定义的二元关系称为从 A
到B的二元关系。特别地，当A=B时，称为A上的二元关系。 定义7.5 对任何集合A，
(1) 称空集为 A上的空关系。
(2) A上的全域关系EA =<x, y> xA ∧ yA=A×A (3) A上的恒等关系IA=<x,x>xA.